第54讲 条件概率与事件的独立性、正态分布-新高考数学一轮专题复习(新高考专版)

第54讲条件概率与事件的独立性、正态分布

一、考情分析

1.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系；

2.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算；

3.理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则；

4.会用频率估计概率.

二、知识梳理

1.条件概率及其性质

2.

(1)相互独立的定义：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝P(B).这时，称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.

(2)概率公式

3.

(1)完备事件组：

设Ω是试验E的样本空间，事件A1，A2，…，A n是样本空间的一个划分，满足：

①A1∪A2∪…∪A n＝Ω.

②A1，A2，…，A n两两互不相容，则称事件A1，A2，…，A n组成样本空间Ω的一个完备事件组.

(2)全概率公式

设S 为随机试验的样本空间，A 1，A 2，…，A n 是两两互斥的事件，且有P (A i )>0，i ＝1，2，…，n ，∪n

i ＝1A i

＝S ，则对任一事件B ，有P (B )＝ i ＝1

n

P (A i )P (B |A i )称满足上述条件的A 1，A 2，…，A n 为完备事件组.

4.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验

①定义：在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验.

②概率公式：在一次试验中事件A 发生的概率为p ，则n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k

次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )

n －k (k ＝0，1，2，…，n ). (2)二项分布：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为q ＝1

－p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率是P (X ＝k )＝C k n p k q

n －k ，其中k ＝0，1，2，…，n .于是X 的分布列：

X ～B (n ，p ). 5.正态分布

(1)正态曲线：正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线，其函数表达式为f (x )＝

12π·σ

e －

（x －μ）2

2σ2

，x ∈R (其中μ，σ为参数，且σ>0，－∞<μ<＋∞).

(2)正态曲线的性质

①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交，与x 轴之间的面积为1； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值

1

σ2π

； ④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. (3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ

②P(μ－2σ

③P(μ－3σ

[微点提醒]

1.相互独立事件与互斥事件的区别

相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B).

2.若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的关于直线X＝μ对称和曲线与x 轴之间的面积为1.

三、经典例题

考点一条件概率与事件独立性

【例1】(1)(一题多解)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()

A.1

8 B.

1

4 C.

2

5 D.

1

2

解析法一P(A)＝C23＋C22

C25＝

4

10＝

2

5，P(AB)＝P(B)＝

C22

C25＝

1

10.由条件概率计算公式，得P(B|A)＝

P（AB）P（A）＝

1

10

2

5

＝

1

4.

法二事件A包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个. 事件AB发生的结果只有(2，4)一种情形，即n(AB)＝1.

故由古典概型概率P(B|A)＝n(AB)

n(A)＝

1

4.

答案 B

(2)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为2

3和

3

5.现安排甲组研发新产

品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.

①求至少有一种新产品研发成功的概率；

②若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.

解 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E －

)＝1

3，

P (F )＝35，P (F －)＝2

5，且事件E 与F ，E 与F －，E －与F ，E －与F －

都相互独立.

①记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H －

＝E －

F －

， 于是P (H －

)＝P (E －

)P (F －

)＝13×25＝2

15，

故所求的概率为P (H )＝1－P (H －

)＝1－215＝13

15.

②设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220，因为P (X ＝0)＝P (E －F －

)＝1

3

×25＝215，P (X ＝100)＝P (E －

F )＝13×35＝315＝15，

P (X ＝120)＝P (EF －

)＝23×25＝4

15，

P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615＝2

5.

故所求的分布列为

规律方法 1.求条件概率的两种方法

(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P (AB )

P (A )，这是求条件概率的通法.

(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )

n (A ). 2.求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.

(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 考点二 全概率公式

【例2】 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，已知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？

解 设事件A 为“任取一件为次品”，

事件B i 为“任取一件为i 厂的产品”，i ＝1，2，3. B 1∪B 2∪B 3＝S ，