[信号与系统][付华 (6)[26页]

h(t) h( )
t
h(t )
t0
t0
t
f ( )h(t )
t
wk.baidu.com
t
f
(t) * h(t)
t1 e(t )d , t
0
0
(1
e t
)u(t)
0,
t0
[例] 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。
p1(t) p1( ) 1
? t 1
p1( ) p1(t )
1
t -0.5 0.5
dh(t) 6h(t) 2d (t) 3d '(t)
dt 动态方程式的特征根s = 6, 且n=m, 故h(t)的形式为
h(t) Ae6 tu(t) Bd (t)
d [Ae6t u(t) Bd (t)] + 6[ Ae6t u(t) Bd (t)] 2d (t) 3d '(t)
dt
卷积积分的计算和性质
卷积积分的计算
卷积积分的性质 交换律 分配律 结合律 平移特性 展缩特性
奇异信号的卷积积分 延迟特性 微分特性 积分特性 等效特性
一、卷积积分的计算
卷积的定义：
y(t) f (t) h(t) f ( )h(t )d
卷积的计算步骤：
1. 将f(t)和h(t)中的自变量由t改为； 2. 把其中一个信号翻转得h()，再平移t；
三、连续系统的阶跃响应
g (n) (t) an1g (n1) (t) a1g' (t) a0 g(t) bmu(m) (t) bm1u(m1) (t) b1u'(t) b0u(t)
求解方法: 1) 求解微分方程
2) 利用冲激响应与阶跃响应的关系
h(t) dg(t) dt
g
(t)
t
h(
d [ Ae3t u(t)] + 3Ae3t u(t) 2d (t)
dt
解得A=2
h(t) 2e3t u(t)
例2 已知某线性时不变系统的动态方程式为 dy(t) 6y(t) 2 f (t) 3 f '(t), t 0 dt
试求系统的冲激响应。
解： 当f (t) = d (t)时，y(t) = h(t)，即
1
t -0.5 0.5
c) 0 < t 1
0.5 t 0.5 t t 1
p1 ( ) p1 (t )
1
y(t
)
0.5
0.5t
dt 1 t
d) t >1 y (t) = 0
0.5 t 0.5 t
[例] 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。
p1(t) p1( ) 1
a) t 1 b) 1 < t 0
y (t) = 0
t -0.5 0.5
y(t)
0.5t
0.5
dt 1 t
p1(t) p1(t)
c) 0 < t 1
1
y(t
)
0.5
0.5t
dt 1 t
-1
d) t >1
y (t) = 0
t 1
✓ 练习1：u(t) u(t) = r(t)
✓ 练习2：计算 y (t) = f (t) h(t)。
一、连续系统的冲激响应定义
在系统初始状态为零的条件下，以冲激
信号d(t)激励系统所产生的输出响应，称为系
统的冲激响应，以符号h(t)表示。 N 阶连续时间LTI系统的冲激响应h(t)满足
h(n) (t) an1h(n1) (t) a1h' (t) a0h(t)
bmd (m) (t) bm1d (m1) (t) b1d '(t) b0d (t)
h( ) 翻转 h( ) 平移t h(( t)) h(t )
3. 将f() 与h( t)相乘；对乘积后信号的积分。 4. 不断改变平移量t，计算f() h( t)的积分。
[例] 计算f (t) * h(t), f (t) u(t), h(t) et u(t)
解： f (t) f ( )
信号与系统
Signals and Systems
系统的时域分析
线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应 连续时间系统的冲激响应 卷积积分及其性质 离散时间LTI系统的响应 离散时间系统的单位脉冲响应 卷积和及其性质 冲激响应表示的系统特性
连续时间系统的冲激响应
连续系统的冲激响应定义 冲激平衡法求系统的冲激响应 连续系统的阶跃响应
二、冲激平衡法求系统的单位冲激响应
由于t >0+后, 方程右端为零, 故 n>m 时
h(t
)
n
(
K
i
e
si
t
)u(t
)
i1
nm 时, 为使方程两边平衡, h(t)应含有冲激及其
高阶导数，即
h(t
)
n
(
K
i
e
sit
)u(t
)
mn
Ajd ( j) (t)
i1
j0
将h(t)代入微分方程，使方程两边平衡，确定 系数Ki ， Aj
f (t)
h(t)
1
1
t
0
1
0
y(t)
1
t
3t
0 123
2t t
二、卷积的性质
1) 交换律 f1(t) * f2(t) = f2(t) * f1(t) 2) 分配律 ( f1(t) + f2(t) ) * f3(t) = f1(t) * f3(t) + f2(t) * f3(t) 3) 结合律 ( f1(t) * f2(t) ) * f3(t) = f1(t) * ( f2(t) * f3(t) ) 4) 平移特性
例1 已知某线性时不变系统的动态方程式为 dy(t) 3y(t) 2 f (t), t 0 dt
试求系统的冲激响应。
解： 当f (t) = d (t)时，y(t) = h(t)，即
dh(t) 3h(t) 2d (t)
dt 动态方程式的特征根s = 3, 且n>m, 故h(t)的形式为
h(t) Ae3t u(t)
解得A= 16, B =3
h(t) 3d (t) 16e6 tu(t)
n
mn
h(t) ( Kiesit )u(t) Ajd ( j) (t)
i 1
j0
1) 由系统的特征根来确定u(t)前的指数形式。
2) 由动态方程右边d (t)的最高阶导数与方程 左边h(t)的最高阶导数确定d (j)(t)项。
0.5 t 0.5 t 0.5
1? t 0
p1 ( ) p1 (t )
a) t 1 y (t) = 0
b) 1 < t 0
0.5 t
1
0.5 t
y(t)
0.5t
0.5
dt 1 t
[例] 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。
p1(t) p1( ) 1
0t 1
p1( ) p1(t )
)d
例3 求例1所述系统的单位阶跃响应 g(t)。
例1 已知某线性时不变系统的动态方程式为 dy(t) 3y(t) 2 f (t), t 0 dt
解： 例1 系统的冲激响应为
h(t) = 2e3t u(t)
利用冲激响应与阶跃响应的关系，可得
g(t) t h( )d 0t 2e3 d
2 (1 e3t )u(t) 3