非线性动力分析方法
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艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
a.Point attractor 静止在定态
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
一 非线性动力系统
3.吸引子及其特性 b.Limit cycle 周期性运动
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
二 经典非线性测量方法
1.Lorenz 散点图
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
二 经典非线性测量方法
2.Lyapunov 指数
Lyapunov 指数用于判断一个系统是否属于混 沌系统。系统的Lyapunov 指数谱中存在正值,则 表明该系统具有混沌特征。因此,只要系统的 Lyapunov 指数谱中最大的Lyapunov 指数为正,则 该系统为混沌系统。
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
二 经典非线性测量方法
稳定体系的相轨线相应 于趋向某个平衡点，如果出 现越来越远离平衡点，则体 系是不稳定的。系统只要有 一个正值的就可出现混沌运 动。
判别一个非线性系统是否 存在混沌运动时，需要检查 它的最大李雅普诺夫指数 l 是否为正值。
一 非线性动力系统
Lorenz方程组：
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
一 非线性动力系统
3.吸引子及其特性
• 吸引子 能量耗散系统最终收缩wk.baidu.com的一种定常状态。这是
一个动力系统在t →∞时所呈现的与时间无关的定态，并
且不管选取什么样的初始值其终值的定态只有一个，也就 是说终值与初始值无关。这类吸引子也称平庸吸引子。 • 如：阻尼单摆有不动点吸引子，范德玻耳方程有极限环 吸引子，等等。
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
一 非线性动力系统
3.吸引子及其特性 d.Chaotic attractor 具有收敛性 无周期 分型结构 “奇怪吸引子”
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
一 非线性动力系统
高维吸引子
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
一 非线性动力系统
3.吸引子及其特性 c.Torus 准周期 不可通约
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
一 非线性动力系统
• 奇怪吸引子 相对于平庸吸引子而言，它 们的特点之一是终态值与初始值密切相关 ，或者说对初始值具有极端敏感性；初始 取值的细微差别可能会导致完全不同的结 果，这时的吸引子毫无周期可言，即所谓 混沌。
, , , ,L 0,,,,L
0,0,,,L 0,0,0,,L ,0, , ,L , ,0, ,L
吸引子类型
维数
不动点 极限环
D=0 D=1
二维环面 三维环面
D=2 D=2
奇怪吸引子（混沌） D = 2~3（非整数）
超混沌
D = 高于3非整数
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
吸引子可存在于高维相空间内。在这相空间中大于零的李雅普诺夫指数可
能不止一个，这样体系的运动将为更复杂。人们称高维相空间中有多个正值
指数的混沌为超混沌。推广到高维空间后，由指数
的值决
定的各种类型的吸引子归纳如下：
l l l l L 1, 2, 3, 4,
一 非线性动力系统
2.加入动力学行为 记忆效应（与t相关）： 无记忆效应（与t无关）：
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
一 非线性动力系统
混沌： 混沌是指发生在确定性系统中的貌似随
机的不规则运动，一个确定性理论描述的 系统，其行为却表现为不确定性－－不可 重复、不可预测，这就是混沌现象。
二 经典非线性测量方法
3.相关维度 C(r)为吸引子上两个随机点之间距离小于
给定距离r的似然估计。是r的函数
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
二 经典非线性测量方法
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
二 经典非线性测量方法
4.K熵 K熵（柯尔莫哥洛夫熵） S熵（香农熵，信息论） 一个吸引子的K熵是它（吸引子）所表示
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
一 非线性动力系统
典型非线性方程： 人口模型：
x(t+1)=k*x(t)*(1-x(t))
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
一 非线性动力系统
• 混沌二分叉图：
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
Outline
一、非线性动力系统 二、经典非线性测量方法 三、例子 四、小结
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
一 非线性动力系统
1.线性与非线性 线性方程： y(t)=a*t+b1 非线性方程： Y(t)=cos(t)+b2; Y(t)=t^2+b3
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
三 例子
正常人与癫痫发作时的比较 1.EEG &2.相空间轨迹
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
3.相关维度
三 例子
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
二 经典非线性测量方法
• 设 为多维相空间中两点的初始距离，经 n 次迭代后两点
的距离为：
(t
)
elit
0
• 式中指数 li 值可正可负。 表示沿该方向扩展， 表示
沿该方向收缩。在经过一段时间(数次迭代)以后，两个不 同李雅普诺夫指数值将使相空间中原来的圆演变为椭圆。
的动态系统的信息损失率。 等于该系统具有的所有正Lyapunov指数
之和。
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
二 经典非线性测量方法
• 在随机运动系统中，K熵是无界的；
• 在规则运动系统中，K熵为零；
• 在混沌运动系统中，K熵大于零，K熵越大 ，那么信息的损失速率越大，系统的混沌 程度越大，或者说系统越复杂
a.Point attractor 静止在定态
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一 非线性动力系统
3.吸引子及其特性 b.Limit cycle 周期性运动
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
二 经典非线性测量方法
1.Lorenz 散点图
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二 经典非线性测量方法
2.Lyapunov 指数
Lyapunov 指数用于判断一个系统是否属于混 沌系统。系统的Lyapunov 指数谱中存在正值,则 表明该系统具有混沌特征。因此,只要系统的 Lyapunov 指数谱中最大的Lyapunov 指数为正,则 该系统为混沌系统。
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二 经典非线性测量方法
稳定体系的相轨线相应 于趋向某个平衡点，如果出 现越来越远离平衡点，则体 系是不稳定的。系统只要有 一个正值的就可出现混沌运 动。
判别一个非线性系统是否 存在混沌运动时，需要检查 它的最大李雅普诺夫指数 l 是否为正值。
一 非线性动力系统
Lorenz方程组：
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
一 非线性动力系统
3.吸引子及其特性
• 吸引子 能量耗散系统最终收缩wk.baidu.com的一种定常状态。这是
一个动力系统在t →∞时所呈现的与时间无关的定态，并
且不管选取什么样的初始值其终值的定态只有一个，也就 是说终值与初始值无关。这类吸引子也称平庸吸引子。 • 如：阻尼单摆有不动点吸引子，范德玻耳方程有极限环 吸引子，等等。
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一 非线性动力系统
3.吸引子及其特性 d.Chaotic attractor 具有收敛性 无周期 分型结构 “奇怪吸引子”
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
一 非线性动力系统
高维吸引子
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一 非线性动力系统
3.吸引子及其特性 c.Torus 准周期 不可通约
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
一 非线性动力系统
• 奇怪吸引子 相对于平庸吸引子而言，它 们的特点之一是终态值与初始值密切相关 ，或者说对初始值具有极端敏感性；初始 取值的细微差别可能会导致完全不同的结 果，这时的吸引子毫无周期可言，即所谓 混沌。
, , , ,L 0,,,,L
0,0,,,L 0,0,0,,L ,0, , ,L , ,0, ,L
吸引子类型
维数
不动点 极限环
D=0 D=1
二维环面 三维环面
D=2 D=2
奇怪吸引子（混沌） D = 2~3（非整数）
超混沌
D = 高于3非整数
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艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
吸引子可存在于高维相空间内。在这相空间中大于零的李雅普诺夫指数可
能不止一个，这样体系的运动将为更复杂。人们称高维相空间中有多个正值
指数的混沌为超混沌。推广到高维空间后，由指数
的值决
定的各种类型的吸引子归纳如下：
l l l l L 1, 2, 3, 4,
一 非线性动力系统
2.加入动力学行为 记忆效应（与t相关）： 无记忆效应（与t无关）：
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
一 非线性动力系统
混沌： 混沌是指发生在确定性系统中的貌似随
机的不规则运动，一个确定性理论描述的 系统，其行为却表现为不确定性－－不可 重复、不可预测，这就是混沌现象。
二 经典非线性测量方法
3.相关维度 C(r)为吸引子上两个随机点之间距离小于
给定距离r的似然估计。是r的函数
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
二 经典非线性测量方法
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
二 经典非线性测量方法
4.K熵 K熵（柯尔莫哥洛夫熵） S熵（香农熵，信息论） 一个吸引子的K熵是它（吸引子）所表示
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
一 非线性动力系统
典型非线性方程： 人口模型：
x(t+1)=k*x(t)*(1-x(t))
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
一 非线性动力系统
• 混沌二分叉图：
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
Outline
一、非线性动力系统 二、经典非线性测量方法 三、例子 四、小结
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
一 非线性动力系统
1.线性与非线性 线性方程： y(t)=a*t+b1 非线性方程： Y(t)=cos(t)+b2; Y(t)=t^2+b3
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
三 例子
正常人与癫痫发作时的比较 1.EEG &2.相空间轨迹
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
3.相关维度
三 例子
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
二 经典非线性测量方法
• 设 为多维相空间中两点的初始距离，经 n 次迭代后两点
的距离为：
(t
)
elit
0
• 式中指数 li 值可正可负。 表示沿该方向扩展， 表示
沿该方向收缩。在经过一段时间(数次迭代)以后，两个不 同李雅普诺夫指数值将使相空间中原来的圆演变为椭圆。
的动态系统的信息损失率。 等于该系统具有的所有正Lyapunov指数
之和。
艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation
二 经典非线性测量方法
• 在随机运动系统中，K熵是无界的；
• 在规则运动系统中，K熵为零；
• 在混沌运动系统中，K熵大于零，K熵越大 ，那么信息的损失速率越大，系统的混沌 程度越大，或者说系统越复杂