【数学】1.2.1 综合法 课件(北师大版选修2-2)

所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等 为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为 止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法) 用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:
b b 4ac b b 4ac b x1 x2 , 2a 2a a
2 2
b b 4ac b b 4ac x1 x2 2a 2a 2 2 b (b 4ac) 4ac c 2 . 2 4a 4a a
2 2
例3：已知：x,y,z为互不相等的实数，且
所以 因此
cosB>0
B 90
小结：
综合法的定义和特点
从已知条件出发，以已知定义、公理、定理 等为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论 为止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法)
综合法的特点是：从已知看可知，逐步推向 未知，其逐步推理，实际上是寻找它的必要 条件。
。
f ( x) sin( 2 x

) 的一个周期。 4
例2：（韦达定理）已知 x1和 x2是一元二次方程
ax bx c 0(a 0, b 4ac 0)
2 2
的两个根。求证：
b c x1 x 2 , x1 x 2 a a
。
b b 2 4ac b b 2 4ac x , x2 ; 证明：由题意可知：1 2a 2a
2 2 2
yz x y zx x y z 1. x y zx yz
zx zx , 所以 yz
练习1、已知a>0,b>0,求证 a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 证明: 因为b2+c2
≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2
≥2bc,b>0
B A
1 4 3 2
D
C
证 连结AC，因为四边形ABCD是平行四边形 所以AB//CD，BC//DA 故1 2，3 4 又AC=CA 所以ABC CDA 故 AB=CD，BC=DA 直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证 明方法称为直接证明，其一般形式为： 本题条件 已知定义 … 本题结论 已知公理 已知定理
P Q1
Q1 Q 2
Q2 Q3
…
Qn Q
特点:“由因导果”
练习2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应 的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列， a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角 形．
A C 2B B 600 (为什么?) 分析 :由A,B,C成等差数列可得什么?
练习3、△ABC三边长 a, b, c 的倒数成等差数列， 求证： B 90 证明：
cos B
.
2ac b 2 2ac b2 1 2ac
a 2 c 2 b 2 2 ac
因为a,b,c为△ABC三边 所以 a + c > b
b 1 0 ac
b2 1 b(a c) b 1 ac
第一章 推理与证明 1.2.1 综合法
复习
推 理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理） 三段论 （一般到特殊）
归纳(特殊到一般） Nhomakorabea类比 （特殊到特殊）
演绎推理是证明数学结论、建立数学体 系的重要思维过程. 数学结论、证明思路的发现,主要靠合 情推理.
引例：四边形ABCD是平行四边形，
求证：AB=CD，BC=DA
由a,b,c成等比数列可得什么? b2 ac
怎样把边,角联系起来?
余弦定理 : b2 a2 c2 2ac cos B
文字语言 学会语言转换
找出隐含条件
图形语言
符号语言
简解：由题意可知：
A C 2B B 60
0
b ac
2
由余弦定理 : b 2 a 2 c 2 2ac cos B 可得b a =c 所以ＡＢＣ为等边三角形．
1 1 1 x y z , y z x
求证：
x y z 1.
2 2 2
证明：根据条件
1 1 yz x y . z y yz
x y
1 1 x y , y z
可得
又由x,y,z为互不相等的实数，所以上式可 变形为 yz y z . 同理可得
x y xy , zx
例1：求证 周期。
证明：
：
是函数
f ( x) sin( 2 x

4
) 的一个
f ( x ) sin 2( x ) sin(2 x 2 ) sin(2 x ) f ( x) 4 4 4
∴由函数周期的定义可知： 是函数