计算方法(8) 第五章 插值法

' i
(
xi
)

n j0
1
(
)
xi x j
( ji)
i ( x)应满足条件： (1)i ( x)应是2n 1次多项式；
(2)
'i ( x j )

ij

1 0
i j i j
i ( x j ) 0 (i，j 0，1，2，L ，n)
设

i
(
x
)

(cx

d
)l

H 2n1 H '2n1
( (
xi xi
) )

yi y 'i
i 0，1，2，L n
一、一般情形的 Hermite插值问题
用Lagrange型插值基函数法
设Hermite插值多项式为
n
n
H2n1( x) i ( x) yi i ( x) y 'i
i0
i0
)

1
(1)1( x)为四次多项式,且满足
1(0) 0,1(1) 1,1(2) 0,1' (0) 0,1' (1) 0
设1( x)

l1( x)( x

0)(ax

b)

(x (1
0)( x 2) 0)(1 2)
(x

0)(ax

b)
由 1(1) 1,1' (1) 0 1( x) x2( x 2)2
(2n 2)!
代入R2n1( x)的表达式即得到
R2n1( x)
f（2n2）( )
(2n 2)!
n
( x xi )2
i0
例 在节点x0和x1上已知y0 , y1和 m0 , m1。 试构造两点三次Hermite插值多项式H（3 x）满足条件

H（3 xi） H （ '3 xi）
Hermite插值的一般提法如下： 给出函数f ( x)在n 1个互异节点上的函数值及若干
导数值，设插值节点为x0 , x1 , x2 , xn。给出 f ( x0 ), f '( x0 ),K , f (m0 ) ( x0 )
f ( x1 ), f '( x1 ),K , f (m1 )( x1 )

0
由条件(2)可列出方程组
i ( xi ) (axi b)li2 ( xi ) 1

' i
( xi )

ali2 Hale Waihona Puke Baidu xi )
2(axi

b)li
( xi )li'( xi )

0
Q li ( xi ) 1, axi b 1, a 2li'( xi ) 0
Q li ( xi ) 1, cxi d 0, c 1
解出
c 1 d xi
于是求出 i ( x) ( x xi )li2( x)
代入i ( x)和i ( x)经整理得到
H2n1( x)
n
[(1 2( x xi )l 'i ( xi ) yi ) ( x xi ) y'i ]li2( x) i0
l
' 1
(
x
)

x1
1
x0
代入后得到
0
(
x)
（1

2
x x1

x0 x0
）（
x x0
x1 x1
）2， 0
(
x)
（x

x0）（
x x0

x1 x1
）2
1
(
x)
（1

2
x x0
x1 x1
）（
x x1

x0 x0
）2， 1 (
x)
（x

x1）（
x x1
x0 x0
1 4
x2(
x
1)2
(3)1( x)为四次多项式,且满足 1(0) 0, 1(1) 0, 1(2) 0, 1,(0) 0, 1,(1) 1
设1( x) ( x 0)2( x 1)( x 2)
5.4 埃尔米特(Hermite)插值
Hermite插值的提出
假设函数y=f(x)是 在[a,b]上有一定光滑性的函数, 在[a,b] 上有n+1个互异点xo…xn, f(x)在这些点上取值 yo…...yn.求一个确定的函数p(x)在上面n+1个点上满 足p(xi)=yi i=0,1,…,n.这是最简单的插值问题,如果除 了知道f(x)在插值节点上的取值外,还知道f(x)在插值 节点xi上的 1≤mi≤n阶导数，如何来构造插值函数呢? Hermite插值就是既满足插值节点xi的函数值条件又 满足微商条件的插值函数。
一、一般情形的 Hermite插值问题
Hermite插值中，最基本而重要的情形是只要求 一阶导数的条件。给出n 1个互异节点x0 , x1 L , xn上 的函数值和导数值
yi f ( xi )和y 'i f '( xi ) (i 0,1, 2,L , n) 构造不低于2n 1次插值多项式H2n1( x)，要求满足 插值条件
）2
R3 ( x)
f（4）( )
4!
1
( x xi )2
i0
1
R3 ( x)

4!
max
x0 x x1
f（4）( ) max x0 x x1
1
( x xi )2
i0

1 4!
h 4 2
max
x0 x x1
f（4）( )
其中h x1 x0
1( x) （1 （ 2 x x1）l（1 x1））l 2（1 x ）
0 ( x) （x x0）l 2（0 x ）
1( x) （x x1）l 2（1 x ）
其中
l0( x)
x x1 ， x0 x1
l
' 0
(
x
)

x0
1
x1
l1( x)

x x0 ， x1 x0
Q y0 y0' 0
H4 ( x) 1( x) y1 2( x) y2 1( x) y1'
H4 ( x) 0 ( x) y0 1( x) y1 2 ( x) y2 0 ( x) y0, 1( x) y1, 0 ( x0 ) 1,1( x0 ) 0,2( x0 ) 0, 0( x0 ) 0, 1( x0 ) 0
二、特出情形的Hermite插值问题
例：试构造一个不高于4次的Hermite插值多项式
H4( x),使其满足条件
H4(0) 0, H4(1) 1, H4(2) 1,
H
' 4
(0)

0,
H
' 4
(1)

1,
解：用Lagrange插值基函数法构造H4( x),设
H4( x) 0( x) y0 1( x) y1 2( x) y2 0( x) y0' 1( x) y1'
2 i
(
x
)
由条件(2)可列出方程组

i ( xi ) (cxi d )li2( xi ) 0 'i ( xi ) cli2( xi ) 2(cxi d )li ( xi )li'( xi ) 1
由条件(2)可列出方程组

i ( xi ) (cxi d )li2( xi ) 0 'i ( xi ) cli2( xi ) 2(cxi d )li ( xi )li'( xi ) 1
yi mi
i 0,1 i 0,1
解： H（3 x ） 0 ( x) y0 1( x) y1 0 ( x)m0 1( x)m1
由Hermite插值基函数的一般形式，用于两点三次H（3 x）
上，有 0 ( x) （1 （ 2 x x0）l（0 x0））l 2（0 x ）
使其满足插值条件

H2n1 H '2n1
( (
xi xi
) )

yi y 'i
i 0，1，2，L n
n
n
H2n1( x j ) i ( x j ) yi i ( x j ) y 'i y j
i0
i0
n
n
H '2n1( x j ) 'i ( x j ) yi 'i ( x j ) y 'i y ' j
Hermite插值误差分析
设f ( x) C[a, b]，且在（a, b）上存在 2n 2次
导数，对于n 1个互异节点上的Hermite插值函数， 有如下误差估计式
R2n1( x)
f ( x) H2n1( x)
f (2n2) ( )
(2n 2)!
n
( x xi )2
n j0
( x xj ) xi x j
( ji)
设

i
(
x
)

(ax

b)l
2 i
(
x)
由条件(2)可列出方程组
i ( xi ) (axi b)li2 ( xi ) 1

' i
( xi )

ali2 ( xi )
2(axi

b)li
( xi )li'( xi )
F (t )关于t有n 2个零点：x0，x1，L ，xn，x 。
但F '(t )关于t有2n 2个零点，由Rolle(罗尔)定理
必存在点 （a, b），使
F（2n2）( ) f（2n2）( ) 0 K ( x)(2n 2)! 0
由此求出K（x） f（2n2）( )
(
x
)
y0

1' ( x) y1


' 2
(
x
)
y2


, 0
(
x)
y0,


, 1
(
x
)
y1,

' 0
(
x0
)

0,
1'
(
x0
)

0,

' 2
(
x0
)

0,

, 0
(
x0
)

1,
1,
(
x0
)

0

' 0
(
x1
)

0,1'
(
x1
)

0,

' 2
(
x1
)

0,

, 0
(
x1
)

0,

, 1
(
x1
i0
其中是介于x0 , x1,L , xn中最小数和最大数之间。
证明：因R2n1( x)有n 1个零点x0 , x1,L , xn，故设
R2n1( x) K（x）( x x0 )2( x x1 )2 L ( x xn )2
构造以t为参变量的辅助函数F (t)
n
F (t ) f (t ) H2n1(t ) K ( x) (t xi )2 i0
0 ( x1 ) 0,1( x1 ) 1,2 ( x1 ) 0, 0 ( x1 ) 0, 1( x1 ) 0
0 ( x2 ) 0,1( x2 ) 0,2 ( x2 ) 1, 0 ( x2 ) 0, 1( x2 ) 0
H
' 4
(
x
)


' 0
解出ab

2li' ( 1 2
xi ) xi li'
(
xi
)
所以 i ( x) (1 2( x xi )li'( xi )) li2 ( xi )
(i 0,1, 2,L n)
其中
li (x)
n j0
( x x j ), xi x j
( ji)
l
i0
i0
i ( x)应满足条件：
(1) i ( x)应是2n 1次多项式；
(2)
i(xj )
ij

1 0
i j i j
'i ( x j ) 0 (i，j 0，1，2，L ，n)
i ( x)应满足条件： (1)i ( x)应是2n 1次多项式；
1
(2) 'i ( x j ) ij 0
得 a2abb10
a 1, b 2
(2)2( x)为四次多项式,且满足

2
(0)

0,

2
(1)

0,2
(2)

1,2'
(0)

0,

' 2
(1)

0
设
2
(
x
)


l22
(
x)


(
(x (2

0)( x 0)(2
1) 1)
)2
由2(2) 1, l2(2) 1得 1,2( x)
KKKKKKKKKKK
f ( xn ), f '( xn ),K , f (mn ) ( xn ) 其中mi (i 0,1, 2,L , n)是正整数。
n
以上总共有N n 1 mi个插值条件，要求构 i0
造不低于N 1次插值函数H（x）满足以上插值条件。
例 求一个四次插值多项式 H（x），使 x 0 时，H（0） 1，H（' 0） 2； x 1 时，H（1） 0，H（' 1） 10，H（'' 1） 40
i j i j
i ( x j ) 0 (i，j 0，1，2，L ，n)
i ( x)应满足条件： (1) i ( x)应是2n 1次多项式；
(2)
i(xj )

ij

1 0
i j i j
'i ( x j ) 0 (i，j 0，1，2，L ，n)
利用Lagrange插值基函数li ( x)