第54讲 条件概率与事件的独立性、正态分布-新高考数学一轮专题复习(新高考专版)

第54讲条件概率与事件的独立性、正态分布
一、考情分析
1.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系；
2.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算；
3.理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则；
4.会用频率估计概率.
二、知识梳理
1.条件概率及其性质
2.
(1)相互独立的定义：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝P(B).这时，称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.
(2)概率公式
3.
(1)完备事件组：
设Ω是试验E的样本空间，事件A1，A2，…，A n是样本空间的一个划分，满足：
①A1∪A2∪…∪A n＝Ω.
②A1，A2，…，A n两两互不相容，则称事件A1，A2，…，A n组成样本空间Ω的一个完备事件组.
(2)全概率公式
设S 为随机试验的样本空间，A 1，A 2，…，A n 是两两互斥的事件，且有P (A i )>0，i ＝1，2，…，n ，∪n
i ＝1A i
＝S ，则对任一事件B ，有P (B )＝ i ＝1
n
P (A i )P (B |A i )称满足上述条件的A 1，A 2，…，A n 为完备事件组.
4.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验
①定义：在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验.
②概率公式：在一次试验中事件A 发生的概率为p ，则n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k
次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )
n －k (k ＝0，1，2，…，n ). (2)二项分布：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为q ＝1
－p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率是P (X ＝k )＝C k n p k q
n －k ，其中k ＝0，1，2，…，n .于是X 的分布列：
X ～B (n ，p ). 5.正态分布
(1)正态曲线：正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线，其函数表达式为f (x )＝
12π·σ
e －
（x －μ）2
2σ2
，x ∈R (其中μ，σ为参数，且σ>0，－∞<μ<＋∞).
(2)正态曲线的性质
①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交，与x 轴之间的面积为1； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值
1
σ2π
； ④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. (3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682__6；
②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954__4；
③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997__4.
[微点提醒]
1.相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
2.若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的关于直线X＝μ对称和曲线与x 轴之间的面积为1.
三、经典例题
考点一条件概率与事件独立性
【例1】(1)(一题多解)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()
A.1
8 B.
1
4 C.
2
5 D.
1
2
解析法一P(A)＝C23＋C22
C25＝
4
10＝
2
5，P(AB)＝P(B)＝
C22
C25＝
1
10.由条件概率计算公式，得P(B|A)＝
P（AB）P（A）＝
1
10
2
5
＝
1
4.
法二事件A包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个. 事件AB发生的结果只有(2，4)一种情形，即n(AB)＝1.
故由古典概型概率P(B|A)＝n(AB)
n(A)＝
1
4.
答案 B
(2)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为2
3和
3
5.现安排甲组研发新产
品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.
①求至少有一种新产品研发成功的概率；
②若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.
解 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E －
)＝1
3，
P (F )＝35，P (F －)＝2
5，且事件E 与F ，E 与F －，E －与F ，E －与F －
都相互独立.
①记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H －
＝E －
F －
， 于是P (H －
)＝P (E －
)P (F －
)＝13×25＝2
15，
故所求的概率为P (H )＝1－P (H －
)＝1－215＝13
15.
②设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220，因为P (X ＝0)＝P (E －F －
)＝1
3
×25＝215，P (X ＝100)＝P (E －
F )＝13×35＝315＝15，
P (X ＝120)＝P (EF －
)＝23×25＝4
15，
P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615＝2
5.
故所求的分布列为
规律方法 1.求条件概率的两种方法
(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P (AB )
P (A )，这是求条件概率的通法.
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )
n (A ). 2.求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.
(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 考点二 全概率公式
【例2】 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，已知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？
解 设事件A 为“任取一件为次品”，
事件B i 为“任取一件为i 厂的产品”，i ＝1，2，3. B 1∪B 2∪B 3＝S ，
由全概率公式得
P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3).
P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，
P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01，
故P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013. 规律方法全概率公式是计算概率的一个很有用的公式，通常把B1，B2，…，B n看成导致A发生的一组原因.如若A是“次品”，必是n个车间生产了次品；若A是“某种疾病”，必是几种病因导致A发生；若A表示“被击中”，必有几种方式或几个人打中.
(1)何时用全概率公式：多种原因导致事件的发生.
(2)如何用全概率公式：将事件分解成两两不相容的完备事件组.
(3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘法公式的结合.
考点三独立重复试验与二项分布
【例3】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到样本的频率分布直方图(如下图).
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列.
解(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，
所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件).
(2)重量超过505的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0，1，2，
X 服从超几何分布.
P (X ＝0)＝C 228C 240＝63130，P (X ＝1)＝C 112C 128C 240＝28
65，
P (X ＝2)＝C 212C 240
＝11
130，
∴X 的分布列为
(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为1240＝3
10. 从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y 的可能取值为0，1，2，且Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，310， P (Y ＝k )＝C k 2⎝
⎛
⎭⎪⎫1－3102－k
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
310k
， 所以P (Y ＝0)＝C 02
·⎝ ⎛⎭⎪⎫
7102
＝49100， P (Y ＝1)＝C 12·310·710＝21
50， P (Y ＝2)＝C 22
·⎝ ⎛⎭⎪⎫
3102
＝9100. ∴Y 的分布列为
规律方法 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是
否满足公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )
n －k
的三个条件：(1)在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ；(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率. 考点四 正态分布
【例4】 (1)已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<4)＝( ) A.0.6
B.0.4
C.0.3
D.0.2
(2)设X～N(1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是()
(注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝95.44%)
A.7 539
B.6 038
C.7 028
D.6 587
解析(1)因为随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，μ＝2，得对称轴为x＝2，P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，∴P(0<ξ<4)＝0.6.
(2)∵X～N(1，1)，∴μ＝1，σ＝1.
∵P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.26%，
∴P(0<X<2)＝68.26%，则P(1<X<2)＝34.13%，
∴阴影部分的面积为1－0.34 13＝0.658 7.
∴向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是10
000×0.658 7＝6 587.
答案(1)A(2)D
规律方法(1)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个. (2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用：
①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－σ)＝P(X≥μ＋σ).
[方法技巧]
1.古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)＝P(AB)
P(A)＝
n(AB)
n(A)，其中，在实际
应用中P(B|A)＝n(AB)
n(A)是一种重要的求条件概率的方法.
2.全概率公式的理论和实用意义在于：
在较复杂情况下直接计算P(B)不易，但B总是伴随着某个A i出现，适当地去构造这一组A i往往可以简化计算.
3.二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位.
(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次.(2)对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概
率是P (X ＝k )＝C k n p k q
n －k .其中k ＝0，1，…，n ，q ＝1－p . 四、 课时作业
1．（2020·湖南高三其他（理））已知随机变量()2
1,X
N σ，且()()0P X P X a ≤=≥，则()5
3
221ax x x ⎛⎫+⋅+ ⎪
⎝
⎭的展开式中4x 的系数为（ ） A ．680 B ．640
C ．180
D ．40
【答案】A 【详解】 因为随机变量()21,X
N σ，()()0P X P X a ≤=≥，
所以2a =，代入可得()5
3
2212x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，
故()5
3
2212x x x ⎛⎫++ ⎪⎝
⎭展开式中包含4x 的项为：
()
()()23
3
232203234445353
22240640680C x
C C x C x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅+⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，系数为680， 2．（2020·江苏南京·高三开学考试）某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布
2(105,)(0)N σσ>，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的1
5
，则
此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ） A ．150 B ．200
C ．300
D ．400
【答案】C
【解析】∵()()1901205P X P X ≤=≥=，()2390120155
P X ≤≤=-=， 所以()3
9010510
P X ≤≤=
， 所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为3
100030010
⨯
=． 3．（2020·湖南益阳·高三月考）已知随机变量ξ服从正态分布(
)2
1,N σ
，若(4)0.9P ξ<=，则
(24)P ξ-<<=（ ）
A ．0.2
B ．0.4
C ．0.6
D ．0.8
【答案】D
【解析】因为随机变量ξ服从正态分布(
)2
1,N σ，
所以正态曲线的对称轴为1x =， 因为(4)0.9P ξ<=，
所以(4)(2)0.1P P ξξ≥=<-=，
所以()()(24)12410.10.10.8P P P ξξξ-<<=-≤--≥=--=，
4．（2020·福建高三其他）某校在一次月考中共有800人参加考试，其数学考试成绩X 近似服从正态分布
2(105,)N σ，试卷满分150分．现已知同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720，同学乙的数学成绩为120
分，那么他的学校排名约为（ ） A ．60 B ．70 C ．80 D ．90
【答案】C
【解析】因为同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720， 则数学成绩小于等于90分对应的概率约为()8007201
9080010
P X -≤==，
又数学考试成绩X 近似服从正态分布2
(105,)N σ， 所以()()1
1209010
P X P X ≥=≤=
，则成绩数学成绩大于等于120分的学生约为80人， 因此若同学乙的数学成绩为120分，那么他的学校排名约为80名.
5．（2020·山东高三开学考试）已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩Z 近似地服从正态分布
()2453,99N ，估计这些考生成绩落在(]552,651的人数约为（ ）
(附：(
)2
,Z N μσ~，则()0.6827P Z μσμσ-<≤+=，()220.9545P Z μσμσ-<≤+=)
A ．36014
B ．72027
C ．108041
D ．168222
【答案】B 【解析】
()2453,99Z
N ，453,99μσ∴==，
()3545520.6827P Z ∴<≤=，()2556510.9545P Z <≤=，
()()()2556513545525526512
P Z P Z P Z <≤-<≤∴<≤=
0.95450.6827
0.13592-==， 这些考生成绩落在(]552,651的人数约为5300000.135972027⨯=.
6．（2020·四川仁寿一中高三月考（理））在某市高二期末质量检测中，学生的数学成绩服从正态分布
()~98,100X N ，已知参加本次考试的学生有9460人，王小雅同学在这次考试中数学成绩为108分，则她的
数学成绩在该市的排名大约是（ ） （参考数据：若(
)2
~,X N μδ，则()0.6826P X μδμδ-<≤+=，()220.9544P X μδμδ-<≤+=）
A ．1500
B ．2180
C ．2800
D ．6230
【答案】A 【解析】
考试的成绩X 服从正态分布(98,100)N
98,10μσ==，1089810μσ=+=+，
10.6826
(108)2
P ξ-∴≥=
0.1587= 即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数的15.87%.
946015.87%1500∴⨯≈
7．（2020·广东湛江二十一中高三月考）新型冠状病毒肺炎的潜伏期X （单位：日）近似服从正态分布：
()2~7,X N σ，若(3)0.872P X >=，则可以估计潜伏期大于等于11天的概率为（ ）
A ．0.372
B ．0.256
C ．0.128
D ．0.744
【答案】C
【解析】因为7μ=，所以根据正态曲线的对称性知，
(11)(3)1(3)10.8720.128P X P X P X ≥=≤=->=-=.
8．（2020·江西景德镇一中高三月考（理））理查德·赫恩斯坦（Richard J .Herrn stein ），美国比较心理学家和默瑞（Charles Murray ）合著《正态曲线》一书而闻名，在该书中他们指出人们的智力呈正态分布.假设犹太人的智力X 服从正态分布2
120),5(N ，从犹太人中任选一个人智力落在130以上的概率为(附：若随机变量ζ服
从正态分布2
(,)N μσ，则()0.6826P x μσμσ-<<+=，(22)0.9544P x μσμσ-<<+=（ ）
A ．2.28%
B ．4.56%
C ．15.87%
D ．5.65%
【答案】A
【解析】解：根据正态分布的对称性与3σ原则得：
()()()12210.9544
13020.022822
P x P x P x μσμσμσ--<<+->=>+=
==.
所以从犹太人中任选一个人智力落在130以上的概率为2.28%.
9．（2020·江西上高二中高二期末（理））已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布(
)
2
0,3N ，
从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ） （附：若随机变量ξ服从正态分布()2
,N
μσ ，则()68.26%P μσξμσ-<<+= ，
()2295.44%P μσξμσ-<<+=．）
A ．4.56%
B ．13.59%
C ．27.18%
D ．31.74%
【答案】B 【解析】由题意
1
3368.26%6695.44%3695.44%68.26%13.59%2
P P P （＜＜），（＜＜），（＜＜）（）．ξξξ-=-=∴=-=10．（2020·山
东省泰安第二中学高三月考）设随机变量(),7X N μ，若()()24P X P X <=>，则（ ）
A ．3μ=，()7=D X
B ．6μ=，()7=
D X C ．3μ=，()7=D X D ．6μ=，()7=D X
【答案】A
【解析】因为随机变量(),7X N μ，且()()24P X P X <=>，
所以由对称性知24
32
μ+==， 由正态分布(),7X
N μ知方差()7=D X .
11．（2020·湖南师大附中高三月考（理））某校在一次月考中有1200人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布()290,X N a （0a >，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数为总
人数的
3
5
，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生人数为（ ） A ．960 B ．480
C ．240
D ．120
【答案】C
【解析】由已知3
(70110)5
P X ≤≤=
，∴[]1131(110)1(70110)12255P X P X ⎛⎫≥=-≤≤=⨯-= ⎪⎝⎭，
所求人数为1
12002405
⨯
=． 12．（2020·灵丘县豪洋中学高二期末（理））设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，(1)P p ξ>=，则
(10)P ξ-<<=（ ）
A ．
1
2
p B ．1p - C ．12p -
D ．
1
2
p - 【答案】D 【解析】
随机变量ξ服从正态分布()0,1N
∴正态曲线关于0ξ=对称
(1)P p ξ>=
∴ 1(10)2
P p ξ-<<=
- 13．（2020·江西南昌二中高三其他（理））已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：千克)服从正态分布
(90,64)N .现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在区间(82,106)内的产品估计有( )
附:若2(,)X
N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈.
A ．8185件
B ．6826件
C ．4772件
D ．2718件
【答案】A
【解析】依题意，产品的质量X （单位：千克）服从正态分布N （90，64），得90,8μσ==，
0.95440.6826
(82106)0.95440.81852
P X -∴<<=-
=，
∴质量在区间(82,106)内的产品估计有100000.81858185⨯=件.
14．（2020·高邮市第一中学高三月考）若随机变量2
~(,)(0)X N μσσ>，则有如下结论：
()0.6856P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，
(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤，X ～N （120，100），高二（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩，
理论上说在130分～140分之间人数约为（ ） A ．7 B ．5 C ．10 D ．12
【答案】B 【解析】
~(120,100)X N ，
(110130)0.6826P X ∴<=，(100140)0.9544P X <=， 1
(130140)(0.95440.6826)0.13592P X ∴<<=-=，
130∴分~140分之间的人数约为400.13595⨯≈．
15．（2020·辽宁辽阳·高三三模（理））已知随机变量X 服从正态分布(
)2
2,N σ
，且()020.3P X ≤≤=，则
()4P X >=（ ）
A ．0.6
B ．0.2
C ．0.4
D ．0.35
【答案】B
【解析】∵随机变量X 服从正态分布(
)2
2,N σ，
∴正态曲线的对称轴是2x =， ∵()020.3P X ≤≤=， ∴()40.50.30.2P X >=-=.
16．（2020·黑山县黑山中学月考（理））下列说法中正确的是（ ） A ．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1 B ．若正态分布()2
~,X N
μσ，则()()1P x P x μμ<>->
C ．把某中学的高三年级560名学生编号：1到560，再从编号为1到10的10名学生中随机抽取1名学生，其编号为a ，然后抽取编号为10a +，20a +，30a +，…的学生，这样的抽样方法是分层抽样
D ．若一组数据0，a ，3，4的平均数是2，则该组数据的方差是5
2
【答案】D
【解析】对于A ，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，故A 错误； 对于B ，由正态分布()2
~,X N
μσ，则正态分布密度曲线关于x μ=对称，
即()()1P x P x μμ<=->，故B 错误；
对于C ，1到560，再从编号为1到10的10名学生中随机抽取1名学生，
其编号为a ，然后等间距抽取编号为10a +，20a +，30a +，…的学生，属于系统抽样， 故C 错误；
对于D ，一组数据0，a ，3，4的平均数是2，即
034
24
a +++=，解得1a =，
所以方差为
()()()()2222
202123245
4
2
-+-+-+-=，故D 正确. 17．（多选题）（2020·扬州市邗江区蒋王中学高三月考）下列判断正确的是（ ） A ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的必要不充分条件； B ．若随机变量ξ服从正态分布(
)2
1,N σ
，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；
C ．若随机变量ξ服从二项分布：1~4,4B ξ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，则()1E ξ=； D ．22am bm >是a b >的充分不必要条件. 【答案】BCD
【解析】对于A. 直线l ⊥平面α，直线//m 平面β， 若//αβ，则l β⊥，由直线//m 平面β，所以l m ⊥. 若l m ⊥，不能推出//αβ，可能相交.
所以“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件，故A 不正确. 对于B. 随机变量ξ服从正态分布(
)2
1,N σ，其图象的对称轴为1ζ=，()40.79P ξ≤=
所以()410.790.21P ξ≥=-=，则()()0.2124P
P ξξ==≤-≥，故B 正确.
对于C. 由二项分布的期望公式可得()1
414
E ξ=⨯=，故C 正确. 对于D. 若22am bm >，则 a b >是真命题; 若a b >，则22am bm >是假命题.
所以22am bm >是a b >的充分不必要条件，故D 正确.
18．（多选题）（2020·
福建厦门双十中学高二期中）已知三个正态分布密度函数
22
()2()(,1,2,3)i i x i x x R i μσφ--
=
∈=的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A ．12σσ=
B ．13μμ>
C ．12μμ=
D ．23σσ<
【答案】AD
【解析】根据正态曲线关于x ＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边， 所以μ1＜μ2＝μ3，BC 错误；
又σ越小数据越集中，图象越瘦长， 所以σ1＝σ2＜σ3，AD 正确．
19．（多选题）（2020·重庆）下列命题中，正确的命题的是（ ）
A ．已知随机变量服从二项分布(),
B n p ，若()30E x =，()20D x =，则2
3
p =； B ．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
C ．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1
102
P P ξ-<≤=
-； D ．某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0.8X B ，则当8x =时概率最大． 【答案】BCD
【解析】对于选项A ：随机变量服从二项分布(),B n p ，()30E X =，()20D X =，可得30np =，
()120np p -=，则1
3
p =，故选项A 错误；
对于选项B ：根据公式易知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，一般地，
()E a b aE b ξξ+=+，()()2,D a b a D a b ξξ+=为常数，故选项B 正确；
对于选项C ：随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则图象关于y 轴对称，若()1P p ξ>=，则
()1012P p ξ<<=
-，即()1
102
P p ξ-<<=-，故选项C 正确；
对于选项D ：因为在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0,8X B ，当x k =时，对应的概率
()1010
0.2
k k
k
P x k C -==⨯0.8⨯，所以当1k
时，()(
)()101011101104110.80.210.80.2k
k k
k k k P x k k C P x k C k
----+=-⋅⋅===-⋅⋅，由
()()()41111P x k k P x k k =-=≥=-得，444k k -≥，
即44
15
k ≤≤，因为*k N ∈，所以18k ≤≤且*k N ∈，即8k 时，概率()8P x =最大，故选项D 正确．
20．（多选题）（2020·山东寿光现代中学高二期中）甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布
()211,N μσ、()
222,N μσ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A ．乙类水果的平均质量20.8kg μ=
B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小0.8
D ．乙类水果的质量服从的正态分布的参数2 1.99=σ 【答案】AB
【解析】因为由图像可知，甲图像关于直线0.4x =对称，乙图像关于直线0.8x =对称， 所以10.4μ=，20.8μ=，故A 正确，C 错误， 因为甲图像比乙图像更“高瘦”，
所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B 正确，
因为乙图像的最大值为1.992
1.992πσ，
所以2 1.99σ≠，故D 错误，
21．（2020·河北高三月考）2020年初，新型冠状病毒肺炎爆发时，我国政府迅速采取强有力措施抗击疫情，赢得了国际社会的高度评价，在这期间，为保证抗疫物资的质量，我国也加大了质量检查的力度．某市2020年初新增加了甲、乙两家专门生产消毒液的工厂，质检部门现从这两家工厂中各随机抽取了100瓶消毒液，
检测其质量，得到甲厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示，乙厂所生产的消毒液质量指标值的频数分布表如表所示（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，视频率为概率）
质量指标值
[)0,10
[)10,20
[)20,30
[)30,40
[)40,50
频数
20
10
30
15
25
（1）规定：消毒液的质量指标值越高，消毒液的质量越好．已求得甲厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数为2
26
3
，乙厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为26.5，分别求甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数以及乙厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数，并针对这两家工厂所生产的消毒液的质量情况写出两条统计结论；
（2）甲厂生产的消毒液的质量指标值Z 近似地服从正态分布()2
,N
μσ，其中μ近似为样本平均数x ，并已
求得11.95σ=．该厂决定将消毒液分为A ，B ，C 级三个等级，其中质量指标值Z 不高于2.6的为C 级，高于38.45的为A 级，其余为B 级，请利用该正态分布模型解决下列问题： （ⅰ）甲厂近期生产了10万瓶消毒液，试估计其中B 级消毒液的总瓶数； （ⅱ）已知每瓶消毒液的等级与出厂价X （单位：元/瓶）的关系如下表所示：
等级 A
B
C
出厂价X
30
25
16
假定甲厂半年消毒液的生产量为1000万瓶，且消毒液全都能销售出去．若每瓶消毒液的成本为20元，工厂的总投资为4千万元（含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内），问：甲厂能否在半年之内收回投资？试说明理由． 附：若()2,Z
N μσ，则()0.6827P Z μσμσ-<≤+=，()220.9545P Z μσμσ-<≤+=，
()330.9973P Z μσμσ-<≤+=．
【解析】（1）甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为
50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲．
设乙厂生产的消毒液的质量指标值的中位数为n ， 则()0.20.1200.030.5n ++-⨯=，解得2
26
3
n =． 统计结论：（答案不唯一，任意两个即可，其他答案如果叙述正确也给分）
①两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相等，从这个角度看这两家工厂生产的消毒液质量基本相当； ②由数据波动的情况可知，乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，说明甲厂生产的消毒液比乙厂生产的消毒液的质量更稳定．
③两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相同，但乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，所以甲厂生产的消毒液更好．
④两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的众数均等于25． ⑤两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数均为2
26
3
． ⑥甲厂生产的消毒液质量集中在平均数附近，乙厂生产的消毒液中质量指标值特别小和质量指标值特别大的较多．
（2）（ⅰ）()()2.638.452P Z P Z μσμσ<≤=-<≤+
()()1222
P Z P Z μσμσμσμσ=-<≤++-<≤+⎡⎤⎣⎦0.8186=， 因为1000000.818681860⨯=，所以可估计甲厂所生产的这10万瓶消毒液中，B 级消毒液有81860瓶． （ⅱ）设每瓶消毒液的利润为Y 元，则Y 的可能取值为10，5，4-，
()()1038.45P Y P Z ==≥()P Z μσ=≥+()1
12
P Z μσμσ=
--<<+⎡⎤⎣⎦ ()1
10.68272
=
-0.15865=， 由（ⅰ）知()()5 2.638.450.1816P Y P Z ==<<=，
所以()410.81860.158650.02275P Y =-=--=，故Y 的分布列为
所以每瓶消毒液的平均利润为()100.1586550.818640.02275 5.5885E Y =⨯+⨯-⨯=（元）， 故生产半年消毒液所获利润为1 5.5885 5.5885⨯=（千万元），
而5．5885（千万元）>4（千万元），所以甲厂能在半年之内收回投资．
22．（2020·扬州市江都区大桥高级中学高三开学考试）2018年年初，山东省人民政府印发了《山东省新旧动能转换重大工程实施规划》，全省上下解放思想，真抓实干，认真贯彻这一方案，并取得了初步成效．为了进一步了解新旧动能转换实施过程中存在的问题，山东省有关部门随机抽取东部和西部两个地区的200个乡镇，调查其2019年3月份的高科技企业投资额，得到如下数据：
将投资额不低于70万元的乡镇视为“优秀乡镇”，投资额低于70万元的乡镇视为“非优秀乡镇”，并将频率视为概率．已知西部地区的甲乡镇参与了本次调查，其髙科技企业投资额为35万元．
（1）请根据上述表格中的数据填写下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“优秀乡镇”与其所在的地区有关．
（2）经统计发现，这200个乡镇的高科技企业投资额X （单位：万元）近似地服从正态分布(,190)N μ，其中μ近似为样木平均数（每组数据取该组区间的中点值作代表）．若X 落在区间(2,2)μσμσ-+外的左侧，则认为该乡镇为“资金缺乏型乡镇”． ①试判断甲乡镇是否属于“资金缺乏型乡镇”；
②某银行为本次参与调查的乡镇提供无息贷款支持，贷款方式为：投资额低于μ的每年给予两次贷款机会，投资额不低于μ的每年给予一次贷款机会．每次贷款金额ξ及对应的概率如下：
求甲乡镇每年能够获得贷款总金额的数学期望．
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b a c c d b d -=++++，其中13.8n a b c d =+++≈
【详解】
（1）填写22⨯列联表如下所示：
22
200(60203090)200 6.061 5.024150509011033
k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，
所以能在犯误的概率不超过0.025的前提下认为“优秀乡镇”与其所在的地区有关． ①调查的200个乡镇的投资额频率分布表如下：
则350.1450.18550.22650.25750.2850.0559.2μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 因为200个乡镇的高科技企业投资额X 近似地服从正态分布(,190)N μ，
所以2
190,13.8σσ=≈，所以259.227.631.6μσ-≈-=，
因为甲乡锁的高科技企业投资额为35万元，大于31.6万元，
所以甲乡镇不属于“资金缺乏型乡镇”．
②由小问21-可知这200个乡镇的投资额的平均数为59.2万元，甲乡镇的投资额为35万元，低于59.2万元，所以甲乡镇每年可以获得两次无息贷款，所得贷款总金额Y 的取值可以是800，1000，1200，1400，1600， (800)0.20.20.04P Y ==⨯=，
(1000)20.20.50.2P Y ==⨯⨯=，
(1200)0.50.520.20.30.37P Y ==⨯+⨯⨯=，
(1400)20.30.50.3P Y ==⨯⨯=，
(1600)0.30.30.09P Y ==⨯=，
贷款总金额Y 的分布列为
Y
800 1000 1200 1400 1600 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09
()8000.0410000.212000.3714000.3168000.091240E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）．
23．（2020·广东广州·高三月考）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测120个
零件的长度（单位：分米），按数据分成[]1.21.3
，，(]1.3,1.4，(]1.4,1.5，(]1.5,1.6，(]1.6,1.7，(]1.7,1.8这6组，得到如图所示的频率分布直方图，其中长度大于或等于1.59分米的零件有20个，其长度分别为1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以这120个零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率.
（1）求这批零件的长度大于1.60分米的频率，并求频率分布直方图中m ，n ，t 的值；
（2）若从这批零件中随机选取3个，记X 为抽取的零件长度在(]1.4,1.6的个数，求X 的分布列和数学期望； （3）若变量S 满足()0.68260.05P S μσμσ-<≤+-≤且()220.95440.05P S μσμσ-<≤+-≤，
则称变量S 满足近似于正态分布()2,N μσ的概率分布.如果这批零件的长度Y （单位：分米）满足近似于正态分布()1.5,0.01N 的概率分布，则认为这批零件是合格的将顺利被签收；否则，公司将拒绝签收.试问，该批零件能否被签收？
【详解】（1）由题意可知120件样本零件中长度大于1.60分米的共有18件，
则这批零件的长度大于1.60分米的频率为180.15120
=， 记Y 为零件的长度，则()()31.2 1.3 1.7 1.80.025120P Y P Y ≤≤=<≤=
=， ()()151.3 1.4 1.6 1.70.125120
P Y P Y <≤=<≤=
=， ()()()11.4 1.5 1.5 1.6120.02520.1250.352
P Y P Y <≤=<≤=⨯-⨯-⨯=， 故0.0250.250.1m ==，0.125 1.250.1n ==，0.35 3.50.1t ==. （2）由（1）可知从这批零件中随机选取1件，长度在(]1.4,1.6的概率20.350.7P =⨯=.
且随机变量X 服从二项分布()3,0.7X B ， 则()()330010.70.027P X C ==-=⨯，()()213110.70.70.189P X C ==⨯-⨯=，
()33330.70.343P X C ==⨯=，
故随机变量X 的分布列为
00.02710.18920.44130.343 2.1EX =⨯+⨯+⨯+⨯=（或30.7 2.1EX =⨯=）.
（3）由题意可知 1.5μ=，0.1σ=， 则()()1.4 1.60.7P Y P Y μσμσ-<≤+=<≤=；
()()22 1.3 1.70.1250.350.350.1250.95P Y P Y μσμσ-<≤+=<≤=+++=，
因为0.70.68260.01740.05-=≤，0.950.95440.00440.05-=≤，
所以这批零件的长度满足近似于正态分布()1.5,0.01N 的概率分布.
应认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收.。