悬臂梁非线性大变形分析
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ｃ ＝ 百 Ｉ ＋ Ｖ （ ｌ 一 而 Ｖ ｒ ， 。 ）
（ ， ＝ ｌ ， ２ ， ３ ， ４ ） （ ３ ）
式（ ３ ） 中， Ｕ为 单位 张量 ， Ｅ材 料 的弹 性模 量 ， 为材 料 的泊松 比。 ２ ． ３ 支 配 方 程 利用 Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ 乘子 法 ， 放 松 平衡 条 件 约束 ， 则 修 正 的 泛 函可 写成
２ Ｑ ！
Ｑ ： （ ）
工 程 技 术
Ｃｈ ｉ ｎ ａ Ｎｅ ｗ Ｔｅ ｃ ｈｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｉ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ Ｐ ｒ ｏ ｄｕ ｃ ｔ ｓ
悬臂 梁非线性 大变形 分析
卢福 强
（ 中油辽 河工程有 限公 司， 辽宁 盘锦 １ ２ ４ ０ １ ０ ）
摘 要： 工程中弹性大变形问题的余能中包含着与微元旋转有关的量 ， 因此可将工程中的弹性大变形的余能分解为余能转动 部分和变形部分组成， 基 于这一思路 ， 本文以几何非线性余能原理概念为基础 ， 通过算例分析验证 了该原理 可用于解决几何
ｒ ｃ ｚ ＝１
∑ 【 （ ｃ ｏ ｓ Ｏ — １ ） ＋ ｓ ｉ ｎ ＋
式 （ ６ ）即 为基 于基 面 力 概 念 的余 能 有 限元 控 制方 程 。
Ｌ 矗 丁
． — —
Ｊ
Βιβλιοθήκη Baidu
上
弹 性模 量 为 Ｅ ＝ ３ ｘ １ ０ ６ Ｎ ／ ｍ ， 在 本 算 例 中集 中力 荷 载 采用 进 行一 次 加 载分 析 。 计 算 时 ，有 限 元 单 元 采 用 四边 形 单 元， 有 限元 网 格 的剖 分见 图 １ 所示 ， 在 本 分 析 中 该悬 臂梁 共 有 ３ ８ ９个 边 中节 点 和 １ ８ ０个 四边 形单 元 。 下 面 将计 算 所 得悬 臂 梁 自由端的无量纲水平位移 ｕ ／ Ｌ值和无 量 纲 竖 向位移值 ｖ ／ Ｌ与无量 纲荷 载 ｋ ＝ Ｐ Ｌ Ｖ Ｅ Ｉ 值 的关 系 ， 以及 与非 线 性 理论 解 和 非线 性 势 能 原 理 有 限 元 解 ，文 中简 称 为 Ｐ Ｆ Ｅ Ｍ 的 比较 关 系列 于表 Ｉ ，而 相应 于无 量纲荷 载 ｋ ＝ Ｐ Ｌ Ｖ Ｅ Ｉ 值与 ｕ ／ Ｌ及 ｖ ／ Ｌ值 的 对 应 关 系 图如 图 ２ 和图 ３ 所示。 由表 １ 可知 ， 当ｋ ＝ ０ ． ５时 ， ｕ ／ Ｌ值 的三 个解都是 ０ ． ０ １ ６ ； 当ｋ ＝ ｌ 时， ｕ ／ Ｌ值 中 的本 文解 与 Ｐ Ｆ Ｅ Ｍ解和理论解均值 的差值为 ０ ． ０ ０ ２ ；当 ｋ ＝ ２时 ， ｕ ／ Ｌ值 中 的本 文解 与
ｒ Ｉ ’ （ ｋ
，
图 ２端 部承 受集 中力的 悬臂 梁的荷 栽一 水 平位 移
） ： Ⅱ （ Ｔ ） ＋ Ｔ ， １ ＋ （ Ｔ ， Ｐ ， ）
＼１ ＝ Ｉ ／
（ ４）
式（ ４ ） 中 、 ， 为Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ 乘 子， 其中 Ａ的表达式可写为 Ａ ＝ Ａ ￣ ｅ ｒ ＋ Ａ ２ ｅ ２
非 线性 大 变形 问题 。 关键 词 ： 余 能原 理 ； 非线性 ； 大 变形 中 图分类 号 ： Ｔ Ｈ１ ３ １概 述
文献标 识 码 ： Ａ
从 基 面力 概 念 的 概 念 出发 ，以 Ｌ ａ — ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ 乘 子 法 松 弛单 元 域 内 的平 衡 条 件 ， 就 可 以得 到诸 如 ： 材 料 的 本 构关 系 、 结 构 的边 界 条 件 与 平衡 方 程 等 弹 性 力 学 问题
６ ｎ ： Ｘ ［ ￣ ｎ ｃ ’ （ Ｔ ， ， ） 】 ． 。 （ ６ ）
３ 工 程 算例 分 析 悬 臂 梁 自 由端 承 受 集 中力 作 用 的几 ∑ ． 卜 ｓ ｉ ｎ ０ ４ 。 （ ｃ ０ ｓ ｔ ） 】 ， ． 、 ＝ ｌ Ｌｌ Ｊ 何 非线 性 大 位 移 分 析 ，某 一 悬 臂 梁 的 自 ２ ． １ ． ２ 单 元 余 能 的 变 形 部 分 表 达 由 端部 受 集 中力 Ｐ作 用 （ 如图 １ 所示 ） ， 式为 ： 该悬 臂 梁 的长 度 为 Ｌ ＝ ５ ｍ， 梁截面高为 ｈ ＝
系统 的 修正 泛 函 为
ｎ ： Ｘ ｂ ｃ （ Ｔ ， ， ） 】
（ ５ ）
图 ３ 端部 承 受集 中力的
根 据 修 正后 的余 能原 理 ， 可 得 泛 函 的 悬臂 梁的荷 载一 竖 向位 移 驻 值 条 件为 ０ ． １ ｍ， ｂ为 梁 的 单 位 宽 度 ，集 中 力 为 ｐ ＝ ５ ０ Ｎ。 计算 时 ， 按平 面应 力 问 题 考虑 ， 梁 的
） 踟
（ ． ） 】
ｌ＋ ｖ
（ ２ ）
２ ． ２柔 度矩 阵 单 元 柔 度矩 阵的 显式 表 达式 为
的基 本 方 程 表 达式 ，同时 还 可 以据 此 建 立 余 能原 理 。同样 ， 在 研 究结 构 的 受力 性 能 时 ，特别 是 在 工 程 结 构 大 变 形 的分 析 中 ，基 面力 具 有 传 统 的 二 阶 应 力 张 量 无 法 比拟 的 优 越性 ，为 解 决 工 程 中的 几 何 非 线 性 大 变 形 问题 的计 算 分 析 提 供 了一 个 极 佳 的方法 。因此 ， 本 文 以几 何 非线 性 余能原理为基础 ， 采 用 迭 代法 ， 对 某 一 悬 臂 梁 自 南端 顶 部承 受 集 中荷 载 作 用 而 产 生大 变形的工程数值 算例进行 分析 ， 分 析 所 得 结 果 并 与相 关 有 限 元 理 论 数 值 解 进行对比， 进 而 验证 了该原 理 适 用性 。 ２ 数学 模 型 建立 工 程 中弹 性 大 变 形 问题 的 余 能 中包 含 着 与 微 元旋 转有 关 的量 ， 因此 可 将 工 程 中的 弹 性 大 变形 的余 能 主 要 分 解 为 余 能 转 动 部 分 和 余能 变 形 部 分 。基 于 这 一 思路 ，文中以几何非线性余能原理概念 为基础 ， 给 出 了几 何 非 线 性 中 的 大位 移 、 大 转 动 的 余 能 表达 式 的 具体 形 式 ，并 结 合 单 元 柔 度 矩 阵 ，利 用 Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ 乘 子 法 最后 给 出余 能有 限元 控 制 方程 。 ２ ． １ 由 上 述可 知 单 元 余 能 由转 动 部 分 和 变形 部 分 两 部 分组 成 。 ２ ． １ ． １ 单元余能 的转动部分 表达式 为：
ｃ ＝ 百 Ｉ ＋ Ｖ （ ｌ 一 而 Ｖ ｒ ， 。 ）
（ ， ＝ ｌ ， ２ ， ３ ， ４ ） （ ３ ）
式（ ３ ） 中， Ｕ为 单位 张量 ， Ｅ材 料 的弹 性模 量 ， 为材 料 的泊松 比。 ２ ． ３ 支 配 方 程 利用 Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ 乘子 法 ， 放 松 平衡 条 件 约束 ， 则 修 正 的 泛 函可 写成
２ Ｑ ！
Ｑ ： （ ）
工 程 技 术
Ｃｈ ｉ ｎ ａ Ｎｅ ｗ Ｔｅ ｃ ｈｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｉ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ Ｐ ｒ ｏ ｄｕ ｃ ｔ ｓ
悬臂 梁非线性 大变形 分析
卢福 强
（ 中油辽 河工程有 限公 司， 辽宁 盘锦 １ ２ ４ ０ １ ０ ）
摘 要： 工程中弹性大变形问题的余能中包含着与微元旋转有关的量 ， 因此可将工程中的弹性大变形的余能分解为余能转动 部分和变形部分组成， 基 于这一思路 ， 本文以几何非线性余能原理概念为基础 ， 通过算例分析验证 了该原理 可用于解决几何
ｒ ｃ ｚ ＝１
∑ 【 （ ｃ ｏ ｓ Ｏ — １ ） ＋ ｓ ｉ ｎ ＋
式 （ ６ ）即 为基 于基 面 力 概 念 的余 能 有 限元 控 制方 程 。
Ｌ 矗 丁
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Ｊ
Βιβλιοθήκη Baidu
上
弹 性模 量 为 Ｅ ＝ ３ ｘ １ ０ ６ Ｎ ／ ｍ ， 在 本 算 例 中集 中力 荷 载 采用 进 行一 次 加 载分 析 。 计 算 时 ，有 限 元 单 元 采 用 四边 形 单 元， 有 限元 网 格 的剖 分见 图 １ 所示 ， 在 本 分 析 中 该悬 臂梁 共 有 ３ ８ ９个 边 中节 点 和 １ ８ ０个 四边 形单 元 。 下 面 将计 算 所 得悬 臂 梁 自由端的无量纲水平位移 ｕ ／ Ｌ值和无 量 纲 竖 向位移值 ｖ ／ Ｌ与无量 纲荷 载 ｋ ＝ Ｐ Ｌ Ｖ Ｅ Ｉ 值 的关 系 ， 以及 与非 线 性 理论 解 和 非线 性 势 能 原 理 有 限 元 解 ，文 中简 称 为 Ｐ Ｆ Ｅ Ｍ 的 比较 关 系列 于表 Ｉ ，而 相应 于无 量纲荷 载 ｋ ＝ Ｐ Ｌ Ｖ Ｅ Ｉ 值与 ｕ ／ Ｌ及 ｖ ／ Ｌ值 的 对 应 关 系 图如 图 ２ 和图 ３ 所示。 由表 １ 可知 ， 当ｋ ＝ ０ ． ５时 ， ｕ ／ Ｌ值 的三 个解都是 ０ ． ０ １ ６ ； 当ｋ ＝ ｌ 时， ｕ ／ Ｌ值 中 的本 文解 与 Ｐ Ｆ Ｅ Ｍ解和理论解均值 的差值为 ０ ． ０ ０ ２ ；当 ｋ ＝ ２时 ， ｕ ／ Ｌ值 中 的本 文解 与
ｒ Ｉ ’ （ ｋ
，
图 ２端 部承 受集 中力的 悬臂 梁的荷 栽一 水 平位 移
） ： Ⅱ （ Ｔ ） ＋ Ｔ ， １ ＋ （ Ｔ ， Ｐ ， ）
＼１ ＝ Ｉ ／
（ ４）
式（ ４ ） 中 、 ， 为Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ 乘 子， 其中 Ａ的表达式可写为 Ａ ＝ Ａ ￣ ｅ ｒ ＋ Ａ ２ ｅ ２
非 线性 大 变形 问题 。 关键 词 ： 余 能原 理 ； 非线性 ； 大 变形 中 图分类 号 ： Ｔ Ｈ１ ３ １概 述
文献标 识 码 ： Ａ
从 基 面力 概 念 的 概 念 出发 ，以 Ｌ ａ — ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ 乘 子 法 松 弛单 元 域 内 的平 衡 条 件 ， 就 可 以得 到诸 如 ： 材 料 的 本 构关 系 、 结 构 的边 界 条 件 与 平衡 方 程 等 弹 性 力 学 问题
６ ｎ ： Ｘ ［ ￣ ｎ ｃ ’ （ Ｔ ， ， ） 】 ． 。 （ ６ ）
３ 工 程 算例 分 析 悬 臂 梁 自 由端 承 受 集 中力 作 用 的几 ∑ ． 卜 ｓ ｉ ｎ ０ ４ 。 （ ｃ ０ ｓ ｔ ） 】 ， ． 、 ＝ ｌ Ｌｌ Ｊ 何 非线 性 大 位 移 分 析 ，某 一 悬 臂 梁 的 自 ２ ． １ ． ２ 单 元 余 能 的 变 形 部 分 表 达 由 端部 受 集 中力 Ｐ作 用 （ 如图 １ 所示 ） ， 式为 ： 该悬 臂 梁 的长 度 为 Ｌ ＝ ５ ｍ， 梁截面高为 ｈ ＝
系统 的 修正 泛 函 为
ｎ ： Ｘ ｂ ｃ （ Ｔ ， ， ） 】
（ ５ ）
图 ３ 端部 承 受集 中力的
根 据 修 正后 的余 能原 理 ， 可 得 泛 函 的 悬臂 梁的荷 载一 竖 向位 移 驻 值 条 件为 ０ ． １ ｍ， ｂ为 梁 的 单 位 宽 度 ，集 中 力 为 ｐ ＝ ５ ０ Ｎ。 计算 时 ， 按平 面应 力 问 题 考虑 ， 梁 的
） 踟
（ ． ） 】
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（ ２ ）
２ ． ２柔 度矩 阵 单 元 柔 度矩 阵的 显式 表 达式 为
的基 本 方 程 表 达式 ，同时 还 可 以据 此 建 立 余 能原 理 。同样 ， 在 研 究结 构 的 受力 性 能 时 ，特别 是 在 工 程 结 构 大 变 形 的分 析 中 ，基 面力 具 有 传 统 的 二 阶 应 力 张 量 无 法 比拟 的 优 越性 ，为 解 决 工 程 中的 几 何 非 线 性 大 变 形 问题 的计 算 分 析 提 供 了一 个 极 佳 的方法 。因此 ， 本 文 以几 何 非线 性 余能原理为基础 ， 采 用 迭 代法 ， 对 某 一 悬 臂 梁 自 南端 顶 部承 受 集 中荷 载 作 用 而 产 生大 变形的工程数值 算例进行 分析 ， 分 析 所 得 结 果 并 与相 关 有 限 元 理 论 数 值 解 进行对比， 进 而 验证 了该原 理 适 用性 。 ２ 数学 模 型 建立 工 程 中弹 性 大 变 形 问题 的 余 能 中包 含 着 与 微 元旋 转有 关 的量 ， 因此 可 将 工 程 中的 弹 性 大 变形 的余 能 主 要 分 解 为 余 能 转 动 部 分 和 余能 变 形 部 分 。基 于 这 一 思路 ，文中以几何非线性余能原理概念 为基础 ， 给 出 了几 何 非 线 性 中 的 大位 移 、 大 转 动 的 余 能 表达 式 的 具体 形 式 ，并 结 合 单 元 柔 度 矩 阵 ，利 用 Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ 乘 子 法 最后 给 出余 能有 限元 控 制 方程 。 ２ ． １ 由 上 述可 知 单 元 余 能 由转 动 部 分 和 变形 部 分 两 部 分组 成 。 ２ ． １ ． １ 单元余能 的转动部分 表达式 为：