传染病模型

染病人数由开始到高峰并 逐渐达到稳定
疾病的传染高峰期
此时
d 2I 0 2 dt
意义： 1、当传染系数k或n增大时，t0随之减少，表示传 染高峰随着传染系数与总人数的增加而更快 的来临，这与实际情况比较符合。 2、令λ=kn，表示每个病人每天有效接触的平均 人数，称日接触率。t0与 λ成反比。 λ表示该 地区的卫生水平， λ越小卫生水平越高。故 改善卫生水平可推迟传染病高潮的来临。
相轨线（s，i）
图中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向
相轨线分析结果
1、不论初始条件s0、i0如何．病人终将消失。
2、最终未被感染的健康者的比例是s∞，图中
可看出是在(0，1/ σ)内的单根。
3、若s0 >1/ σ，则i(t)先增加，当s＝1/ σ时，i(t)达到
最大。
4、若s0 ≤1/ σ ，则i(t)单调减小至零
1
1
群体免疫和预防
根据对模型的分析，当 s0 1/ 时，传染病不会 蔓延，因而制止传染病蔓延的途径有两条 1．提高卫生和医疗水平（使阈值变大）； 2．通过预防接种使群体得到免疫（降低 s ） 0
r 0 1 1

（＊）
只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例 （即免疫者比例）r0 满足（＊）式，就可以制 止传染病的蔓延．
dI k0 I (t ) dt I ( 0) I 0
模型的解：
I (t ) I 0ek0t
举个实例
最初只有1个病人，1个病人一天可传染1个人
模型的缺点
问题：随着时间的推移，病人的数目将无限增加， 这一点与实际情况不符． 原因：当不考虑传染病期间的出生、死亡和迁移 时，一个地区的总人数可视为常数。因此 k0应为时间t的函数。在传染病流行初期， k0较大，随着病人的增多，健康人数减少， 被传染的机会也减少，于是k0将变小。 模型修改的关键： k0的变化规律
s0 接近于1 假定 i0 很小，
1 x s0 s 2 s0 ( s0 ) 2
这个结果表明，被传染人数比例约为 的 2倍，当 该地区的卫生和医疗水平不变，即 不变时，这 个比例就不会改变。而当阈值提高时， 减小，于 是这个比例就会降低。
其中
s0
模型四（SIR模型）
某些传染病如麻疹等，治愈后均有很强的免 疫力，所以病愈的人既非健康人，也非病人。 模型假设： （1）人群分为健康者、病人、病愈免疫者三类， 这三类人在总人数中所占的比例分别为s(t)， i(t)，r(t)，则有s(t)+i(t)+r(t)＝n。 （2）单位时间内，一个病人传染的人数与当时 健康者人数成正比，比例系数为k （3）在单位时间内，病愈免疫的人数与当时病 人人数成正比，比例系数为μ
阈值1/σ的意义
1、减小传染期接触数σ ，即提高阈值l/ σ ，使得
s0 ≤1/ σ(即σ ≤1/ s0)，传染病就不会蔓延。
2、卫生、医疗水平：σ =λ/μ
3、交换数的意义：σs=λs∙1/μ 是传染期内一个病 人传染的健康者的平均人数，称为交换数，其含
义是一个病人被σs个健康者交换。
4、 σ的估计
汽车停车距离可分为两段：一段为发现情况到 开始制动这段时间里驶过的距离DT，这段时间为反 应时间；另一段则为制动时间驶过的距离DR，现考 核某司机，考核结果如下：
行驶速度 36公里/小时 50公里/小时 70公里/小时 DT 3米 5米 7米 DR 4．5米 12．5米 24．5米
思考题2
（1）作出停车距离D的经验公式 （2）设制动力正比于车重，建立理论分析模型并求 出D的公式。
人， h ＝1/5，则每位病人平均生病时间为1/ h ＝5天)。
模型的建立
假设2、3得：
di ks (t )i (t ) hi (t ) dt i (0) i0
将假设1代入，可得模型：
di ki(n i ) hi dt i(0) i0
模型的解：
i(t )
1 k 1 k ( hnk )t ( )e nk h i0 nk h
阈值σ=nk/h的意义
一个病人在平均传染期内传染的人数与当时 健康的人数成正比，治愈率为h
ì nk - h nk > 1 ï ï k h i ( t ) = í lim nk ï i? 0 £1 ï h î
n ln( 1) I0 计算高峰期得： t0 kn
模型的缺点
缺点：当t→∞时，I(t) → n，这表示所有的人最
终都将成为病人，这一点与实际情况不 符合
原因：这是由假设〔1)所导致，没有考虑病人可
以治愈及病人病发身亡的情况。 思考题：考虑有病人病发身亡的情况，再对模型 进行修改。
模型三(SIS模型)
模型一SI模型
模型假设：
（1）一人得病后，久治不愈，人在传染
期内不会死亡。
（2）单位时间内每个病人传染人数为常
数k 。 为什么假设不会死亡？ （因为死亡后便不会再传播疾病，因 而可认为此时已退出系统）
模型建立：
I（t）——表示t时刻病人的数量，时间：天 则：I（t+Δt）—I（ t）＝k0I（t） Δ t 于是模型如下：
模型二(SI模型)
设t时刻健康人数为S(t)．病人数为I(t)
模型假设： （1）总人数为n不变，既不考虑生死，也不考虑
迁移，I(t)十S(t)＝n
（2）一人得病后，久治不愈，且在传染期内不 会死亡。 （3）一个病人在单位时间内传染的人数与当时 健康的人数成正比，比例系数为k（称之为
传染系数）
模型改进
dI I (t ) kS (t ) dt I (0) I 0
方程的解：
I (t ) n n knt 1 I 1 e 0
对模型作进一步分析
传染病人数与时间t关系
传染病人数的变化率与时间t 的关系 增长速度由低增至最高后 降落下来
有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再 次被传染而成为病人。 模型假设： （1）总人数为： s(t)+i(t)＝n （2）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康人数成 正比，比例系数为k （3）单位时间治愈的人源自文库与病人总数成正比，比例系数为 h(称日治愈率)，病人治愈后成为仍可被感染的健康者， 称 1/ h为传染病的平均传染期(如病人数保持10人，每天治愈2
ln s0 ln s s0 s
模型验证——印度孟买的一个例子
dr 2 dt 2s 2 ch2 (t ) 0 2
图中，实际数据用圆点表示．可以看出， 理论曲线与实际数据吻合得相当不错。
SIR模型的两个应用

被传染比例的估计 群体免疫和预防
被传染比例的估计
动态微分方程模型
传染病模型
(四个模型)
问题提出
本世纪初，瘟疫常在世界上某地流行，随着 人类文明的不断进步，很多疾病，诸如天花、霍 乱已经得到有效的控制．然而，即使在今天，一 些贫穷的发展中国家，仍出现传染病流行的现象, 医疗卫生部门的官员与专家所关注的问题是： （1）如何描述传染病的传播过程 （2）如何分析受感染人数的变化规律 （3）如何预报传染病高潮的到来．
模型的意义
（t , i (t)）图
（1）当σ≤1时，指传染期内被传染的人数不超过当时健康的 人数。病人在总人数中所占的比例i(t)越来越小，最终趋 于零。 （2）当σ ＞l时，i(t)最终以1-1/ σ为极限； （3）当σ增大时，i(∞)也增大，是因为随着传染期内被传染 人数占当时健康人数的比例的增加，当时的病人数所占 比例也随之上升
模型的建立
di si i dt ds si dt i (0) i0 s(0) s 0
从此方程无法求出i ( t )与s ( t )的解析解。 我们可以从相轨线作定性分析
相轨线
s i ( s0 i0 ) s ln s0 1
课后任务
请各位同学进行一些调查，根据模型算一 算在广州，非典型肺炎爆发的高潮大概是在何 时，与实际情况相吻合吗？根据模型请给出你 的建议。
思考题1
设某城市共有n+1人，其中一人出于某种目 的编造了一个谣言。该城市具有初中以上文化 程度的人占总人数的一半，这些人只有1/4相信 这一谣言，而其他人约有1/3会相信。又设凡相 信此谣言的人每人在单位时间内传播的平均人 数正比于当时尚未听说此谣言的人数，而不相 信此谣言的人不传播谣言。试建立一个反映谣言 传播情况的微分方程模型。
思考题3
本世纪初，在伦敦曾观察到一种现象，大约 每两年发生—次麻疹传染病。生物数学家H· E索
珀试图解释这种现象，他认为易受传染者的人数
因人口中新添新的成员而不断得到补充。试建立
数学模型。
思考题4
房屋管理部门想在房顶的边缘 安装一个檐槽，其目的是为了雨天 出入方便。简单说来，从屋脊到屋檐的房顶可以看 成是一个12米长，6米宽的矩形平面，房顶与水平方向的 倾斜角度要视具体的房屋而定，一般说来，这个角度通常 在200~500之间。 现在有一个公司想承接这项业务，他们允诺：提供一 种新型的可持久的檐槽，它包括一个横截面为半圆形(半径 为7．5厘米)的水槽和一个竖直的排水管(直径为10厘米)， 并且不管天气情况如何，这种檐槽都能排掉房顶的雨水． 但是房管部门还在犹豫，考虑公司的承诺能否实现，于 是想请你用数学的方法给一个详细的分析，论证它这个方案 的可行性
问题分析
不同类型传染病的传播过程有不同的特点。 故不可能从医学的角度对各种传染病的传播过程一 一进行分析，而是按一般的传播机理建立模型． 由于传染病在传播的过程涉及因素较多，在分 析问题的过程中，不可能通过一次假设建立完善的 数学模型． 思路是：先做出最简单的假设，对得出的结果 进行分析，针对结果中的不合理之处，逐步修改假 设，最终得出较好的模型。