高三第一轮复习数列的概念与简单表示法课件

Sn 2 1 3 2 n 1 n n 1 1 9. n 99.
题型分类
题型一
深度剖析
由数列的前几项写数列的通项公式
【例1】 根据数列的前几项，写出下列各数列的一 个通项公式： （1）-1，7，-13，19，„
（2）0.8，0.88，0.888，„
1 Sn . 2n
当n 2, n N* 时, an 2 Sn Sn 1 1 1 1 2 , 2n 2(n 1) 2n(n 1) 1 (n 1) 2 an . 1 (n 2, n N* ) 2n(n 1)
(n 1) S1 , 5. 已知S n , 则an .数列 {an }中 , 若an Sn-Sn-1 , (n 2) an an-1 , an an-1, 最大, 则 若an最小, 则 an an+1. an an+1.
基础自测 1.下列对数列的理解有四种： ①数列可以看成一个定义在N*（或它的有限子集 {1，2，3，„，n}）上的函数； ②数列的项数是有限的； ③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立 的点； ④数列的通项公式是惟一的. 其中说法正确的序号是 （ C ） A.①②③ B.②③④ C.①③ D.①②③④ 解析 由数列与函数的关系知①③对，由数 列的分类知②不对，数列的通项公式不是惟一 的，④不对.
∴an=-2n+25（n∈N*）.
（2）方法一
∵Sn=-n2+24n，
∴n=12时，Sn最大且Sn=144.
方法二 ∵an=-2n+25，
25 ∴an=-2n+25＞0，有n＜ . 2
∴a12＞0，a13＜0，故S12最大，最大值为144.
思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.求数列通项或指定项 .通常用观察法（对于交错数 列一般用（-1）n或(-1)n+1来区分奇偶项的符号）； 已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的 前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法. 2.强调an与Sn的关系:an=
S1 Sn Sn 1
(n 1)
. (n 2)
3. 已知递推关系求通项：这类问题的要求不高，但 试题难度较难把握.一般有三种常见思路： （1）算出前几项，再归纳、猜想； （2）“an+1=pan+q”这种形式通常转化为an+1+ =
p(an+
), 由待定系数法求出
，再化为等比数列；
n ( n 2) . 2n 1
此题也可用排除法求解，只需验证当n=1时，A
3 3 1 选项为 ，B选项为 ，C选项为 ，均不为1，故 2 4 3
排除A、B、C，从而选D.
3.在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an (n∈N*),
则a100等于
A.1 解析 B.-1 方法一 C.5
an 1 (2) an 1 (n 1)an , n 1 an an a n, n 1 n 1, an 1 an 2
a3 3, a2 a2 2, a1 a1 1. 累乘可得, an n (n 1) (n 2) 3 2 1 n！ . 故an n！ .
4 . 若 数 列 { a 则a4等于 A.7 解析 B.8
n
} 的 前 n 项 和 S
n
= n
2
- 1 ,
( A ） C.9 D.17
a4=S4-S3=42-1-（32-1）=7.
5.数列{an}中，an 解析
1 n n 1
，Sn=9，则n= 99 .
1 an n 1 n, n 1 n
探究提高
12分
数列的通项an与前n项和Sn的关系是
(n 1) , 此公式经常使用，应引起 S1 an Sn Sn 1 (n 2)
足够的重视.已知an求Sn时方法千差万别，但已知Sn 求 a n 时方法却是高度统一 . 当 n ≥ 2 时求出 a n 也适合 n=1时的情形,可直接写成an=Sn-Sn-1,否则分段表示.
题型三
由Sn与an的关系求通项an
【例 3 】（ 12 分）已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足 1 an+2SnSn-1=0 (n≥2,n N*),a1= ,求an. 2 思维启迪 由已知条件可将an=Sn-Sn-1（n≥2)代 入等式，得关于 Sn 与 S n -1 的一个等式，经变形推
2.数列1，8 , 15 , 24 ，„的一个通项公式an是（ D ） 5 7 9 2 2 n n ( n 2 ) ( n 1 ) 1 D. n(n 2) A. B. C. 2n 1 2n 1 n 1 2(n 1) 3 解析 ∵1可以写成 ，∴分母为3，5，7，9， 3 即2n+1,分子可以看为1×3,2×4,3×5,4×6,故 为n(n+2)，即 an
n
思维启迪
（1）构造等比数列；(待定系数法）（2）
转化后利用累乘法求解；（3）转化后利用累加法求解.
解
∴数列{an+1}为等比数列，公比q=3,又a1+1=2,
∴an+1=2·3n-1，∴an=2·3n-1-1.
（1）∵an+1=3an+2，∴an+1+1=3（an+1）， an1 1 3 an 1
1 得数列 { } 具有等差数列的特征，进而求得Sn， Sn 再得an.
解
∵当n≥2, n∈N*时，an=Sn-Sn-1,∴Sn-Sn-1
+2SnSn-1=0，
1 1 即 2, S n S n 1 1 数列 { }是公差为2的等差数列. Sn 1 1 又S1 a1 , 2, 2 S1 1 2 (n 1) 2 2n, S1 8分 4分 6分
存在正数M，使|an|≤M an的符号正负相间，如 1，-1，1，-1，„
摆动数列
3.数列的表示法： 数列有三种表示法，它们分别是 列表法、图象法
和解析法.
4.数列的通项公式 如果数列 { a n } 的第 n 项 a n 与 序号n 之间的关系可 以用一个公式 an=f(n)来表示，那么这个公式叫 做这个数列的通项公式.
知能迁移4
已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+24n
（ n ∈ N* ） . （1）求{an}的通项公式； （2）当n为何值时,Sn达到最大?最大值是多少?
解
（1）n=1时，a1=S1=23.
n≥2时，an=Sn-Sn-1=-n2+24n+(n-1)2-24(n-1) =-2n+25.
经验证，a1=23符合an=-2n+25,
知能迁移3 已知下列数列{an}的前n项和Sn,求{an} 的通项公式： （1）Sn=2n2-3n；(2)Sn=3n+b. 解 （1）a1=S1=2-3=-1， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =（2n2-3n）-［2(n-1)2-3(n-1)］=4n-5， 由于a1也适合此等式，∴an=4n-5. （2）a1=S1=3+b, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=2·3n-1. 当b=-1时，a1适合此等式； 当b≠-1时，a1不适合此等式. ∴当b=-1时，an=2·3n-1; 3 b, n 1, an n1 当b≠-1时， 2 3 , n 2.
a2=a1+31. 以上（n-1）个式子相加得 an=a1+31+32+„+3n-1 n 3 1 2 n -1 =1+3+3 +„+3 = . 2
n 1 （ 2） an an 1 (n 2), n n2 an 1 an 2 , n 1 1 a2 a1. 2 以上(n 1)个式子相乘得 1 2 n 1 a1 1 an a1 . 2 3 n n n
探究提高
已知数列的递推关系，求数列的通项
时，通常用累加、累乘、构造法求解. 当出现an=an-1+m时，构造等差数列；当出现
an=xan-1+y时，构造等比数列；当出现 an=an-1+f(n) an f (n)时，用累乘 时，用累加法求解；当出现 an1 法求解.
知能迁移2 根据下列各个数列{an}的首项和基本 关系式，求其通项公式. （1）a1=1,an=an-1+3n-1 (n≥2); n 1 （2）a1=1,an= an-1 (n≥2). n 解 （1）∵an=an-1+3n-1 (n≥2), ∴an-1=an-2+3n-2, an-2=an-3+3n-3, „„
数
列
数列的概念与简单表示法
要点梳理
1.数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中 的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
分类原则 按项数分类 按项与项间 的大小关系 分类 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 常数列 有界数列 按其他 标准分类 满足条件 项数 有限 项数 无限 an+1＞an an+1＜ an an+1=an 其中 n∈N*
（ B ）
D.-5 由a1=1,a2=5,an+2=an+1-an
(n∈N*)可得该数列为1，5，4，-1，-5，-4，
1，5，4，„. 由此可得a100=-1. 方法二 an+2=an+1-an，an+3=an+2-an+1， 两式相加可得an+3=-an，an+6=an，
∴a100=a16×6+4=a4=-1.
不完全归纳法，得出的结果是不可靠的，要注意代
值检验 , 对于正负符号变化 , 可用 (-1) n 或 (-1) n + 1 来调整.
题型二
由数列的递推公式求通项an
【例2】根据下列条件，确定数列{an}的通项公式. （1）a1=1，an+1=3an+2； （2）a1=1，an+1=（n+1）an； （3）a1=2，an+1=an+ ln(1 1 )
题型四
n2 【例4】已知数列的通项公式为 an 2 . n 1 （1）0.98是不是它的项？
（2）判断此数列的增减性. 思维启迪 （1）令an=0.98,看能否求出正整数n;
数列的性质
（2）判断an+1-an的正负.
（1）假设0.98是它的项，则存在正整数n, n2 满足 2 =0.98，∴n2=0.98n2+0.98. n 1 ∵n=7时等式成立，∴0.98是它的项. 解
1 (3) an1 an ln(1 ), n 1 n 1 an1 an ln(1 ) ln . n n n an an1 ln , n 1 n 1 an1 an2 ln , n2 2 a2 a1 ln , 1 n n 1 2 an a1 ln ln ln ln n. n 1 n2 1 又a1 2, an ln n 2.
（3）累加或累乘法.
(n 1) 2 n2 （ 2） an1 an 2 2 (n 1) 1 n 1 2n 1 0. 2 2 [(n 1) 1](n 1) ∴此数列为递增数列.
探究提高 （1）看某数k是否为数列中的项，就是
看关于n的方程an=k是否有正整数解.
（2）判断数列的单调性就是比较an与an+1的大小.
1 1 5 13 29 61 （3） , , , , ห้องสมุดไป่ตู้ , , 2 4 8 16 32 64 3 7 9 （4） ,1, , , 2 10 17 （5）0，1，0，1，„
思维启迪
间的关系.
先观察各项的特点，然后归纳出其通项
公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之
探究提高 （ 1 ）由数列的前几项求它的一个通项 公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还 原、分割等方法，转化为一些常见数列的通项公式 来求. （2）由数列的前几项写出数列的一个通项公式是