工厂生产计划问题的优化模型

工厂生产计划问题的优化模型
摘要
企业内部的生产计划有各种不同的情况。

从空间层次看，工厂要根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大的利润为目标制定产品的生产计划；从时间层次看，若在短时间内认为外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则就要制订多阶段生产计划。

实际生产中要考虑的除了成本费、存贮费等与产量有关的费用，还要考虑生产这种产品所需要的时间，生产设备的检修等等因素。

用数学规划的解决这种问题通常是最有效的方法。

针对工厂生产计划问题,本文首先全面分析了题目所给的信息和数据。

我们建立了动态优化模型——整数线性规划模型，以每月的生产量和库存量为决策变量，以市场最大需求量、库存面积、生产能力（即工时）的限制为约束条件，合理安排生产从而达到本季度利润最大的目标。

因此，我们在解决问题（1）时建立了整数线性规划模型I。

模型I
问题（2
每类机器的检修总台数不变，故我们主要是通过引入0——1变量来实现每月的检修模式安排，将模型I改进为模型II，使得该厂在本季度的获利最大。

模型II
由于模型I
方便而且还可以对模型进行灵敏度分析。

虽然并不能满足每月都能达到市场最大需求，但这是由机器的最大运转工时决定的。

对实际问题来说，还有很多的因素没有考虑，比如原料的供应、原料的成本、生产的产品是不是都符合标准等，模型还有待改进。

这类数学规划模型在生产计划问题上具有普遍性和推广性，对其它的工厂（或企业）的生产也适用，只要给出的数据足够，实际和精确，则模型得出的最优解将具有很强的实际意义。

关键词：动态规划；生产量；库存量；最大需求量；线性规划模型。

一、问题重述
生产计划是工厂每个季度必须进行的重要的决策，它直接关系到该工厂该季度的经济效益和下一季度的发展战略，而工厂的计划又要包括外部需求、内部设备。

外部需求量的大小关系到该季度的直接的经济效益，内部设备的生产能力以及生产设备的检修等又直接影响到产品的供求是不是能够保持平衡，如果供大于求那么月末多余产品的贮存费用。

具体问题：
某厂生产甲、乙两种产品，第一季度的最大需求量及单位产品利润和每月的库存成本如表所示。

生产这两种产品都必须经过由两道工序，分别使用A、B两类机器。

A类机器有4台，B类机器有5台，每台机器每月运转180工时。

生产单位甲产品需机器A0.9工时，机器B1.0工时；生产单位乙产品需机器A0.5工时，机器B0.75工时。

该厂仓库容量为100平方米，存贮每单位甲产品需占面积0.75平方米，每单位乙产品需占面积1.2平方米。

该季度开始时无库存量，计划
该工厂的生产计划，建立相应的模型，使该季度该厂的获得利润最大。

二、问题分析
工厂生产计划的问题，是在全面考虑了各阶段各种生产设备生产各种产品的能力，以及这些产品在市场上的需求量和在仓库的贮存量等因素给出的一个工厂总的生产计划，目的是为了使该工厂获得最大的利润。

所以该问题是一个数学规划模型。

用数学规划的解决这种问题是最有效的方法。

首先，由表一我们知道该季度产品的外部需求量甲产品是250、540、700，乙产品是180、150、650，那麽就是说我们的生产量必须等于或高于这些量。

且每单位甲产品未计库存成本的利润为3元/单位产品，库存为0.2元/单位产品，每单位乙产品未计库存成本的利润为4.5元/单位产品。

其次，我们从外部设备来进行分析，第一个生产设备上A机器有4台，B机器有5台，每台机器每月运转180工时，。

生产单位甲产品需机器A0.9工时，机器B1.0工时；生产单位乙产品需机器A0.5工时，机器B0.75工时。

第二个库存设备上该厂的仓库容量是100平方米，也就是说该仓库的最大库存量为100平方米，又知存贮甲产品占容量0.75平方米/单位产品，存贮乙产品占仓库容量为1.2平方米/单位产品。

该季度开始时没有库存量，但在该季度结束的时候甲乙两种产品的库存量为各40个单位。

问题（1）提出是在各月都有机器进行检修的情况下进行生产，检修一台A 机器需100工时，检修一台乙机器需150工时，也就是说接受检修的A机器每台在该月运转的工时是80工时，接受检修的B机器每台在该月运转的工时是30工时。

在此种情况下建立规划模型I，使得该厂在本季度的获利最大。

问题（2）在第一问的基础上将原来的每月检修台数固定改为动态变化并且每类机器的检修总台数不变，所以机器A 检修的台数为3台，机器B 检修的台数是4台，要在这季度的三个月内进行检修，故我们主要是通过引入0——1变量来实现检修安排，将模型I 改进为模型II ，使得该厂在本季度的获利最大。

三、模型假设
（1） 假设本季度开始时仓库的库存为0；
（2） 假设不考虑原材料的费用；
（3） 假设不考虑原材料的供应；
（4） 假设每月月末除放入仓库外其余产品全部销售到市场上；
（5） 假设机器在检修期间不工作，检修完后最多能投入当月每台机器除去检修
所需工时所剩下的工时；
（6） 假设工厂只能生产出单位产品的整数倍数量的产品；
（7） 假设产品进入仓库后可以混装并保证不留空隙；
（8） 假设每月的生产计划与其余月的生产计划没有影响。

四、符号规定
ij x ——表示第i 种产品第j 月的产量；
ij y ——表示第i 种产品第j 月末的库存量；
ik c ——生产第i 种产品需要第k 种机器的工时；
ij d ——第i 种产品第j 月的市场最大需求量；
i m ——第i 种产品单位产品的库存费用；
i q ——第i 种产品单位产品的利润；
e ——每台机器每月运转工时；
g ——A 机器的台数；
h ——B 机器的台数；
j x ——A 机器第j 月需要检修的台数；
j y ——B 机器第j 月需要检修的台数；
u ——每台A 机器维修所需工时；
v ——每台B 机器维修所需工时；
i n ——第i 种产品单位产品库存时所需的库存面积；
s ——仓库的最大容量；
1,0ij a ⎧=⎨⎩表示机器A 在第i 月检修j 台；，其他情况。

1,0ij b ⎧=⎨⎩表示机器B 在第i 月检修j 台；，其他情况。

五、模型的建立
从问题的分析可以看出这是一个典型的如何安排生产销售的动态规划模型： 由于两种产品各自的产量，销售、需求和库存之间存在着一定的线性关系，据此从而将问题转化为建立线性规划模型。

问题（1）的求解：
1．1、目标的确立：
我们是在不考虑原料成本费用的基础上，以销售利润减去库存成本作为目标函数，记为z 。

销售利润=销售量⨯单位产品的销售利润，而销售量=总生产量—最后的库存量；库存费用=库存量⨯单位产品的库存成本。

我门的目的是要求目标函数的最大值，即：
1112131321222323111213212223max 3()4()
0.2()0.3()(1)z x x x y x x x y y y y y y y =++-+++--++-++
1．2、约束条件的限制：
（1） 库存面积的限制：由于仓库容量为100 m 2。

即每月甲乙两种产品库存面
积之和不能超过仓库容量。

112112220.75 1.2100(2)0.75 1.2100(3)y y y y +≤⎧⎨+≤⎩
由于第三月库存面积13230.75 1.278100y y +=<满足条件可以省去。

（2） 市场最大需求量的限制：每月的销售量为每月的生产量减去每月月末的库
存量，不能大于每月市场上的最大需求量。

对甲产品1111121112131213
250(4)540
(5)700(6)x y x y y x y y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≤⎩ 对乙产品2121222122232223180(7)150
(8)650(9)
x y x y y x y y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≤⎩ （3） 工时（生产能力）即生产设备的限制：每月生产计划所需工时不能超过机
器每月运转的总工时减去检修所需的工时。

对机器A 1121122213230.90.51804100(10)0.90.51804100
(11)0.90.51804100(12)
x x x x x x +≤⨯-⎧⎪+≤⨯-⎨⎪+≤⨯-⎩
对机器B 1121122213
230.751805150(13)0.751805150
(14)0.7518051502(15)x x x x x x +≤⨯-⎧⎪+≤⨯-⎨⎪+≤⨯-⨯⎩ 根据符号规定将上面的式（1）~（15）写成紧缩的形式即得到优化模型I ： 2323111121,1,0211221max (40)..
,1,2,3,0(),1,2,3,1,2,30,0,1,2;1,2,3i ij i ij
i j i j i ij i ij ij i j ij i i ij j i i ij j i ij ij q x m y s t n y s j x y y d y I c x ge ux j c x he vy j x y i j =====-==⎧--⎪⎪⎪≤=⎪⎪⎪-+≤=⎪⎨⎪≤-=⎪⎪⎪≤-=⎪⎪≥≥==⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑
问题（2）的求解：
第二问的求解在第一问的基础上将原来的每月检修台数固定改为动态变化并且每类机器的检修总台数不变。

因而此模型中的目标函数与问题（1）相同，约束条件中库存面积和市场最大需求量这两个约束不变，主要是工时限制的改变，而工时限制的改变主要是由于安排检修是一个动态变化。

为此，我们引入0—1变量ij a 、ij b 表示两类机器在第i 月是否检修j 台。

工时约束限制如下：
对机器A 1121111213122221222313233132330.90.51002003001804(10')0.90.51002003001804
(11')0.90.51002003001804(12')x x a a a x x a a a x x a a a ++++≤⨯⎧⎪++++≤⨯⎨⎪++++≤⨯⎩
对机器B 1121111213141222212223241323313233340.751503004506001805(13')0.751503004506001805
(14')0.751503004506001805(15')
x x b b b b x x b b b b x x b b b b +++++≤⨯⎧⎪+++++≤⨯⎨⎪+++++≤⨯⎩ 另外，由于各类机器检修的总台数不变且每月的检修模式最多只能有一种。

对机器A ：1112132122233132331112132122233132332323233(16)1(17)1
(18)1
(19)a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪++≤⎩ 对机器B ：
1112131421222324313233341112131421222324313233342342342344(20)1(21)1
(22)1
(23)b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b +++++++++++=⎧⎪+++≤⎪⎨+++≤⎪⎪+++≤⎩ 根据符号规定将式子（1）~（9）和（（10’）~（15’）以及（16）~（23）写成紧缩的形式即得到优化模型II ：
2323111121,1,02311124211314131max (40)..
,1,2,3,0,1,2,3,1,2,31,1,2,31,1,2,33i ij i ij
i j i j i ij i ij ij i j ij i i ij ji i i i ij ji i i ij j ij j ij j q x m y s t n y s j x y y d y c x ge uia j c x he vib j a i b i ja =====-=======--≤=-+≤=≤-=≤-=≤=≤==∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑{}{}313411()40,0,1,2;1,2,30,1,0,1i ij i j ij ij ij ij II ja x y i j a b ===⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎪⎪≥≥==⎪⎪∈∈⎪⎩
∑∑∑∑ 六、模型的求解
模型I 和模型II 都是整数线性规划，均可用LINDO 软件进行求解。

将式（1）~（15）输入LINDO 求解模型I ，可以得到（程序以及结果见附件一）：
111213212223318,605,82,180,150,690.
x x x x x x ======1112212268,133,0.y y y y ====
目标函数的最大值max 7244.8z =（元）。

将此结果列成下表形式如下：。