标准正态分布的分位数图形u

1
t2
e2
2
2°t分布的上 分位数 t 与双测 分位
数 t/2 均 有表可查.
15
概率论与数理统计
PT t
0.35 0.3
t t1
0.25 0.2
n = 10
0.15
• -3 --t2
0.1 0.05
-1

• 1 2t 3
P T 1.8125 0.05 t0.05(10) 1.8125
(x 1) x(x), (1) 1, (1/ 2)
(n 1) n! (n N )
9
概率论与数理统计
0.4 0.3 0.2 0.1
n=2
n=3 n=5 n = 10
2 分布
n = 15
5 10 15 20 25
10
概率论与数理统计
2 (n) 分布的性质
1 E 2 (n) n, D 2 (n) 2n
则
E(X i ) 0,
D(X i ) 1,
E
(
X
2 i
)

1
E
2 (n)
E
n
X
2 i


n
i1
E
(
X
4 i
)

1

x
4e
x2 2
dx

3
2
D(X
2 i
)

E(X
4 i
)

E
2
(
X
2 i
)

2
D 2 (n)
D
n
X
2 i


2n
i1
12
概率论与数理统计
(3) t 分布 (Student 分布)
定义 设 X ~ N (0,1) , Y ~ 2 (n), X ,Y相互独立,
T X Y n
则称 T 服从自由度为 n 的 t 分布. 记为T ~ t (n) 其密度函数为
f (t)
Γ

n
n 1 2
Γ
n

1

t2 n
n1
2
2
t
13
概率论与数理统计
0.4 0.3
t 分布
0.2
n=1
0.1
n=20
-3 -2 -1
123
t 分布的图形(红色的是标准正态分布)
14
概率论与数理统计
t 分布的性质
1°f n(t)是偶函数,
n , fn (t) (t)
2 若X1 2 (n1), X 2 2 (n2 ), X1, X 2相互独立， 则 X1＋X 2～ 2 (n1＋n2 )
3 n 时 ， 2 (n) 正 态 分 布
4 2 ( n) 分 布 的 上 分 位 数 有 表 可 查
0.1
例如
0.08
0.06

2 0.05
(10)

18.307
0.04
P 2 (10) 18.307 0.05 0.02
n = 10

5
10
• 15 20.0205(1011)
概率论与数理统计
n
证 1 设 2 (n)
X
2 i
i 1
X1, X 2, , X n
X i ~ N (0,1) i 1,2, , n 相互独立,
/2
• 1 t2/2 3
PT 2.2281 0.025
PT 2.2281 0.05
t0.025 (10) 2.2281
17
概率论与数理统计
(4) F 分布
定义 设 X ~ 2(n), Y ~ 2(m), X, Y 相互独立，
PT 1.8125 0.05, PT 1.8125 0.95
t0.95 (10) 1.8125
16
概率论与数理统计
P(T

t / 2 )


2
P T t /2
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
/2
0.1
0.05
•
-3 --2t/2 -1
6
概率论与数理统计
n = 1 时,其密度函数为

f
(x)


0,
1 x e ,
1 2

x 2
2
x0 x0
1.2 1
0.8 0.6 0.4 0.2
2
4
6
8 10
7
概率论与数理统计
n = 2 时,其密度函数为

f
(x)


1
e
x 2
,
2
x0
0,
x0
为参数为1/2的指数分布.
0.2
0.1
-2 -1
1
P X u
0.4 0.3
2
0.2
/2 0.1
-u•
-2 -1
/2
u0.05 1.645
u0.025 1.96
u0.005 2.575
u• 2
常用 数字
-u/2=u1-/2
/2
1 u•2/2
4
概率论与数理统计
请看演示
分位数
5
0.4 0.3 0.2 0.1
2
4
6
8
10
8
概率论与数理统计
一般地 自由度为 n 的 2 (n) 的密度函数为
f (x)
1
n
e x ,
x 2
n 2
1
2
2
(
n 2
)
x0

其中，

0, x 0
(x) t x1et dt 0
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在x > 0时收敛，称为 函数，具有性质
,
2
n

2
概率论与数理统计
标准正态分布的 分位数
定义
若 PX u ，则称u为标准正态
分布的上 分位数.
若 P X u , 则称 u 为标准
2
2
正态分布的双侧 分位数.
3
概率论与数理统计
标准正态分布的 分位数图形
0.4
PX u 0.3
(1) 正态分布
若
X1, X 2, , X n ~
N
(

i
,

2 i
)
则
n
ai X i
~ N
n
aii ,
n
ai2
2 i

i 1
i1
i 1

特别地,
若
i.i.d.
X1, X2, , Xn ~ Xi ~ N(, 2)
则
X

1 n
n i 1
Xi
~
N


概率论与数理统计
5.4 抽样分布
统计量既然是依赖于样本的，而后者又是 随机变量，故统计量也是随机变量，因而就 有一定的分布，这个分布叫做统计量的“抽 样分布” .
确定统计量的抽样分布是 数理统计的基本问题之一
正态总体是最常见的总体, 本节介绍的几个 抽样分布均对正态总体而言.
1
概率论与数理统计
5.4.1 统计中常用分布
概率论与数理统计
(2) 2 (n)分布 ( n为自由度 )
2分布是由正态分布派生出来的一种分布.
定义 设 X1, X 2, , X n 相互独立, 都服从正态 分布N(0,1), 则称随机变量：
2

X
2 1

X
2 2


X n2
所服从的分布为自由度为 n 的 2 分布.
记为 2 ~ 2 (n)