5恒成立求参数范围(理)

恒成立求参数范围
1.能够分离参数：
例1.若函数x
x x g x x f 2)(,ln )(-== （1）求函数))(()()(R k x kf x g x ∈+=ϕ的单调区间；
（2）若对所有的[,)x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围.（1-≤e e a ）
例2.已知函数()ln 2f x x =-．
（1）求()f x 的单调区间；
（2）若不等式
ln x m x ->恒成立，求实数m 的取值组成的集合．{1}
例3.设函数()2x f x e ax =--
（1）求()f x 的单调区间；
（2）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值。

（2k =）
例4.已知函数()f x 满足121()(1)(0)2x f x f e
f x x -'=-+ （1）求()f x 的解析式及单调区间；
（2）若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值。

（2
e ）
2.不能分离参数：
例1.已知函数2()()x k f x x k e =-
（1）求)(x f 的单调区间；
（2）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有1()f x e ≤
，求k 的取值范围（102
k -≤<）
例2.设函数()(1)ln(1)f x x x =++，若对所有的0x ≥，都有()f x ax ≥成立，求实数a 的取值范围。

演变1.设函数x x e e x f --=)(：
（1）证明)(x f 的导数()2f x '≥；
（2）若对所有0≥x 都有ax x f ≥)(，求a 的取值范围。

演变2.已知函数1()1ax x f x e x
-+=- （1）设0>a ，讨论)(x f y =的单调性；
（2）若对任意)1,0(∈x 恒有1)(>x f ，求a 的取值范围.（2a ≤）
例3.设函数()
2()1x f x x e ax =-- （1）若12
a =，求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围.（1a ≤）
演变1.已知函数()=ln (+)f x x x a -的最小值为0，其中0a >.
（1）求a 的值；
（2）若2x ≥-时，()()f x k g x ≤⋅，求k 的取值范围（2
1k e ≤≤）
强化练习
1.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[5,3]--
B ．9
[6,]8
-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--
2.设函数()x f x m π=，若存在()f x 的极值点0x 满足()2
2200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）
A. ()(),66,-∞-⋃∞
B. ()(),44,-∞-⋃∞
C. ()(),22,-∞-⋃∞
D.()(),14,-∞-⋃∞
3.已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩
，若|()f x |≥ax ，则a 的取值范围是( ) A.(,0]-∞ B.(,1]-∞ C.[2,1]- D.[2,0]-
4.若()3
31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ． 5.已知函数44()ln f x ax x bx c =+-（0x >）在1x =处取得极值3c --，其中a 、b 、c 为常数。

（1）试确定a 、b 的值；
（2）讨论函数()f x 的单调区间；
（3）若对任意0x >，不等式2()2f x c ≥-恒成立，求c 的取值范围。

6.已知函数21()()(0)ax f x x x e a a =--≠
（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))A f 处的切线方程；
（2）当0a <时，求函数()f x 的单调区间；
（3）当0a >时，若不等式3()0f x a +
≥，对3[,)x a ∈-+∞恒成立，求a 的取值范围。

7.设函数2()1x f x e x ax =---。

（1）若0a =，求()f x 的单调区间；
（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围（12a ≤
） 8.若函数ln ()1a x b f x x x
=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-= （1）求a ，b 的值； （2）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x >
+-，求k 的取值范围。

（0k ≤）
答案：C 、C 、D 、4
7.解析：（II ）'()12x f x e ax =--，由（I ）知1x e x ≥+，当且仅当0x =时等号成立.故
'()2(12)f x x ax a x ≥-=-，从而当120a -≥，即12
a ≤
时，'()0 (0)f x x ≥≥，而(0)0
f =，于是当0x ≥时，()0f x ≥。

由1(0)x e x x >+≠可得1(0)x e x x ->-≠. 从而当12
a >时，'()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --<-+-=--，故当(0,ln 2)x a ∈时，'()0f x <，而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x <.
综合得a 的取值范围为1(,]2
-∞. 8.解析：（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1()1x f x x x =++，所以 22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x
---+=+--。

考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x
--(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=。

(1)设0k ≤，由22
2(1)(1)'()k x x h x x
+--=知，当1x ≠时，'()0h x <。

而(1)0h =，故 当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得
21()01h x x
>-； 当x ∈（1，+∞）时，()0h x <，可得21()01h x x
>- 从而当0x >，且1x ≠时，()f x -（1ln -x x +x k ）0>，即()f x >1ln -x x +x
k . （2）设01k <<，由于当x ∈（1，k
-11）时， 2(1)(1)20k x x -++>，故'()0h x >，而(1)0h =，故当x ∈（1，k -11）时，()0h x >，可得211x -()0h x <，与题设矛盾。

（3）设1k ≥，此时'()0h x >，而(1)0h =，故当x ∈（1，+∞）时，()0h x >，可得
2
11x -()0h x <，与题设矛盾。

综合得，k 的取值范围为（-∞，0]。