有限元-伽辽金法ppt课件

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9.3二维稳态热传导有限元方程
一、有限元方程 d x n y d s
w 1 rR d w d2 yrR n2d x s d sw 3 rR 3 d s 0 r1,2,L,n
e
2
Fra Baidu bibliotek
3
w 1 r N r,w 2 r N r,w 3 r N r
N rR d N rR 2d sN rR 3d s 0r1,2,L,n
e
2
3
蜒 Rx2% 2 y2% 2 Q
B P x y d P d x B d yB n x P n yd s
eNr x 2% 2 y 2% 2Qd
权函数的取法可以是各种各样的，从而得到 不同的加权余量法，常用的方法包括配点法、 子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。
9.1 伽辽金方法
一、加权余量法
b
wi (x)R(x)dx 0 （i=1，2，…，n，… ）
a
m
u% x=uox ciNix
i1
与
uox
Nix
是已知函数
当m=n时，则可确定出待定系数ci
伽辽金法 wix=Nix N iR(x)dx 0 （i=1，2，…，m）
a
N1(x)=x(1 x)
w1(x)N1(x)=x(1x)
(m=2)
N2(x) x2(1 x) w2(x)N2(x)x2(1x)
b
x(1x) xc1(2xx2)c2(26xx2x3) dx0
a
b
x2(1x) xc1(2xx2)c2(26xx2x3) dx0
第九章 用伽辽金法导出有限元方程
9.1 伽辽金方法
一、加权余量法 当微分方程不易求得精确解时，
可以用加权余量法求得一个近似解。
例如一维微分方程
Du(x) 0,
B1 u 0, B2 u 0,
x (a ,b)
x=a
（D为一维微分算子）
x=b
假定u(x)为上微分方程的精确解，u%( x )为近似解。
b
x,1x,2x (x)R(x)dx 0 a
9.1 伽辽金方法
一、加权余量法
b
x,1x,2x (x)R(x)dx 0 a
x C 1 w 1 x C 2 w 2 x L C n w n x L
b
wi(x)R(x)dx 0
a
w i x — 权函数
（i=1，2，…，n，… ）
B1 u 0, B2 u 0,
x (a ,b)
x=a
x=b
b
b
b
x,1x,2x (x )D u (x )d x + 1 (x )B 1 u d x + 2 (x )B 2u d x 0
a
a
a
9.1 伽辽金方法
一、加权余量法
b
b
b
x,1x,2x (x )D u (x )d x + 1 (x )B 1 u d x + 2 (x )B 2u d x 0
a
a
a
b
b
b
x,1x,2x (x )D u % (x )d x + 1 (x )B 1 u % d x + 2 (x )B 2u % d x 0
a
a
a
b
b
b
x,1x,2x (x )R (x)d x + 1 (x )R a(x)d x + 2(x )R b(x)d x 0
a
a
a
u%( x ) 满足边界条件
x=0.25 x=0.5 x=0.75
u x 0.04401 0.06975 0.06006 u% x 0.04408 0.06944 0.06008
9.2 二维稳态热传导微分方程
对于二维稳态热传导，各向同性热传导微分方程提法为
x 22 y 22Q =0 (x,y)
—质量密度
Q —单位质量热源物质在单位时间内的生热率
n
% x,yNix,yieNee i1
Ni x, y 结点形函数
e i
结点温度
N
1
T
形函数矩阵
Ne
M
1
单元结点温度列阵 e
M
N
n
R
x2 %2
2 %
y2
Q
n
R 1 0
微分方程的余量
R
2
%n x
x
%n y
y
q
R
3
% x n x
% y n y
—热传导系数
1 （给定温度边界） 热流量
边界条件
,xnx,yny q 2 （给定热流边界）
对流换热系数
,x n x,y n y h 3（对流换热边界）
nx , ny 边界外法线单位向量 n 的方向余弦
环境温度
9.3二维稳态热传导有限元方程
一、有限元方程
有n个结点的一个单元内的温度场设为
二、伽辽金法
例：用伽辽金法求解下二阶常微分方程
解：
d 2u u x 0
dx2 u0 x0 u 0 x 1
(0 x 1)
u % x = c 1 x ( 1 x ) c 2 x 2 ( 1 x ) c 1 N 1 ( x ) c 2 N 2 ( x )
N1(x)=x(1 x) N2(x) x2(1 x)
R x = d d x 2 u 2 % u % x x c 1 ( 2 x x 2 ) c 2 ( 2 6 x x 2 x 3 )
9.1 伽辽金方法
二、伽辽金法
R x = d d x 2 u 2 % u % x x c 1 ( 2 x x 2 ) c 2 ( 2 6 x x 2 x 3 ) b
9.1 伽辽金方法
二、伽辽金法
b
wi (x)R(x)dx 0 （i=1，2，…，n，… ）
a
m
u% x=uox ciNix
i1
uox
Nix
是已知函数
取权函数
wi x=Ni ，x就得到了含有m个未知量的代数方程组
b
N iR(x)dx 0 （i=1，2，…，m）
a
伽辽金法
9.1 伽辽金方法
D
~
u r
R
x
~
B1 u R a
~
B
2
u
R
b
Du% (x)R(x)0 R ( x ) —余量
9.1 伽辽金方法
一、加权余量法
定理：x(a,b)E , (x)0对任意连续函数 x
b
(x)E(x)dx 0
a
若将 E ( x ) 换成 D u ( x ) ，微分方程的等效积分形式：
Du(x) 0,
a
9.1 伽辽金方法
二、伽辽金法
b
x(1x) xc1(2xx2)c2(26xx2x3) dx0
a
b
x2(1x) xc1(2xx2)c2(26xx2x3) dx0
a
c1 0.1924 c2 0.1707
u % x = x (1 x )(0 .1 9 2 4 0 .1 7 0 7 x )