一类带约束动态多目标优化问题的进化算法_杨亚强

多复杂的动态优化问题[1-2]。动态优化问题是指其目 标函数不仅与决策变量有关， 而且还会随着问题的 时间或环境进行动态变化， 因而， 此类问题的 Pareto 最优解也会随着时间或环境动态改变。然而， 对于 动态优化问题 ， 一般可将其分为动态单目标优化问 题和动态多目标优化问题两大类。现有文献中可查
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的动态多目标优化问题的求解至今是一个难题。本 文利用问题的约束条件， 给出了固定环境下进化种 群中个体的约束度函数， 进而结合定义的个体序值 设计了一种新的选择算子及求解约束动态多目标优 化问题的新进化算法， 该算法不仅有效避免了在固 定环境下逐个检验解是否可行的困境， 而且通过吸 引部分距离 Pareto 前沿面较近的一些不可行解参与 算法的进化， 极大地增强了群体的多样性， 提高了算 法的搜索效率。最后通过 2 个典型的测试函数对算 法的性能及有效性进行了仿真， 其结果表明新算法 能较好地求解带约束的动态多目标优化问题。
n + m
其中： Worst(t) = ( x max f ( x t)x max f ( x t), , x max f ( x, t)) Î[L U ] 1 Î[L U ] 2 Î[L U ] m
Best(t) = ( x Î min f ( x t)x Î min f ( x t)x Î min f ( x t)) [L U ] 1 [L U ] 2 [L U ] m
分别表示环境 t 下对应问题目标空间中的最差解 和 最好解， × p 表示向量 “ × ” 的 p - 范数。 xi (i = 1
2 H ) 是环境 t - 1 时用于测试的 H 个个体样本。
是超立方体搜索空间。
t 定义 1[1] 固定环境 t ， 向量 ut = (u1 ut2 utm)T 称 t 为非劣于向量 vt = (v1 vt2 vtm)T， 当且仅当对于 "i Î
1 f (xi t) - f (xi t - 1) p Hå η(t) = i = 1 Worst(t) - Best(t) p
H
2
基本概念
考虑如下动态约束多目标优化问题： ìmin f ( x t) = ( f1( x t) f 2 ( x t) f m ( x t)) ïs.t. g ( x) £ 0 i = 1 2 p ï i （1） í h ( x) = 0 j = 1 2 q j ï ï + î x Î D Í [L U ] t Î 其中： t Î + 是定义在正整数集上的时间变量，x =
( x1, x 2, , x n)T Î n 是 n 维决策向量， gi ( x) £ 0(i = 1 p)， h j ( x) = 0 ( j = 1 q) 是 依 赖 t 的 不 等 式 和 等 式 约 束 ， fi ( x t)(i = 1 2 m) 为依赖 t 的 m 个动态子目标函
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引言
在计算机工程、 网络优化等领域， 常常会遇到许
到最多的是动态单目标优化问题的研究成果 [3-9]， 对 动态多目标优化问题的研究成果还不多[10-12]， 且大多 是针对无约束动态多目标优化问题设计求解模型和 方法， 或直接将一些经典的静态多目标优化算法用 于求解无约束动态多目标优化问题。然而， 对于带 约束的动态多目标优化问题而言， 因其具有多互冲 突、 不可公度的目标函数， 且加之其 Pareto 最优解随 时间及约束条件的变化会发生改变， 因此对带约束
（3）
数。 D ={ x|gi ( x) £ 0, h j ( x) = 0, i = 1 p, j = 1 q} 称为可 行域，f ( x, t): ´ ® 是目标向量函数， Βιβλιοθήκη Baidu L, U ] Ì
n ， 且称： [L, U ] ={ x = ( x1, x 2, , x n)T|li £ xi £ ui i = 1 n} （2）
束度， 结合这两个定义给出了一种选择算子。在一种环境变化判断算子下给出了求解环境变量取值于正整数 集 + 的一类带约束动态多目标优化问题的进化算法。通过几个典型的 Benchmark 函数对算法的性能进行了 测试， 其结果表明新算法能够较好地求出带约束动态多目标优化问题在不同环境下质量较好、 分布较均匀的 Pareto 最优解集。 关键词： 约束动态多目标优化； 进化算法； 环境变化； Pareto 最优解 文章编号： 1002-8331 （2012） 21-0045-04 文献标识码： A 中图分类号： TP18
利用算子式 （3） ， 算法可有效识别问题式 （1） 的 当前环境是否发生改变， 从而促使算法跳出当前环 境而进入下一个新的环境进行搜索。
3 约束动态多目标优化进化算法 3.1 选择算子
对于带约束的多目标优化问题而言， 其 Pareto 最 优解往往处在约束的边界， 且距约束边界较近的不 可行解携带的进化信息往往比距约束边界较远的可 行解更有用， 因此， 在固定环境下， 适当保持一定数 量的不可行解会加速算法的收敛， 这里结合定义 3、 定义 4， 设计如下选择算子： （1） 若被比较的两个个体 xi (k ) 和 x j (k ) 都可行， 选其中序值较小的， 若其序值相同， 则随机选取一个。 （2） 若被比较的两个个体 xi (k ) 和 x j (k ) 中有一个 可行， 另一个不可行时， 选择这两个个体的均值 x ˉ(k ) =
定义 4 固定环境 t 下， 对 " xi (k ) Î[L U ] ， 记
cp( xi (k )) = å[min{o gi ( xi (k ))}]2 + å h j ( xi (k ))
i=1 i-1 p q
|
|
，则
cp( xi (k )) 表示个体 xi (k ) 违反约束的度， cp( xi (k )) 显然，
使得 uit < vit 。 {1 2 m} uit £ vit Ù $i Î {1 2 m} ， 定义 2[1] 固定环境 t， 向量 x u Î D 称为问题式 （1） 的 Pareto 最优解， 当且仅当不存在 x v Î D 使得 vt =
f ( x v t) 非劣于 ut = f ( x u t) 。
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一类带约束动态多目标优化问题的进化算法
杨亚强， 刘淳安 YANG Yaqiang, LIU Chun’ an
宝鸡文理学院 数学系， 陕西 宝鸡 721013 Department of Mathematics, Baoji University of Arts and Sciences, Baoji, Shaanxi 721013, China YANG Yaqiang, LIU Chun’ an. Evolutionary algorithm for class of constrained dynamic multi-objective optimization problems. Computer Engineering and Applications, 2012, 48 （21） ： 45-48. Abstract：Dynamic multi-objective constrained optimization problem is a kind of NP-hard problem. The rank and the scalar constraint violation of the individual for evolution population under the dynamic environments are defined. Based on the two definitions, a new selection operator is presented. Based on an environment changing operator, a new dynamic constrained multi-objective optimization evolutionary algorithm, which is used to solve a class of constrained dynamic multi-objective optimization problems in which the environment variable is defined on the positive integer set, is given. The proposed algorithm has been tested on two constrained dynamic multi-objective optimization benchmark problems. The results obtained have been compared with the other algorithm. Simulations demonstrate the new algorithm can obtain good quality and uniformed distribution solution set in different environments for constrained dynamic multi-objective optimization problems. Key words：constrained dynamic multi-objective optimization; evolutionary algorithm; environment changing; Pareto convergence 摘 要： 动态多目标约束优化问题是一类 NP-Hard 问题， 定义了动态环境下进化种群中个体的序值和个体的约
基金项目： 陕西省教育厅科学研究计划项目 （No.11JK0506） 。
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作者简介： 杨亚强 （1978—） ， 男， 讲师， 主要研究方向： 最优化理论， 进化算法； 刘淳安 （1972—） ， 男， 博士， 教授， 主要研究方向： 动态规划， 进化算法与人工智能。E-mail： yyq20021977@163.com 收稿日期： 2012-02-22 修回日期： 2012-04-22 DOI： 10.3778/j.issn.1002-8331.2012.21.010
越大， 说明个体 xi (k ) 距离可行域越远， 即个体违反约
cp( xi (k )) 值越小， 束度的程度越高， 相反， 则表明个体
距离可行域越近， 即个体违反约束度越小， 当个体 xi (k ) Î D ， 则 cp( xi (k )) = 0 ， 表明个体 xi (k ) 到可行域的 距离为 0。 对带约束的动态多目标规划问题式 （1） ， 人们不 但要求算法能有效求出不同环境下满足约束的数量 较多且分布均匀的 Pareto 最优解集， 而且设计的算法 能较快识别问题的环境改变并及时跟踪问题的 Pareto 最优解集， 也就是说， 一旦当问题的环境发生了改 变， 算法能很快识别并较好地适应此变化。基于问 题式 （1） 的环境特性， 下面给出一种环境变化识别 算子：
[ xi (k ) + x j (k )]/2 。
定义 3 设 pop (k ) ={ x1(k ) x 2 (k ) x N (k )}t 表示 环境 t 下第 k 代进化种群， 称 rank ( xi (k )) = 1 + rank (k ) 为 popt (k ) 中个体 xi (k ) 的序值， 这里：rank (k ) 表示