桂工锁相技术 第二章 环路跟踪性能

1

K
1
K H o ( s) H ( s) 1 1 H ( s) s 2 s
s H e ( s) s KF ( s)
采用其它两种滤波器 的锁相环的动态方程及传 递函数的获得和以上相同。
1
线性相位模型与传递函数
表2-1 不同环路的传递函数
环路暂态响应
关于暂态响应和稳态响应： 稳态响应
环路暂态响应
▓ 典型二阶系统的性能参数
环路方程
环路暂态响应
令：
无阻尼振荡频率
阻尼系数
代入上面的式子，得到：
或者得到（微分方程形式）：
环路暂态响应
RLC电路的复频域表达式：
LCs 2U o ( s ) RCsU o ( s ) U o ( s ) U i ( s )
RLC电路的时域表达式：
0
2
4
6
8
10
12
环路暂态响应
采用RC积分滤波器的二阶环路
环路暂态响应
1 0.8 p 1= 2 2 1= 2 p 1= 2 1= 1 p 1 = 1= 2 1 = 1=2 p 1 = 1=2 2
0.6
0.4
0.2
采 用 RC 积 分滤波器 的二阶环 （ 和 RLC 回路一样）
0
-0.2
-0.4
2 (t )
e ( s) H e ( s) 1 ( s)
e (tຫໍສະໝຸດ Baidu)
环路暂态响应
下面主要讨论三种信号输入的情况：相位阶跃、频 率阶跃和频率斜升。
环路暂态响应
1. 输入相位阶跃
1(t ) 单位阶 跃函数
1 (t )

0
t
理想二阶锁相环路（采用理想有源比例积分滤波器） ① 求误差时间响应 第一步：写出输入信号的拉氏变换
-3
1= 1 = 1=2 p 1 = 1=2 2
0
2
4
6
8
10
12
图：理想二阶环对输入相位阶跃的相位误差响应曲线
环路暂态响应
e (t ) nt 曲线（如图） 由 e (t ) 的表达式做出
分析：
a. t=0时，环路还没有起 控，环路有最大的相 差 e (0) 。 b. 环路稳态相差 e () 0 。 c. 系统的响应速度比RLC回路要快的多，因为 环路中增加了一个相位超前因子。
1
e (t )
1 1 0 1
0
nt
环路暂态响应
简单结论： 1、对于相位阶跃，采用理想滤波器的二阶环路能够维持 锁定； 2、存在一个恰当的阻尼系数值（不是最大的，也不是最 小的）使得环路具有最佳的性能。
环路暂态响应
采用无源比例积分滤波器的二阶环路
环路暂态响应
1 p 1= 2 2 1= 2 p 1= 2 1= 1 p 1 = 1= 2 1 = 1=2 p 1 = 1=2 2
0.5
0
-0.5
0
2
4
6
8
10
12
环路暂态响应
70 60 50 40 30 20 10 0 -10 -20 p 1= 2 2 1= 2 p 1= 2 1= 1 p 1 = 1= 2 1 = 1=2 p 1 = 1=2 2
线性相位模型与传递函数
• •
一、线性相位模型的建立
鉴相器的模型：
ud (t ) U d sin e (t ) dud (t ) e (t ) 很 锁相环路同步时， Kd e 0 U d cos e (t ) e 0 U d [V / rad ] 小，鉴相器工作在“ d e (t ) 0”点 附近，此时鉴相特性可以 用一条直线来代替。此直 线的斜率为： 图 鉴相器特性曲线 ud (t ) U d sin e (t )
n e (t )
n n n 2 1 1 n n 0 nt 1 ( t ) e t n t n e ( t ) e 1 1 t n t n 当 e ( t ) 时： 1 e e t n n n n 2 sin 1t 2 n t n 0 1 n 2 1 1t t 当 00 时： 1 (t ) e nt sin e sin 1 1 e ( (t ) e 2 n t n 1 0 t ) e 2 n e 2 1 n n 1
闭环传递函数
线性相位模型与传递函数
误差传递函数
各传递函数之间的关系
线性相位模型与传递函数
▓ 二阶锁相环路的线性动态方程与传递函数
RC积分滤波器
二阶线性 微分方程
F ( s)
1 1 s 1
传递函数： 1
方法一
s 2 2 ( s )
线性相位模型与传递函数 1 K 1
s e ( s )
1
2
e ( s ) s 21 ( s )
s
1
s1 ( s )
e ( s) 1 H e ( s) 1 ( s ) s 2 s K 1 1
K H ( s) 1 H e ( s)
s
方法二
1
s2 s
F (s) H o ( s) K s KF ( s) H (s) s KF ( s)
环路暂态响应
第二步：写出环路的误差传递函数
第三步：两者相乘，得出瞬时相差的拉氏变换，并整理
环路暂态响应
第四步：求瞬时相差的拉式反变换
即：
环路暂态响应
② 分情况讨论
环路暂态响应
双曲正弦和双曲余弦：
80 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 -5
双曲正弦 双曲余弦 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
非线性微 分方程
复频域下的相位模型和动态方程
线性微 分方程
线性相位模型与传递函数
系统的传递函数
复频域下锁相环路的的线性相位模型
•
线性系统的传递函数的定义：
H ( s)
响应函数的拉氏变换 驱动函数的拉氏变换
初始条件
线性相位模型与传递函数
系统的传递函数
复频域下锁相环路的的线性相位模型
二阶线性微 分方程 RLC为系统 的电路参数
系统参数
d 2uo (t ) duo (t ) LC RC uo (t ) ui (t ) 2 dt dt
n
1 LC
R 2 n L
无阻尼振 荡频率
为阻尼系数
代入：
用系统参数描述的RLC电路的时域表达形式
微分方 程求解
环路暂态响应
稳定状态：在指定条件下，电路中的各个参数（电流、电压 等）已达到稳定值；
稳态响应：电路达到稳定状态后电路的输出称为稳态响应；
暂态响应
暂态过程：电路从一种稳态变化到另一种稳态的过渡过程； 在暂态过程中，电路的各种参数都在变化。
暂态响应：暂态过程中电路的输出称为暂态响应；
暂态响应是随时间衰减的响应；而稳态响应是暂态过程结 束后仍然持续的响应。
总结： 1、二阶线性系统的传递函数、微分方程可以用电路参数或 系统参数来描述，后者在系统设计时，会带来方便。
环路暂态响应
• 小结：
1、锁相环的传递函数、微分方程也可以用系统 参数来描述，但不同的系统中 n 和 对应的电 路参数是不一样的。（如上表） 2、相同的传递函数可以对应不同的物理系统， 如RC积分滤波器二阶环和RLC电路。
传输函数的频率响应
2 U o ( s) • n ( s) H ( s ) 2 2 U i( s) s 2 n s n 2 U o ( s) n s) U H ( j ) 21 2 ( jx ) oU ( s ) i 2 2 j n n U ( jx ) j 2 x U ( jx ) i o x 1 x 1 令 U i ( jx ) n 1 x 2 j 2 x U 1 o( H ( jx jx) ) 2 UU ( jx ) 1 1 x j 2 x o i ( jx ) 2 2 2 2 UU ( jx ) ( jx ) 1 (1 x ) 4 x iH o ( jx ) 2 2 2 2 U i ( jx ) (1 x ) 4 x U o ( jx ) 1 2 2 2 x 2 2 U ( jx ) U ( jx ) o (1 x ) 4 x ArgH ( jx ) Argi arctg 2 UU ( jx ) 1 x 2 x i o ( jx ) Arg arctg 2
0
2
4
6
8
10
12
图：采用RC积分滤波器的二阶环对输入相位阶跃的相位误差响应曲线
环路暂态响应
2. 输入频率阶跃
频率阶跃信号相当于是相位斜升信号，如下图：
环路暂态响应 1 ( t ) t 1(t )
拉氏变换 1 ( s ) s 2
1 (t ) t 1(t )
环路暂态响应
环路暂态响应
其中：
环路暂态响应
1 1= 1= 1= 1= 0.5 p 2 2 2 p 2 1 p 1= 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 0 -2 -2.5 -3 -0.5 -3.5 15 p 1= 2 2 1= 2 p 1= 2 1= 1 p 1 = 1= 2 1 = 1=2 p 1 = 1=2 2 20 25 30 x 10
dud (t ) Kd d e (t )
e 0
U d cos e (t )
e 0
U d [V / rad ]
则有： U d sin e (t ) K d e (t ) U d e (t )
用直线 代替正 弦鉴相 特性
线性相位模型与传递函数
线性化后的相位模型和动态方程
uo (t ) ui (t )
2
uo (t ) ui (t )
2
0 .2 0 .4
无 阻 尼
1
0
欠 阻 尼
0
n t
1
0
0 1
n t
环路暂态响应
uo (t ) ui (t )
2
uo (t ) ui (t )
过 阻 尼
1
0
临 界 阻 1 尼
1
2
n t
0
1
锁相技术
Phaselock Techniques
信息科学与工程学院
通信教研室 · 杨丽燕
第二章 环路跟踪性能
线性相位模型与传递函数 环路暂态响应 环路稳态频率响应
环路稳定性与参数设计
环路非线性跟踪性能
线性相位模型与传递函数
▓ 线性相位模型与传递函数的一般形式
相位模型的线性化
环路暂态响应
RLC电路的传递函数 U o ( s) 1 H ( s) U i( s ) LCs 2 RCs 1
U o ( s) H ( s) 2 2 U i( s) s 2 n s n
2 n
用电路参数 的描述
用系统参 数的描述
系统的传递函数与描述其运动规律的微分方程是对应的。 可根据组成系统各单元的传递函数和它们之间的联结关系导出 整体系统的传递函数，并用它分析系统的动态特性、稳定性。
频率阶 跃量
0
1 (t )
t
1 1 0 1
①理想二阶锁相环路的误差响应 e ( s) H e ( s) e1((ss)) 2 2 s 2n s n 2 求解 e (t ) 2 1t t sin n sin 1t t 2 t 11 ) e n 1 e (t sin (t ) e t 2 n e( 时： 1 e t) e 1 2 当 1 n
n t
一般二阶系统都设计到欠阻尼状态，锁相环也一样。
描述暂态过程的指标：
1.延时时间 td
暂态响应曲线第一次到达 稳态值的一半所用的时间
2.上升时间 t r
响应曲线从“0”到稳态 值所用的时间 3.峰值时间 t p 响应曲线到达第一个峰点所需的时间 4.暂态时间 暂态过程所需的时间 uo (t p ) uo () Mp 100% 5.最大过冲量 uo ( ) 6.稳态误差 以上参数 由系统或 电路参数 决定的， 影响暂态 性能
环路暂态响应
▓ 环路误差的时间响应
环路暂态响应
• 研究内容： • 环路在同步状态时，当输入信号的频率、相位发生变化 时，环路会出现一个跟踪过程。
暂态相位 误差
暂态过程
稳定状态
稳态相 位误差
研究对象：三种常用的一阶滤波器构成的二阶环 输入信号：相位阶跃、频率阶跃、频率斜升信号 研究方法：
★
2 ( s) H ( s) 1 ( s)