非线性时间序列确定性的检验新方法

2 算法设计
一个微分流形的局部信息可以通过该流形的局部切空间来描述。 所以，我们 可以把一个d维流形的局部子空间仿射到其局部切空间，而用这个仿射空间表示 其局部拓扑信息。Min等人在文献[14]中证明了局部切空间可以用局部样本协方差 矩阵的特征向量来表示， 因此可以把求取表示局部信息的样本点在局部切空间中 的投影坐标的问题转换为局部奇异值分解问题。当一个由式（1 ）表述的d维的确 定性系统通过向空间重构到一个m维的重构向空间 M m ，m>d，其某一个足够小 的子空间可以看作空间 M m 中的一个空间椭球。该椭球的产生可看作是由一个
非线性时间序列确定性的检验新方法
惠晓峰 张硕 摘要： 金融时间序列的确定性判断将直接影响到对其进行研究的理论框架的选择。 本文提出 了一种非线性时间序列确定性的检验方法。 该方法首先将待判断的时间序列重构于高维向空 间中，寻找其在低维欧式空间中投影，再反射回源空间。通过比较源空间与反射空间之间的 偏差，与随机系统中产生的偏差进行比较，来判断该序列的确定性。 关键词：非线性；确定性；金融时间序列
取出d之后，我们就得到了一个d维欧式空间上的无交点的流形 M * 。 M * 可以看 做原确定性系统在欧式空间中的拓扑描述。这里d的给出仅仅具有下界，当我们 重构一个 m维的向空间 M m 的时候， m > d ，则 M * 为 M m 的一个d维嵌入。 当我们把式（2 ）所描述的系统还原到其重构向空间维度（设为 d）所对应的 欧式空间中去的时候，由于 ε i 的存在，我们在这个d维欧式空间观察到的系统向 空间轨迹将是被干扰的结果。因为一个噪声序列的空间分布可以看做一个 R ∞ 空 间的球，所以如果我们把这个系统恢复到一个维度更高的空间 M m 中，设为 m维， 由前边的论述可知该系统的确定成分 X i +1 = f ( X i ) 为该空间的一个d维嵌入，而 ε ( m ) − ε （ ε 为 ε 的均值）则在重构空间的每个维度上表现为相同的分布。如果我 么可以通过某种方法， 把 d维嵌入空间分离出来， 则该 d维空间将不包含与其垂直 的噪声分量。 m越大，则分离出来的d空间含的噪声就越少。于是，我们就得到 了确定性系统与随机过程之间的在一个高维重构向空间中的重要的拓扑区别： 确 定性系统在维度为m的重构向空间 M m 中，当 m>>d，则存在一个d维嵌入可以描 述其全部拓扑信息；随机过程在重构向空间 M m 中，不具有一个d维嵌入可以描 述其全部拓扑信息，而是类似一个以某点为圆心的高维球。 然而，由于我们无法直接通过感官来观测一个超过三维的空间流形， 所以我 们必须借助于某种方法来检验确定性系统与随机过程之间的区别。 引入微分几何
M m 空间中的单位球映射生成的，而该子空间的奇异值则表征了对单位球半径通 过怎样的拉伸或压缩而得到了新的空间椭球。 因为， 该空间椭球是一个 d维空间， 所以必有 d个奇异值远大于其它的趋近于0的奇异值。 而对于一个由连续随机分布 构成的 M m 空间中的一个子流形，它的一个足够小的子空间仍然是在 M m 的各维
X i ( k )* = Qi*Θik + xi lk T (5)
(4)
= E X i ( k )* − X i ( k )
(6)
Qi* 为正交矩阵，所以，对于一个由（1）式描述的 d 维确定性系统，E=0 。而 对于一个由式（2 ）描述的 d 维确定性系统， E 表现了由于噪声影响而造成的新
生成的拓扑空间与原拓扑空间之间的拓扑信息的差异。 这种拓扑信息的差异在一 个由随机序列生成的空间变化之后应该将会更为明显。 我们可以通过谱范数来定 量的描述这种差异。 接下来我们证明对于确定性系统和随机系统，在由式（4 ） 、 （5）所引导的空 间变化之后，其谱范数将会出现差异。 其数学描述如下： 设有两个 2 阶以上的实矩阵 A，B。 = A X m×k + ε m×k ，B = ηm×l ，k , l ≥ m ， X m×k 的非零奇异值的个数 d 小于 m，k，l， ε m×k 。 A 2 = a ， B 2 = b 。证明： E A 2 与
Βιβλιοθήκη Baidu
= Θik {θ1(i ) , θ 2 (i ) ,..., = θ k (i ) } QiT ( X i ( k ) − xi lk T ) (3) (k ) T T Qi ΣiVi 为 X i − x i lk 的奇异值分解， lk 为 k 维全 1 列向量。当我们只对空间前 d 维最大奇异值感兴趣的时候，我们可以取奇异值分解 Qi*Σi*Vi*T ， Qi* 、 Σi* 、 Vi* 分别为 Qi 、 Σi 、 Vi 的前 d 行。这样我们就可以在得到的仿射空间中保留该临域 最突出的 d 维拓扑信息。则式（3 ）转化为： = Θik {θ1(i ) , θ 2 (i ) ,..., = θ k (i ) } Qi*T ( X i ( k ) − xi lk T )
d ≥ 2d e + 1 的欧式空间中去。所以如果我们通过某种手段将一维的时间序列重构 到一个d维的向空间中去， 只要 d ≥ 2d e + 1 ， 则在重构的向空间中我们可以恢复原 系统的所有动力学特征。因此，为了研究一段确定性时间序列的内在规律，许多 学者相继提出了一系列向空间重构的方法[11][12][13]以求取尽可能小的d。当我们求
法有递归图法[7]、辛几何谱法[8]、及DDV（ Delay Vector Variance)方法[9]等。 本文依据确定性系统的高维拓扑特征， 提出了一个新的确定性检验方法。 经 检验该方法对于小数据量高噪声的数据具有良好的判断能力。
1 推断方法
确定性时间序列产生的系统可以描述如下：
(1) X i +1 = f ( X i ) 而通常我们所获得的确定性时间序列往往是被噪声污染过的，则描述如下： = Si +1 f ( Si ) + ε i (2) d d 其中， X i +1 , X i , Si +1 , Si ∈ R ， R 表示d维欧式空间，ε i 为噪声， f 为 C r 映射， C r 表示r阶导数存在。 该系统在一维空间的映射按照时间顺序排列，得到的即为确定性时间序列。 Takens证明了[10]：M是 d e 维流形， ϕ : M → M 是一个光滑的微分同胚，
中d维流形的定义。 d维流形定义：当M是一个Hausdorff拓扑空间，若 M的每一点 p都有一个开临 域 U ⊂ M ，使得 U和 d维欧式空间中的一个开子集是同胚的，则称 M是一个d维拓 扑流形，简称为 d维流形。 由d维流形定义我们可知任何一个 d维的Hausdorff拓扑空间,，其上每一个点 的一个邻域可以通过一个d维的欧式空间描述其全部拓扑信息。所以当我们通过 向空间重构方法，把形如式（1）的 d维确定性系统映射到m维空间得到一个新的 空间 M m 时，该空间的局部拓扑特征仍然可以通过一个 d维的欧式空间描述。同 时，当空间 M m 上两点的两个开临域 U ⊂ M m ，V ⊂ M m ，且 U V= P ≠ ∅ ，存在 可逆映射 ϕ : U → ϕ (U ) ⊂ R d ， φ : V → φ (V ) ⊂ R d 时，则 E = φ −1 ( P) − ϕ −1 ( P) = 0 。 而当我们把一个随机序列向空间重构到m维空间 M m* 后，M m* 的局部拓扑特征显 然不能通过一个 d维的欧式空间描述。
y : M → R ， y 有二阶连续倒数， φ (ϕ , y ) : M → R 2 de +1 ，其中 φ (ϕ , y ) = ( y ( x), y (ϕ ( x)),..., y (ϕ 2 ( x))) ，则 φ (ϕ , y ) 是M到 R 2 de +1 的一个嵌入。
该定理说明一个维数 d e 的流形可以完全展开（无交点）地嵌入到一个
A new method to test the determinism in time series
Abstract: The determinism of financial time series will have a direct impact on the choice of the theoretical framework to study them. The paper provides a methods to test the determinism of nonlinear time series. This method first reconstructs the time series into a high dimensional space. Then the low-dimensional projector of the High-dimensional manifolds is found in a low-dimensional Euclid space. When the projector is reflected back to the High-dimensional space, there are differences between the projector and the High-dimensional manifolds. By comparing the High-dimensional manifolds and the projector reflected back to the High-dimensional space ,we can find the determinism of the time series to be studied. Key words: nonlinear; determinism; financial time series 金融时间序列的研究一直被研究者所重视。 而关于一些金融时间序列的产生 机理仍然莫衷一是。对于一段金融时间序列究竟为线性序列还是非线性序列、 产 生于随机过程还是动力学系统的判断， 将直接影响到对该时间序列采用的分析方 法以及基于该方法所得到的结论。 这就使得对金融时间序列本质特征的判断尤为 重要。 由于时间序列研究作为一种普适性的研究方法在各科学领域被广泛的应用， 对时间序列的本质特征的研判也产生了一系列行之有效的方法。 对一段时间序列 的本质特征进行研究， 一般分为两步进行。 首先， 要对其线性与非线性进行判断。 目前在检验时间序列是否具有非线性特性时， 通常有两类方法： 一类是直接识别 时间序列数据中的非线性动力学特性； 一类是通过检验数据中的非线性成分， 间 接地判断其非线性动力学特性。在直接方法中，己有很多有效的方法，如计算关 联维数、Lyapunov指数和复杂度等[1] [2][3]，并已得到很多成功的应用，但这些方 法的可靠性依赖于尽可能长的数据，且易受测量噪声的干扰[4]。1992 年Thelier 等人首先提出了一种基于观测时间序列统计性质的 Surrogate Data(SD) 方法[5]。随 后，M . Barahona 等人[6]于 1996 年给出Volterra-wiener-Korenberg(VWK) 模型的检 验法。 尽管只采用间接方法还不能给出引起时间序列非线性的内在机制及本质特 征，但是当它们与混沌时间序列分析方法如关联维数、Lyapunov指数、非线性预 报误差等算法相结合使用时， 就可以使两方面的潜在能力得以充分发挥， 为检验 时间序列非线性的产生机理提供客观依据。 在确定一段时间序列产生于非线性系 统的基础之上， 就需要对该非线性时间序列究竟是生成于随机过程还是确定性过 程（产生于动力学系统）进行研究。近期方法中对时间序列确定性检验的主要方
度上近似相同分布的，所以该子空间的奇异值近似相等。 设给定的一个流形空间的样本点集为 {x1 , x2 ,...., xn } ， xi ∈ R m 。 xi 点的临域空 间可以用其k个临近点表示： X i ( k ) = {xi1 , xi 2 ,...., xik } 。设 xi 为该临域的中心点，则 该邻域在切空间的仿射坐标可以用下式表示：