第九章 粘弹性接触

9. Viscoelastic contact
Prony series
Shear stress relaxation modulus
王战江 授课 14
s

偏应变
e

1 2 3 3 1
1 1 2 3 3
G是剪切模量
G(t ) G i 1 Gi exp(t / i )
N
s 2Ge 2G
对于不可压缩粘弹性材料
G (t 0) G0 G i 1 Gi
N
s t t t
0
t
e t dt t
e t t t
9. Viscoelastic contact
粘弹性接触求解采用与弹性接触比拟 的方法，即将粘弹性应力应变关系式中相 应的积分运算代替弹性解中的弹性常数实 现粘弹性接触的计算。在粘弹性接触中， 弹性模量和泊松比与时间相关，建立三参 数固体模型，利用半解析法计算接触力学 行为。
王战江 授课 21
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（2）数值法
数值方法是一种近似方法。在电子计算机出现之后，数值方 法发展很快，特别是产生了有限元法，它处理复杂的边界形状没 有原则上的困难，是一种普遍的方法。但有限元法并非完美无缺， 比如用它计算接触问题计算量很大，应力及靠近边界处的位移算 得不够准确。
（3）半解析法
把解析法和数值法结合起来就产生半解析法。半解析法吸收 了解析法结果准确和数值方法（主要是有限元法）处理边界灵活 的优点，可以在明显减少计算量的同时提高计算精度，受到了人 们的重视。半解析法是综合了数值解和分析解的长处的一种方法。 其方法的原理在于，首先得到一个单位激励响应解，通常是以格 林函数的形式，最后的解由所有单位解的叠加得到，并使用快速 傅里叶变换完成叠加算法。
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)
Rate of relaxation λ=E/η
Free the material a time t1
Total D S Total D S (t ) E (t )
(t t1 ) (t1 )e ( t t )
王战江 授课 5
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粘弹性模型的基本元件
线性弹簧(Hookean elastic spring)
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粘滞阻尼器 (viscous damper)
E

d dt
1
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1）Maxwell model
Relaxation time T=η/E
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2）Kelvin–Voigt model
(t ) 0
E
王战江 授课 9 Apply a constant stress σ0
(1 e
t
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3）Standard linear solid model
结论：通过计算三参数固体材料以及Maxwell材料，验证了算法的正确性。 说明通过本算法可以分析诸如橡胶类材料的接触界面力学行为，优化界 面的纹理。最终实现粘弹性接触零件的减磨、降噪、长寿命及高可靠的 使用要求。
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9. Viscoelastic contact
3
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Maxwell model
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（1）解析法
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解析法发展得最早，它的优点是可得到准确的结果，对于分 析方程及其解答的数学性质很有用，缺点是只适用于简单的边界 条件和简单的方程，难度主要来源于偏微分算子和边界的形状， 特别是边界的几何形状，因此目前只求出了少数的解析解。
5
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常用粘弹性模型
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蠕变响应对阶跃变化应力s0的表达式为
1 1 e(t ) (t ) s0 1 exp( t / T1 ) s0 g1 g 2
g1 g 2 g1 exp(t / T2 )e0 s(t ) (t )e0 g1 g 2
4Hale Waihona Puke Baidu
t
d
1 3 1 a 3 (t ) RP0 (1 e t / T ) 8 g1 g 2
Viscous solid
1/ 2
Three parameter solid
载荷
P(t )
8 t d (t t ) a 3 (t )dt 3R 0 dt
对阶跃变化应变e0的响应为
T1=η/g2
T2=η/g1+η/g2
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弹性解
3 1 a 3 ( R ) 3 / 2 RP 8 2G
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三参数固体 Three parameter solid
弹性材料
粘弹性材料
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典型粘弹性应力、应变随时间变化曲线 Strain OA: initial elastic response AB: delayed elastic strain BC: creep strain CD: an immediate elastic response when the stress is removed DE: delayed elastic response E: a permanent strain
1
d ( t ) dt 适用：有机聚合物，橡胶，木材（当负载 不太高）。
E2 d ( E1 ) d E2 dt dt E1 E2
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4）Generalized Maxwell model
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磨削加工测量表面三维模拟图
钢球压入磨削测量表面模拟压力图 钢球压入磨削加工测量表面的压力 示意图，反应了某一时刻接触区域压力 的分布情况。蓝色区域没有压力，压力 大小同微凸峰排列情况基本吻合，压力 区域呈圆形，显示了钢球压入真实工程 表面的接触区域。从图中可以得出结论： 微凸体峰顶部分压力最大，接触区的峰 谷部分，并未产生压力。整体来看，压 力随微凸体的排列而呈起伏状分布。
粘弹性接触算例 例一：三参数固体材料
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例二：Maxwell材料
模型适用范围：
可以用来分析橡胶等粘弹性材料的接 触面力学行为，分析不同纹理表面对粘弹 性接触压力的影响，进而对其进一步优化。
三参数固体模型
压力沿x轴分布： (a)本方法解； (b)解析解
载荷和接触半径: （a）本方法解；（b）Ting解
dt dt dt
(t )
1 d E dt
0
E
t
0

A Maxwell material is suddenly deformed and held to a strain of ε0
适用：热塑性聚合物，新鲜混凝土（忽略其老 化），金属在温度接近其熔点。
(t ) Ee t / T 0
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Viscoelasticity is the property of materials that exhibit both viscous and elastic characteristics when undergoing deformation.
5）Kelvin Chain Model
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应用：金属和合金的在温度低于绝对熔化温度 （以K表示）的四分之一。
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考虑聚合物（ polymer ）的泊松比一般都大于0.4 应力-应变关系用偏张量形式表示 偏应力分量
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1）Maxwell model
阶跃响应
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A Maxwell material is suddenly subjected to a stress σ0
Total D S Total D S d Total d D d S
0
t
s t dt t
Ψ(t): 松弛函数 (Relaxation function)
Φ(t): 蠕变函数 (Creep function)
G (t ) G0 i 1 Gi 1 exp( t / i )
N
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三参数固体 两个模量为g1和g2的弹簧与一个粘滞性为η 的阻尼器联接组成，
接触力学
西南交通大学 王战江
弹性通常是在一个有序的固体中沿 晶面键的伸缩 粘度通常是非晶质材料内部的原子 或分子扩散的结果
9. Viscoelastic contact
加载-卸载曲线
王战江 授课 3
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王战江 授课 4
Creep： the stress is held constant, the strain increases with time Relaxation：the strain is held constant, the stress decreases with time
正弦表面分析结果
王战江 授课 24
单峰体表面 V型脊表面 模拟刚性球压入一个具有正 弦粗糙度的粘弹性半无限大体。 结果表明，粗糙表面与光滑表面 接触特性完全不同，粗糙表面造 成局部压力增加，而整体接触半 径减小。随着时间的增加，压力 降低而接触面积增加。 轴对称正弦表面 正弦粗糙表面
4
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1 1 e(t ) (t ) s0 1 exp( t / T1 ) s0 g1 g 2
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p( r )
4
R
2G ( a 2 r 2 )1 / 2
T1 / g 2
T2 /( g1 g 2 )
Maxwell
粘弹性解
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单峰体表面分析结果
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V型脊表面分析结果
王战江 授课 26
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轴对称正弦表
王战江 授课 27
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磨削加工实测表面
接触半径
s(t ) (t )e0
g1 g2 g1 exp(t / T2 )e0 g1 g 2
3 t d a (t ) R (t t ) P(t )dt 8 0 dt
3
压力
p ( r, t )
(t t ) a 2 (t ) r 2 dt dt R 0
磨削加工表面轮廓图
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王战江 授课 29
王战江 授课 30
Reference
1. Johnson, K. L., 1985, Contact Mechanics, Cambridge University Press, Cambridge, UK.
磨削加工实测表面的接触特性，微凸体峰顶部分压力最大，压力随微凸体的 分布而呈起伏状。粗糙表面微凸体间的接触会引起接触压力的剧烈震荡，接触区 分布在许多不连通区域，随着时间的增加，接触区逐渐联通。