数学：第一章 集合与函数概念 复习课件(新人教A版必修1)

x>0 作 出 示 意 图 如 图 ， xf(x)>0 ⇔ f(x)>0
或
，∴x>4 或－4<x<0.故选 D.
[例4] 函数y＝a|x|与y＝x＋a的图象恰有两 个公共点，则实数a的取值范围是 ( ) A．(1，＋∞) B．(－1,1) C．(－∞，－1]∪[1，∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) [解析] 画出y＝a|x|与y＝x＋a的图象．
2．求复合函数的定义域，关键是深刻理解 “函数的定义域是使函数有意义的自变量x 的允许取值范围”．
[解析]
(1)∵0≤x≤1 时，f(x)有意义，
∴要使 f(2x－1)有意义． 1 须 0≤2x－1≤1，∴2≤x≤1， 1 故所求定义域为[2，1]． (2)∵0≤x≤1，∴2≤x＋2≤3，∴使 f(x)有意义的 x 的允 许取值范围是 2≤x≤3，故所求定义域为[2,3]．
p ∴结合数轴可知－4≤－1，∴p≥4.
[例3] 设全集U＝{a，b，c，d，e}，若A∩B ＝{b}，(∁UA)∩B＝{d}，(∁UA)∩(∁UB)＝{a， e}，则下列结论中正确的为 ( ) A．c∈A且c∈B B．c∈A且c∉B C．c∉A且c∈B D．c∉A且c∉B [答案] B
布情况可以用(1)判别式(Δ＝b －4ac)与韦达定理(x1＋x2＝ b c －a，x1·2＝a)或(2)构造函数(f(x)＝ax2＋bx＋c)结合图象和 x 求根公式两种思路来讨论．
①方程(※)有两不等实根⇔Δ>0，方程(※)有 两相等实根⇔Δ＝0，方程(※)无实根⇔Δ<0， 方程(※)有实数解⇔Δ≥0. Δ≥0 ②方程(※)有零根⇔c＝0. 2>0 ⇔ 较 小 的 根 x ＝ ③ 方 程 (※) 有 两 正 根 ⇔ x1＋x
[解析]
b b ＝0 ＝0 a 由条件知 ，或a ， a2＝1 a＋b＝1
a＝± 1 ∴ b＝0
a＝－1 ，但由互异性知，a≠1，∴ b＝0
，
∴a2009＋b2010＝－1.
4．空集是任何集合的子集，解题时要特别 注意． 1 [解析] ①当 Δ＝1－4a<0，即 a>4时，A＝∅，满足 A B； 2 ＋x＋a＝0}，B＝{－ [例5] 集合A＝{x|x 2,1} ， 若即 a＝1时，A＝{－1}，不合题意． 围 是 AB ， 则 实 数 a 的 取 值 范 ②当 Δ＝0 2 ________． 4
[例2] 已知关于x的方程x2－4|x|＋5＝m有四 个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ________． [解析] 设y1 ＝x2 －4|x|＋5，y2 ＝m，由于y1 ＝x2－4|x|＋5为偶函数，画出x≥0的图象，再 由 对 称 性 可 画 出 x<0 时 的 图 象 ， 由 图 可 见 1<m<5时方程有4个根．∴1<m<5.

[解析] (1)当a＝－1时， f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]， ∵f(x)的对称轴为x＝1. ∴x＝1时，f(x)取最小值1； x＝－5时，f(x)取最大值37. (2)f(x)＝x2 ＋2ax＋2＝(x＋a)2 ＋2－a2 的对称 轴为x＝－a，∵f(x)在[－5,5]上是单调函数． ∴－a≤－5，或－a≥5，即a≤－5，或a≥5.
情形
a>0 1： a>1
⇒a>1
情形
a<0 2： a<－1
⇒a<－1.故选 D.
2．函数与方程的思想 函数与方程可以相互转化，注意运用函数与 方程的思想解决问题 要特别注意掌握一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝ 讨论一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)(※)的根的分 0(a≠0)的根的分布 2
[解析] (1)∵U＝{x|(x－b)(x＋1)<0，x∈N ＋} ＝{x|－1<x<6，x∈N ＋ }＝{1,2,3,4,5}，A∪B ＝{1,2,3,5}， ∴∁ U(A∪B)＝{4}，A∩∁UB＝{2,3}∩{2,4}＝ {2}． 故依次填{4}，{2}． 1 (2)当a＝0时，B＝∅ ，A∩B＝B； 当 a≠0 时，应有 a＝ ，∴a＝± 1.故选 D.
x x >0 1 2 b － >0 2a －b－ Δ 2a >0 (a>0) ⇔f(0)>0 Δ≥0
.
Δ≥0 ④ 方 程 (※) 有 两 负 根 ⇔ x1＋x2<0 x x >0 1 2 b － <0 2a －b＋ Δ <0⇔f(0)>0 2a Δ≥0
(2)集合 A 是直线 y＝x 上的点的集合，集合 B 是抛物线 y＝x2 的图象上点的集合， ∴A∩B
y＝x 是方程组 2 y＝x
的解为坐
标的点的集合，∴A∩B＝{(0,0)，(1,1)}．
2．熟练地用数轴与Venn图来表达集合之间 的关系与运算能起到事半功倍的效果． p [例2] 集合A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋ [解析] B＝{x|x<－4}，∵B A， p<0} ， 若 BA ， 则 实 数 p 的 取 值 范 围 是 ________．

[解析] (1)f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1 ＝x2－2|x|－1＝f(x)，∴f(x)是偶函数． (2)当x≥0，时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2， 当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，
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(x－1)2－2，x≥0， f(x)＝ (x＋1)2－2，x<0.
6．熟练掌握A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B及集 合的运算是解决一些集合问题的基础． [ 例 7] (1) 如 果 全 集 U ＝ {x|x2 － 5x － 6<0 ， x∈N ＋ } ， A ＝ {2,3} ， B ＝ {1,3,5} ， 则 ∁U(A∪B)＝________，A∩∁UB＝________. (2)设A＝{x|x－a＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，且 A∩B＝B，则实数a的值为 ( ) A．1 B．－1 C．1或－1 D．1，－1或0
⇔较大的根 x＝
.
Δ>0 ⑤方程(※)有一正一负两实根⇔ x1x2<0
⇔f(0)<0.
方 程 (※) 有 一 正 一 负 两 实 根 且 正 根 绝 对 值 较 大 ⇔ Δ>0 x1x2<0 x ＋x >0 1 2 f(0)<0 ⇔ b . －2a>0
方 程 (※) 有 一 正 一 负 两 实 根 且 负 根 绝 对 值 较 大 ⇔ Δ>0 x1x2<0 x ＋x <0 1 2 f(0)<0 ⇔ b . －2a<0
③当 Δ>0 时，集合 A 中有两相异元素，故 A 不可能成 B 1 立，综上所述 a> . 4
5．新定义集合，关键是理解“定义”的含 义，弄清集合中的元素是什么． [例6] A、B都是非空集合，定义A*B＝{x|x ＝a·b＋a＋b，a∈A，b∈B且b∉A∩B}，若A ＝{1,2}，B＝{0,2,3}，则A*B中元素的和为 ________． [解析] 由A*B的定义知，a可取1,2，b可取 0,3，A*B中的元素x＝ab＋a＋b， ∴A*B＝{1,7,2,11}，其元素之和为21.
根据二次函数的作图方法，可得函数图象， 如下图所示
函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)， [0,1)，[1,3]． f(x)在区间[－3，－1]，[0,1]上为减函数，在 [－1，0)，[1,3]上为增函数． (3)当x≥0时，函数f(x)＝(x－1)2 －2的最小值 为－2，最大值为f(3)＝2. 当x<0时，函数f(x)＝(x＋1)2 －2的最小值为 －2，最大值为f(－3)＝2； 故函数f(x)的值域为[－2,2]．
三、注重数学思想与方法的提炼与掌握，养 成自觉运用数学思想与方法分析解决数学问 题的思维习惯 1．数形结合的思想 [例1] 设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)． (1)证明f(x)是偶函数； (2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个 单调区间上f(x)是增函数还是减函数； (3)求函数的值域．
(6)将y＝f(x)的图象上各点向右(左)平移a(a>0) 个单位，可以得到函数y＝f(x－a)(y＝f(x＋a)) 的图象． 将y＝f(x)的图象上各点向上(下)平移a(a>0)个 单位，可以得到y＝f(x)＋a(或y＝f(x)－a)的 图象． (7)y＝|f(x)|的图象可由y＝f(x)的图象位于x轴 及上方的部分不变，下方图象作关于x轴的 对称翻折而得到． y＝f(|x|)的图象在y轴及其右侧部分与y＝f(x) 图象相同，而y＝f(|x|)是偶函数，再在y轴左 侧作右侧部分的对称图形即可．
[例3] 已知函数f(x)＝x2 ＋2ax＋2，x∈[－ 5,5]． (1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小 值； (2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－ 5,5]上是单调函数． [分析] 第(1)问，将a＝－1代入，根据二次 函数的图象得出结论；第(2)问，根据二次函 数的对称轴的位置确定单调性．
[点评] 注意上面的虚线箭头，(1)中前面的 x与后面的2x－1取值范围相同，都是[0,1]， (2)中前面的x＋2与后面的x的取值范围相同， 而x＋2中的“x”允许取值范围是[0,1]．
3．熟练掌握一次函数、二次函数、反比例 函数和y＝ 等的图象特征．熟练判断函数的单调性、奇 偶性，了解常见对称特征和平移． (1)y＝f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于y轴 对称； (2)y＝－f(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴 对称； (3)y＝－f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于原 点对称； (4)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图 象关于y轴对称；
章末归纳总结
一、集合的概念与表示，集合间的关系与运 算． 1．理解用描述法表示的集合中元素的属性 是解决集合问题的重要基本功． [例1] (1)集合A＝{y|y＝x}，B＝{y|y＝x2}， 则A∩B＝________. (2)集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}， 则A∩B＝________. [解析] (1)集合A是函数y＝x的值域，∴A＝ R，集合B是函数y＝x2的值域，∴B＝{y|y≥0}， ∴A∩B＝{y|y≥0}．故填{y|y≥0}．
[解析] 画出Venn图如图，依次据条件将元 素填入，A∩B＝{b}，故b填在A与B公共部分， (∁UA)∩B＝{d}，故d填在A圈外，B圈内，又 (∁UA)∩(∁UB)＝{a，e}，∴a，e填在A、B两 圈外，只剩下一元素c不能填在上述三个位 置，故应填在A内B外，∴c∈A且c∉B，选B.
b 3．含字母的集合的相等、包含、运算关系 [例 4] 集合 A＝{a，a，1}，B＝{a2，a＋b,0}，若 A＝ 问题常常要进行分类讨论．讨论时要特别注 B，则 a2009＋b2010＝________. 意集合元素的互异性．
[例3] f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上为增 函数，f(4)＝0，则xf(x)>0的解集为 ( ) A．(－∞，－4)∪(4，＋∞) B．(－4,0)∪(0,4) C．(－∞，－4)∪(0,4) D．(－4,0)∪(4，＋∞)
[解析]
x<0 f(x)<0
a
二、函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、 最值及应用 1．解决函数问题必须首先弄清函数的定义 域
[ 例 1] ________． 函 数 f(x) ＝ x2＋4x 的 单 调 增 区 间 为
[解析] 由x2 ＋4x≥0得，x≤－4或x≥0，又二 次函数u＝x2＋4x的对称轴为x＝－2，开口向 上，故f(x)的增区间为[0，＋∞)．