广东工业大学 复变函数和积分变换样卷

复变函数与积分变换（样卷）

一、 单项选择题（每小题3分， 共24分）

1．下列复数中，位于第Ⅱ象限的复数是（C ）

A.1+i

B.1-i

C.-1+i

D.-1-i 2．下列等式中，对任意复数z 都成立的等式是（D ） A.z·z =Re(z·z )

B. z·z =Im(z·z )

C. z·z =arg(z·z )

D. z·z =|z|^2

3．函数z

1=ω把Z 平面上的单位圆周|z|=1变成W 平面上的（D ） A.不过原点的直线 B.双曲线 C.椭圆 D.单位圆周 4．下列函数中，不解析．．．的函数是（A ） A.w=z

B.w=z 2

C.w=e z

D.w=z+cosz

5．在复平面上，下列关于正弦函数sinz 的命题中，错误．．的是（C ） A.sinz 是周期函数 B.sinz 是解析函数

C.|sinz|1≤

D.z cos )z (sin ='

6．在下列复数中，使得e z

=2成立的是（B ）

A.z=2

B.z=ln2+2i π

C.z=2

D.z=ln2+i π

7．若f(z)在D 内解析，)z (Φ为f(z)的一个原函数，则（C ） A.)z ()z (f Φ=' B. )z ()z (f Φ='' C. )z (f )z (='Φ

D. )z (f )z (=Φ''

8．设C 为正向圆周|z|=1,则⎰+-C

2

dz )i 1z (1等于（A ）

A.0

B.

i

21

π C.i 2π D.i π

二、 填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

1．设4i e 2z π

=,则

Rez=1.

2.f(z)=(x 2-y 2-x)+i(2xy-y 2)在复平面上可导的点集为 {(x ,y )｜y=1/2，x ∈C}.

3.设C 为正向圆周|z-i 4

π|=1,则积分⎰

=C dz z

cos 1

0. 4. 正弦函数t t f 0sin )(ω= 的傅立叶变换

)]()([)(00ωωσωωσω--+=πj F

5.设函数

)(t f 为无穷次可微函数，则 =⎰+∞

∞-)()(t t f δ-f(0)

三、 计算题（每小题6分， 共30分）

1．设i

3i

2z -+=

,求 z+z 和z-z . z+z =1 z-z =i 2.设f(z)=x 2-2xy-y 2-i(x 2-y 2).

求出使f(z)可导的点, (2)求f(z)的解析区域. (0,0)处可导，处处不解析

3.设z=x+iy,L 为从原点到1+i 的直线段.求.dz )iy y x (L

2⎰++

取z=(1+i)t,0<=t<=1，原积分化为关于t 的积分，结果为2/3+4/3i 4.计算积分⎰+-i

30.dz )3z 2(

-1+3i

5.设C 为正向圆周|z-1|=3,计算积分I=⎰-C

2

z .dz )

2z (z e

Res[f(z),0]=1/4 Res[f(z),2]=e^2/4

I=2πi(Res[f(z),0]+Res[f(z),2])=πi(1+e^2)/2

四、综合题（共26分，第一题14分，第二题12分）

1.已知f(t)=⎩

⎨

⎧≤<其他1

t 0,0,1,试求下列函数的付氏变换：

(1)e -2t f(t),

(2)sin2t ，

(3)g(t)=e -2t f(t)+3sin2t.

2.求微分方程 满足初始条件 ， 的解。

02'''=+-y y y ()00y =

4)0(='y =aplace aplace 2

'(0)(0)

4

(1)2t

解：设Ｌ（y(t)）

Y(s)根据L 变换性质有：

Ｌ（y'(t)）=sY(s)-y(0),Ｌ（y''(t)）=s Y(s)-s -则原微分方程等价于：Y(s)=

求对上式求逆变换，得：y(t)=4te y y s L -=j +--=+3j +--ωωωσωσωωσωσωω1(2)21(2)解：

1、F()=

、（）π[（2）（2）]3、F （）π[（2）（2）]j F j ++