04平面内的直线、直线和平面及平面和平面的相对位置(平行相交)

e
土建2012
3
直线与平面平行
例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。
有多少解？
b c m
●
有无数解
n
a
X
b
●
O
n a
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c
m
4
土建2012
例2：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。
正平 线
c m
●
b n
a X
a
b
c m
●
O n
唯一 解
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土建2012
直线与平面相交（包含垂直） 平面与平面相交（包含垂直）
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土建2012
2
直线与平面平行
定理 若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线 与该平面必相互平行；反之，若一直线与平面相互平 行，则在该平面内一定存在与该直线平行的直线。 b’ f’
c’ a’
X
e’ b f
O
a c
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O
e s
11
m
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直线与平面相交
其交点只有一个，是直线与平面的共有点。
A
K
B
要讨论的问题：
● 求直线与平面的交点。 ● 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。
2018/11/4 土建2012 12
直线与平面相交
１．平面为特殊位置时
例7：求铅垂面△ABC 与一般位置直线MN的交点Ｋ，并判别其可 见性。
5
例3：试判断直线AB是否平行于平面CDE。
g
f
X
f
O
结论： 直线AB不平行于平面CDE 。
2018/11/4
g
土建2012 6
例4：判断直线AB与平面P的关系。
判断直线与投影面垂 直面是否平行时，只需判 断平面所垂直的投影面上 的投影是否平行。
O
b’
PV
a’ X a
b
直线AB平行于 平面P
3‘（4’） kபைடு நூலகம்1 ●
●
a X m PH a 1● 4 3 b
●
k
●
2
c
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土建2012
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垂直--直线与平面垂直;
平面与平面垂直
直线与平面垂 直的几何条件： 若一直线垂直于 平面内的任意两条 相交直线，则直线 与平面互相垂直。
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平面与平面平行
E D F C
B A
平面与平面平行的几何条件——
若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的 两相交直线，则这两平面相互平行。
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平面与平面平行
b a X c d c b d 平行 若两投影面垂直面相互平行， 则它们具有积聚性的那组投影必相 互平行。 a c X a c b d e 平行 e b d f e f f O
直线与平面、平面与平面的相对位置—
平行 相交（含垂直）
点、直线、平面综合问题——
距离问题——作垂直、求实长(度量) 相对位置关系(定位) 角度问题(度量)

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土建2012
1
直线与平面、平面与平面 的相对位置
相对位置包括平行、相交。
直线与平面平行 平面与平面平行 包 括 包 括
b k a
X
●
m
作图步骤： ① ②
●
n
b
1(2)
c
O
求交点 判别可见性 点Ⅰ位于平面上，在前； 点Ⅱ位于MN上，在后。故k 2为不可见。
用面上 定点法
a
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k● 2 m(n) ● 1
●
c
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平面与平面相交
两平面相交，其交线为直线， 交线是两平面的共有线，同时交线 M 上的点都是两平面的共有点。 求两平面交线的问题可以看作是 求两个共有点的问题。 要讨论的问题： ① 求两平面的交线 方法： ⑴ 确定两平面的两个共有点。 ⑵ 确定一个共有点及交线的 方向。 ② 判别两平面之间的相互遮挡关系， 即：判别可见性。 A
例10：求两平面的交线MN， 并判别可见性。 b
步骤： １．空间及投影分析
X
e
●
b m n
●
●
O h
1(2)
２．作图 ① 求交线 ② 判别可见性 点Ⅰ在FH上，在上方，点 Ⅱ在BC上，在下方，故fh可见 ，n2不可见。
a
c
f 結論2：某投影面的平行面与任一个平面的交线都平行于该投影面 （它可能是该投影面的平行线也可能是其它两个投影面的垂直线）。
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直线与平面相交
3．直线、平面均为一般位置时
m b
●
辅助平面法求一般位置直线 与一般位置平面交线的步骤：
2 c 1、含已知直线作特殊位置辅助平面 （垂直面）； n' O 3、求交线与已知直线的交点，该交 n 点即为所求； 4、判别可见性。 2、求辅助平面与已知平面的交线；
b
n
作图步骤： ① ② 求交点 判别可见性
a m
X
1 ( 2 )
●
k
●
c c
由水平投影可知，KN段在平面前， O 故正面投影上kn为可见。
m a
● ●
2
1
b k
还可通过重影点判别可见性。
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●
n
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2．直线为特殊位置时
例8：求铅垂线ＭＮ与一般位置平面△ABC的交点Ｋ，并判别 其可见性。
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B
K F
N
C
L
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例9：求两平面的交线MN， 并判别可见性。 a b
●
e
f
m(n)
d
c
步骤： １．空间及投影分析 平面ABC与DEF都为正垂面， 它们的正面投影都积聚成直线。 交线必为一条正垂线，只要求 得交线上的一个点便可作出交 线的投影。
２．作 图 O e X ① 求交线 a n ● ② 判别可见性 c 从正面投影上可看出， d ● 在交线左侧，平面ABC在上， m 其水平投影可见。 f b 还有何办法判别？ 可通过正面投影直 如何判别？ 还可通过重影点判别可见性。 观地进行判别。 結論1：垂直于同一个投影面的两平面的交线一定垂直于 该投影面（即为该投影面的垂直线）。
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平面EFH是一水平面，它的 結論 3 ：垂直于不同投影面的两个垂直面的 正面投影有积聚性。ab与ef e m f n 1 h ● ● ● 交线一定是一般位置直线。 的交点m 、 b c与f h的交点 ● 2 n即为两个共有点的正面投影， c 故mn即交线MN的正面投影。 a
a
e
f
h O h
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例5：试判断两平面是否平行。
s n m r
X
n m
O
s r
结论：两平面平行
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例6：已知平面由平行两直线AB和CD给定，试过点 K作一平面平行于已知平面 。
s m f k
n
r
e
X
r n k f