2.2.3. 线性定常微分方程的求解
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(5) 初值定理： lim f (t ) lim sF ( s )
t 0 s
(6) 位移定理： a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟 ，则其 s e 象函数应乘以
L[ f (t )] e
s
F ( s)
b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应 e at 乘以 ，即
j
F ( s )e st ds
• 单位阶跃函数1(t)
1(t )
0 1
t 0 t 0
1 0 t
• 单位阶跃函数的拉氏变换为
st
• 单位脉冲函数
1 st 1 F (s) e dt e 0 s s 0
t
1 0
(t )
• 单位脉冲函数的拉氏变换为
• 拉氏变换的基本性质 (1) 线性性质
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )]
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。 (2) 微分性质 若 L[ f (t )] F ( s) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
1 1 1 s2 s 1 s s
s 0 .5
0.5
3 2
1 3 2
2 ) 0.2e 0.5t sin(0.866t ) 3 6
练习
dy yr T dt y 0 0
r 1 t
– 方程两边进行拉氏反变换 t 得 T
L 1H , C 1F , R 1 uc (0) 0.1v i (0) 0.1A ur 1v
原式化为： s 2U c ( s) 0.1s 0.1 sU c ( s) 0.1 U c ( s ) U r ( s) ( s 2 s 1)U c ( s) U r ( s) 0.1s 0.2 U c ( s) 1 0.1s 0.2 U ( s ) r s2 s 1 s2 s 1 1 1 0.1s 0.2 2 2 s s 1 s s s 1
2.2.3. 线性定常微分方程的求解
求解方法：经典法、拉氏变换法。 拉氏变换法求解步骤：
1. 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变
换，得到变量s的代数方程； 2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表 达式，即为所求微分方程的解。
拉氏(laplace)变换 • 定义：设函数f(t)当t>=0时有定义，而且积分
特点： 方法直观，但是微分方程的求解麻烦，尤其是高阶系统。
(3) 积பைடு நூலகம்性质 则
若
L[ f (t )] F ( s)
F ( s) F (0) L[ f (t )dt ] s s 式中 F (0) 为积分 f (t )dt 当t=0时的值。
5
(4) 终值定理
lim f (t ) lim sF ( s ) t s 0
即原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。
duc dt
t 0
i(0) 0.1 C
' uc (0) 0.1
3 2 3 ) ( s 0.5) 2 ( ) 2 2 2 1 1 3 2 0 . 5 0 .5 t 3 L1[ 2 ] 1 e 0.5t cos t e sin t s s 1 s 2 2 3 2 1 1.15e 0.5t sin(0.866t ) 3 ( s 0.5) 2 ( 0.1( s 0.5) 0.15 3 3 ( s 0.5) 2 ( ) 2 ( s 0.5) 2 ( ) 2 2 2 0.1s 0.2 L1[ 2 ] 0.2e 0.5t sin(0.866t ) s s 1 6 uc (t ) 1 1.15e 0.5t sin(0.866t 0.1s 0.2 s2 s 1
y(t ) 1(t ) e
– 方程两边进行拉氏变换得
Ts y ( s ) y ( s ) r ( s )
– 若 r t t – 则
y( s)
r ( s) 1 1 1 y( s) . Ts 1 Ts 1 s s
– 整理得
1 1 s T
0 t t 0或t
1
0
t
F (s) t e st dt 1
0
3
• 几个重要的拉氏变换
f(t) F(s) f(t)
δ(t) 1(t) t
1 1/s
sinwt coswt
2
F(s) w 2 (s w2 )
s
(s 2 w2 )
1s
at
e sin wt
L[e at f (t )] F ( s a)
例2.4：用拉氏变换解微分方程
L ur
i
R C uc
d 2uc du LC 2 RC c uc ur dt dt L[uc (t )] U c ( s ) duc (t ) ] sU c ( s ) U c (0) dt d 2uc (t ) ' 2 L[ ] s U ( s ) sU ( 0 ) U c c c (0) dt 2 s 2U c ( s) 0.1s 0.1 L[
F ( s) f (t )e dt
st 0
存在，其中s是复数,则称F(s)是f(t)的象函数,即f(t)的拉 氏变换。记为
F ( s ) L[ f (t )]
f(t)称为 F(s)的原函数。 • 拉氏反变换为
1 L [ F ( s )] f ( t ) 2j
1
j
e cos wt
at
at
e
w ( s a) 2 w 2
1/(s+a)
sa ( s a) 2 w 2
d f (t ) sF ( s) f (0) dt
F ( s) f (0) f (t )dt s s
d2 2 f ( t ) s F (s) sf (0) f (0) 2 dt
1 1 Ts 1 T
t
1 s 1 T
系 统 响 应 如 图 所 示
1 T y (t ) e T
重点 * 建立微分方程要掌握所涉及系统的关键公式
* 例如：牛顿第二定律、克希霍夫定律、质量守恒定律，刚 体旋转定律等 * 建立的微分方程的标准形式
dn d n 1 d a n n c(t ) a n 1 n 1 c(t ) a1 c(t ) a0 c(t ) dt dt dt dm d m 1 d bm m r (t ) bm 1 m 1 r (t ) b1 r (t ) b0 r (t ) dt dt dt
t 0 s
(6) 位移定理： a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟 ，则其 s e 象函数应乘以
L[ f (t )] e
s
F ( s)
b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应 e at 乘以 ，即
j
F ( s )e st ds
• 单位阶跃函数1(t)
1(t )
0 1
t 0 t 0
1 0 t
• 单位阶跃函数的拉氏变换为
st
• 单位脉冲函数
1 st 1 F (s) e dt e 0 s s 0
t
1 0
(t )
• 单位脉冲函数的拉氏变换为
• 拉氏变换的基本性质 (1) 线性性质
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )]
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。 (2) 微分性质 若 L[ f (t )] F ( s) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
1 1 1 s2 s 1 s s
s 0 .5
0.5
3 2
1 3 2
2 ) 0.2e 0.5t sin(0.866t ) 3 6
练习
dy yr T dt y 0 0
r 1 t
– 方程两边进行拉氏反变换 t 得 T
L 1H , C 1F , R 1 uc (0) 0.1v i (0) 0.1A ur 1v
原式化为： s 2U c ( s) 0.1s 0.1 sU c ( s) 0.1 U c ( s ) U r ( s) ( s 2 s 1)U c ( s) U r ( s) 0.1s 0.2 U c ( s) 1 0.1s 0.2 U ( s ) r s2 s 1 s2 s 1 1 1 0.1s 0.2 2 2 s s 1 s s s 1
2.2.3. 线性定常微分方程的求解
求解方法：经典法、拉氏变换法。 拉氏变换法求解步骤：
1. 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变
换，得到变量s的代数方程； 2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表 达式，即为所求微分方程的解。
拉氏(laplace)变换 • 定义：设函数f(t)当t>=0时有定义，而且积分
特点： 方法直观，但是微分方程的求解麻烦，尤其是高阶系统。
(3) 积பைடு நூலகம்性质 则
若
L[ f (t )] F ( s)
F ( s) F (0) L[ f (t )dt ] s s 式中 F (0) 为积分 f (t )dt 当t=0时的值。
5
(4) 终值定理
lim f (t ) lim sF ( s ) t s 0
即原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。
duc dt
t 0
i(0) 0.1 C
' uc (0) 0.1
3 2 3 ) ( s 0.5) 2 ( ) 2 2 2 1 1 3 2 0 . 5 0 .5 t 3 L1[ 2 ] 1 e 0.5t cos t e sin t s s 1 s 2 2 3 2 1 1.15e 0.5t sin(0.866t ) 3 ( s 0.5) 2 ( 0.1( s 0.5) 0.15 3 3 ( s 0.5) 2 ( ) 2 ( s 0.5) 2 ( ) 2 2 2 0.1s 0.2 L1[ 2 ] 0.2e 0.5t sin(0.866t ) s s 1 6 uc (t ) 1 1.15e 0.5t sin(0.866t 0.1s 0.2 s2 s 1
y(t ) 1(t ) e
– 方程两边进行拉氏变换得
Ts y ( s ) y ( s ) r ( s )
– 若 r t t – 则
y( s)
r ( s) 1 1 1 y( s) . Ts 1 Ts 1 s s
– 整理得
1 1 s T
0 t t 0或t
1
0
t
F (s) t e st dt 1
0
3
• 几个重要的拉氏变换
f(t) F(s) f(t)
δ(t) 1(t) t
1 1/s
sinwt coswt
2
F(s) w 2 (s w2 )
s
(s 2 w2 )
1s
at
e sin wt
L[e at f (t )] F ( s a)
例2.4：用拉氏变换解微分方程
L ur
i
R C uc
d 2uc du LC 2 RC c uc ur dt dt L[uc (t )] U c ( s ) duc (t ) ] sU c ( s ) U c (0) dt d 2uc (t ) ' 2 L[ ] s U ( s ) sU ( 0 ) U c c c (0) dt 2 s 2U c ( s) 0.1s 0.1 L[
F ( s) f (t )e dt
st 0
存在，其中s是复数,则称F(s)是f(t)的象函数,即f(t)的拉 氏变换。记为
F ( s ) L[ f (t )]
f(t)称为 F(s)的原函数。 • 拉氏反变换为
1 L [ F ( s )] f ( t ) 2j
1
j
e cos wt
at
at
e
w ( s a) 2 w 2
1/(s+a)
sa ( s a) 2 w 2
d f (t ) sF ( s) f (0) dt
F ( s) f (0) f (t )dt s s
d2 2 f ( t ) s F (s) sf (0) f (0) 2 dt
1 1 Ts 1 T
t
1 s 1 T
系 统 响 应 如 图 所 示
1 T y (t ) e T
重点 * 建立微分方程要掌握所涉及系统的关键公式
* 例如：牛顿第二定律、克希霍夫定律、质量守恒定律，刚 体旋转定律等 * 建立的微分方程的标准形式
dn d n 1 d a n n c(t ) a n 1 n 1 c(t ) a1 c(t ) a0 c(t ) dt dt dt dm d m 1 d bm m r (t ) bm 1 m 1 r (t ) b1 r (t ) b0 r (t ) dt dt dt