离散型随机变量及分布

对应的概率可以表示为
P A P 0 X 1000 .
二、概率函数
在上节的几个例子中, 我们看到问题中所涉及的几个 随机变量的取值为有限多个或“可列”多个, 这类随机 变量称为离散型随机变量.
1.离散型随机变量和概率函数 设 X为离散型随机变量,
X 的可能取值为
a1, a2 ,, an ,,
号球只有一个, 故
1 P X 1 . 5
同理,
2 P X 2 , 5
及
2 P X 3 . 5 从而随机变量 X的分布律为
X P 1 1 5 2 2 5 3 2. 5
例 设袋中有5球, 编号分别为
1, 2,3, 4,5,
从袋中随
机地取3个球, 以 X 表示取到的3个球中的最大编号,求
2 的次品数 X B 3, . 15
P X k
C3k
2 15
k
13 15
3k
k 0,1,2,3 .
四、二维随机变量及分布
1.联合概率函数 设 E是随机试验,
是相应的样本空间, 一个从 到
R R的二元函数即称为一个二维随机变量.
N 件产品中有 M 件次品，从中抽取 n 件进行检验，用
X 表示 n 件中的次品数，则 X 服从超几何分布， X 的分布律为：
k nk CM CN M P X k n CN
k 0,1,2,,min n.M
例13 设15件产品中有2件次品，从中任取3件，以 X 表示3件中的次品数，求 X 的分布律. 解
注：随机变量的取值按从小到大的顺序排列，概率 为零的项不必列出.
P X K
ai K
P X a .
i
其中 K 为某一实数集.
例4 设袋中有5球, 编号为1,2,2,3,3, 从袋中随机地 取一球, 以 X表示取到的球的编号, 求 X 的分布. 解 以 X 表示取到球的编号, 则 X的取值为1, 2,3. 因1
习惯上, 0 1分布又常写成
X
0
1 p
P 1 p
,
⑷
⑵二项分布 在 n 重贝努利试验中, 若以 X 表示事件A在 n 次试验中 出现的次数. 则 X的取值为 0,1,2,, n, 相应的概率为:
P X k
分布律为
X P 0
k Cn
p 1 p
k
nk
k 0,1,n .
CC 22 P X 0 3 C15 35
1 2 C2 C13 12 P X 1 3 C15 35 2 1 C2 C13 1 P X 2 3 C15 35
0 2
3 13
X 的分布律为
X P
0
1
2 1. 35
22 12 35 35
在上例中，若将无放回抽样改为有放回抽样，则3件中
电梯发生故障时, 有维修工人进行维修.
解 以 X 表示在同一时刻发生故障的电梯数, 则由条件 得 X B 200,0.02 . 取 4, 所以
⑴由计算公式⑻得
P X 5 0.1563.
⑵
P X 3 1 P X 0 P X 1 P X 2
⑼
则称随机变量服从参数为 的泊松分布, 记为 X P . 泊松分布的计算: 查表 P257 258.
例9 设 X P 5 , 求 解 查表得 P X
P X 6 .
6 0.1462.
例10 设某交通道口一分钟的汽车流量为随机变量
X , X P 1 , 求在一分钟内至少有2辆车通过的
1 0.0183 0.0732 0.1465 0.762.
⑶记配备的维修工人数为 N , 若能有维修工人能进行维 修, 则 X N , 所以原问题由概率来反映, 即为
P X N 0.95. P X N 1 0.95.
从而P X
N 0.05. 查表得
亡的人数, 则相应的问题转变为求概率 P
X ~ B 1000,0.005 , 可得
P X 10 C
k 0 10 k 1000 k
X 10. 由
1000 k
0.005 0.995
.
在上式中直接计算 C
k 1000
0.005 0.995
k
P X k 0.4 1 0.4
随机变量取奇数的概率为


k 1
, k 1, 2,3,
P X 2k 1 0.4 0.6
k 1
k 1
2 k 1
0.4 5 . 2 1 0.6 8
(5)超几何分布
产品的抽样检验是经常遇到的一类实际问题.假定在
三、常用离散型随机变量
⑴ 0 1分布 若随机变量 X的取值为0, 1, 相应的概率记为
P X 1 p, P X 0 1 p 0 p 1 ,
则称服从 0 1分布. 记为
⑶
X B 1, p .
一个只有两个基本结果的随机试验, 都可转化为 0 1 分布.
P X 8 0.02379, P X 7 0.05716.
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P X 8 0.97621, P X 7 0.94284.
故取 N 8, 即配备8名维修人员, 使能以95%的概率, 保证当电梯发生故障时, 一定有维修工人进行维修.
⑷几何分布 设随机变量 X 的取值为1, 2, , 相应的概率函数为
P X k p 1 p
k 1
, 0 p 1
⑽
称随机变量 X服从参数为 p 的几何分布, 记为
X G p.
例12 某人投篮的命中率为0.4，假定各次投篮是否
命中相互独立，设 X 表示他首次投中时累计已投篮的 次数，求 X 的分布律，并求 X 取奇数的概率. 解：随机变量的分布律为
X 0,1, 2,,10.
例3 设随机试验 E表示射击试验, 以 X 表示首次命中时 所进行过的射击次数. 则 X 的取值为1,2,, n,. 将上面的问题一般化, 我们引入下面概念.
定义
设 E为随机试验,
为样本空间, 定义在上的函
数称为 上的（一维）随机变量. 记为
R, X : i X i .
第二章 离散型随机变量及分布
本章要点 本章引入随机变量的概念, 讨论几种类型的随机变量 及相应的分布. 主要内容有: 一、一维离散型随机变量及分布 二、一维离散型随机变量的常用分布 三、二维离散随机变量的联合分布与边缘分布 四、随机变量的独立性 五、随机变量函数的分布
一、随机变量
1.随机变量 例1 设随机试验 E 为抛硬币试验, 我们以符号H表示出 现的是正面, 符号 F表示出现的是反面, 为了更好的刻画 这类随机试验, 我们 用一个数对应一个试验的结果，由 此引入一个变量 X
事件 X ai 的概率为pi , 即:
P X ai pi ,
⑴
满足
pi 0i 1,2, ,
p
i 1

i
1.
称⑴式为随机变量 X 的分布（分布律）, 又称为概率函 数. 上式又可用表格的形式给出:
X a1 a2 an . P p1 p2 pn
退款. 问卖出的某包螺钉被退回的概率有多大？ 解 由条件, 以 X表示包内螺丝钉为次品的件数, 则包
被退回意味着 X 1, 故所求的概率为
P X 1 1 P X 0 P X 1
1 0.99 C 0.01 0.99 0.0043.
e 0.986.
⑻
P X 10
k 0
10
k
k!
即在未来一年中这1000个投保人死亡人数不超过10个人 的概率为0.986.
⑶泊松分布 设随机变量 X的取值为0,1,2,, n,, 相应的分布律 为
P X k
k
k!
e
k 0,1,2,, 0 ,
0 1 分布是二项分布在
n 1 时的特殊情况.
例6 某特效药的临床有效率为0.95，今有10人服用，问 至少有8人治愈的概率有多少？ 解 设 X 为10人中治愈的人数，则 X B 10,0.95 ,
P X 8 P X 8 P X 9 P X 10
概率。 解 所求概率为
P X 2 1 P X 0 P X 1
1 2e .
1
例11 设某小区有电梯200部, 每台电梯发生故障的可 能性为0.02, 求 ⑴在同一时刻恰好有5部电梯发生故障的概率; ⑵在同一时刻至少有3部电梯发生故障的概率; ⑶至少配备多少维修工人, 使能以95%的概率, 保证当
1000 k
是比较
困难的, 为此我们引入一个简便的计算方法——即二项
分布的逼近,称为泊松定理. 设X
B n, p . 当 n很大 p很小且 np 适中时有 k
P X k e
k! 在上例中, 取 1000 0.005 5, 则有
k 0,1, 2, .
1 出现正面, X 0 出现反面.
例2 设随机试验 E为一次打靶试验, 其基本结果是中与 不中. 同样可以引入变量: 1 击中目标,
X 0 未击中目标.
也有很多试验，其结果本身就用数来表示的. 例如 在一大批产品中有5%的次品，从中抽取10件产 品，其中的次品数在抽取之前是不确定的，我们可以 引进变量 X 来表示其中的次品数，其取值为
引入了随机变量以后, 随机事件及相应的概率可以用 随机变量方式加以刻画. 例如, 某厂生产的灯泡按国家标准其合格品的寿命时
间应该不小于1000 小时. 此时 0, .
记 A表示“取到的一只产品是不合格品”, 再以 X表 示取出的灯泡的寿命, 则事件

A可以表示为 A 0 X 1000.
k
k n k nk
⑸
1
n

n 1
n p
n
1 p
C p 1 p
1 n
C p 1 p
.
⑹
其中 p为事件A发生的概率. 则称 X 服从参数为 n, p 的 二项分布, 记成
X B n, p .
在概率论中, 二项分布是一个重要的分布. 在许多独
立重复试验中, 都具有二项分布的形式.
C 0.95 0.05 C 0.95 0.05 0.95
8 10 8 2 9 10 9 1
10
0.9885.
例7 已知某公司生产的螺丝钉的次品率为0.01, 并设 各个螺丝钉是否为次品是独立的. 这家公司将10个螺丝
钉包成一包出售, 并保证若发现包内多于一个次品就可
所进行过的射击次数. 则 X 的取值为1,2,, n,.
设每次命中目标的概率为0.8，求随机变量的分布律 及
P X 3 .
X 1 2 n
解： 分布律为
P 0.8 0.2 0.8 0.2n1 0.8
P X 3 0.8 0.2 0.8 0.22 0.8 0.992.
X
解
的分布律.
X
的取值为
3, 4,5.
X
X P
的分布律为：
1 1 P X 3 3 . C5 10
C32 3 P X 4 3 . C5 10
3
4
5
1 3 6. 10 10 10
C42 6 P X 5 3 . C5 10
例
设随机试验 E表示射击试验, 以 X 表示首次命中时
10 1 10 9
被退回的概率近似等于0.43%.
例8 设有保险公司的某保险险种有1000人投保, 每个 人在一年内死亡的概率为0.005, 且每个人在一年内是否
死亡是相互独立的. 试求在未来一年中这1000个投保人
死亡人数不超过10个人的概率. 解 以随机变量 X 表示在未来一年中这1000个投保人死