第7章 电力系统小干扰稳定分析

李雅普诺夫稳定性判断原则为:若线性化方程中的雅可比矩阵
A没有零值或实部为零值的特征值,则非线性系统的稳定 性可以完全由线性化方程的稳定性来决定.
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二、运动稳定性的基本概念和小干扰法的基本原理

小干扰法：用李雅普诺夫一次近似法分析电力系统静态稳 定性的方法，根据描述受扰系统的线性化微分方程组的特 征方程式的根的性质来判定为受扰运动是否稳定的方法。
代入
PEq ( ) PEq ( 0 ) Pe Pe S Eq
d d ( 0 ) d N dt dt dt N S Eq N d d ( N ) d Pe dt dt dt TJ TJ
p1, 2
N D
2TJ
(
N D
2TJ
)
2
N S Eq
TJ
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当SEq>0，但D2<4SEqTJ/ωN时，特征值为一对共轭复数， Δδ(t)将衰减振荡，系统是稳定的；

当SEq<0时，特征值为两个正、负两个实数，系统是不稳定的， 非周期性失去稳定。因此，当正阻尼时，稳定判据仍为SEq>0。
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（2）负阻尼时D<0，特征值的实部总是正值，系统 是不稳定的。
电力系统小干扰法稳定分析

动力学系统运动的稳定性：由描述动力学系统的微分方程 组的解来表征，反映为微分方程组解的稳定性。

李雅普诺夫运动稳定性理论：某一运动系统受到一个非常 微小并随即消失的力（小扰动）的作用，使某些相应的量 X1、X2……产生偏移，经过一段时间，这些偏移量都小于 某一预先指定的任意小的正数，则未受扰系统是稳定的， 否则不稳定。 如果未受扰系统是稳定的，并且： lim X i (t ) 0 t 则称为受扰系统是渐近稳定的。
随时间按指数规律增大

当SEq>0时，特征值为一对共轭虚数
p1,2 j

N S Eq
TJ
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方程的解为：
(t ) k 1e jt k 2e jt (k 1 k 2 ) cos t j (k 1 k 2 ) sin t
结论：当SEq>0时，电力系统受扰动后，功角δ将在δ0附近 作等幅振荡，考虑能量损耗，振荡会逐渐衰减，系统趋于稳 定。
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静态稳定判据： S Eq 0
0 90


稳定极限情况：SEq=0，极限运行角δs1=900，与 此对应的发电机输出功率为：
PEqs1 Eq 0V0 Xd sin s1 Eq 0V0 Xd PEqm

电力系统静态稳定属于渐近稳定。
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二、运动稳定性的基本概念和小扰动法原理

设有一个不显含时间变量t的非线性系统,其运动方程为: dX F(X) dt Xe是系统的一个平衡状态 ,如果系统受扰动偏离平衡状态,记X=Xe+ΔX 将其代入运动方程并展开成泰勒级数:
非线性系统的线性近似稳定性判断法
dX AX , X dt 1 0 A N S Eq 0 TJ
d 0 1 dt d N S Eq 0 T J dt
1 N S Eq 2 p 0 p TJ
p1, 2
N S Eq
TJ
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对稳定性的简ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分析

p1, 2
N S Eq
TJ
当SEq<0时，特征值为两个实数，其中一个为正 实数，系统不稳定。
(t ) k 1e p1t k 2 e p2t
特征方程
线性化微分方程组 dX AX dt
det[A pI ] 0
a0 p n a1 p n1 an1 p an 0
x (t ) k e i i1 p1t k e i2 p2t k e in pn t
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二、运动稳定性的基本概念和小干扰法的基本原理
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T
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dX AX , X dt 1 0 A N S Eq 0 TJ
T
S Eq
dPEq d
0

E q 0V0 X d
cos 0
代入
p det N S Eq TJ
0 A N S Eq TJ N D TJ 1
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A矩阵的特征值为
p1, 2
N D
2TJ
(
N D
2TJ
)
2
N S Eq
TJ
阻尼对稳定性影响分析 （1）发电机有正阻尼D>0的情况：


当SEq>0，且D2>4SEqTJ/ωN时，特征值为两个负实数，Δδ(t) 将单调衰减到零，系统是稳定的，通常称为过阻尼；

d (X e ΔX) dF(X) F(X e ) |X X e ΔX R (ΔX ) dt dX

R(ΔX )为ΔX 的二阶及以上阶各项之和. 令

dF(X) |X X e A [aij ]nn dX
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二、运动稳定性的基本概念和小扰动法原理


稳定性判断
(1)若线性化方程A矩阵的所有特征值的实部均为负值,线 性化方程的解是稳定的,则非线性系统也是稳定的. (2)若线性化方程A矩阵至少有一个实部为正值的特征值, 线性化方程的解是不稳定的,则非线性系统也是不稳定的. (3)若线性化方程A矩阵有零值或实部为零值的特征值,则 非线性系统稳定性需要计及非线性部分R(ΔX )才能判定.
这就是系统保持静态稳定时发电机所能输送的 最大功率，称为稳定极限。
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2.计及发电机组的阻尼作用的静态稳定

假定阻尼作用所产生的转矩（或功率）都与转速 呈线性关系（D为综合阻尼系数）
M D PD D D( N ) D d dt

计及阻尼的转子运动方程
(t )应为实数，因而 k 1、k 2应为一对共轭复数。 设k 1 A jB，k 2＝A jB
(t ) 2 A cos t 2 B sin t k sin(t ) A 2 2 k 2 A B , arctg B
d N f ( , ) dt d N [ PT 0 PEq ( )] f ( , ) dt TJ
dPEq d
2 1 d PEq 0 2! d 2
PEq ( ) PEq ( 0 ) PEq ( 0 )
实部为负的共 轭复根
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三、小干扰法分析电力系统暂态稳定性
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1.不计发电机组的阻尼作用
d N dt d N ( PT 0 Pe ) dt TJ
Pe PEq E q 0V0 X dΣ sin PEq ( )
TJ d 2 PT ( Pe PD ) PT [ PEq ( ) D ] 2 N dt
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线性化的状态方程
d dt N S Eq N D d dt TJ TJ

A矩阵为
略去高阶项
2
0
PEq ( ) PEq ( 0 ) S Eq
S Eq
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dPEq d
0
PEq ( ) PEq ( 0 ) Pe Pe S Eq
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d N f ( , ) dt d N [ PT 0 PEq ( )] f ( , ) dt TJ
矩阵A称为雅可比矩阵,其元素为: 计及
f i aij | X Xe x j


dX e dΔX 0 和 F(Xe) 0 ,展开式变为: A X R ( X ) dt dt dX 忽略高阶项: AX dt
这就是原非线性方程的线性近似(一次近似)方程,或呈线性化的小 扰动方程.
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特征值
根在复平面上的 分 布
微分方程式的解
说明
正实根
解按指数规律不断增大， 系统将非周期性地失去稳 定
按指数规律不断减小，系 统是稳定的。
负实根
共轭虚根
周期性等幅振荡，稳定的 临界情况。
实部为正的 共轭复根
周期性振荡，其振荡幅值 按指数规律增大。系统发 生自发振荡，周期性地失 去稳定。 周期性振荡，其振荡幅值 按指数规律减小，系统是 稳定的。 6