垂径定理及其推论导学案

B

A

垂径定理及其推论导学案

班级 姓名 学号

一、 学习目标：

①研究圆的对称性,掌握垂径定理及其推论；

②学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算等问题； ③掌握常用辅助线的作法——作弦心距。

①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； ②向学生渗透“由特殊到一般”的基本思想方法。

二、 学习过程： （一）知识准备

1、已知在RT △ABC 中 ∠C=90°，AB=13，BC=5求AC

2、圆是 对称图形，任何一条 都是它的对称轴。 (二)探究活动

如图，AB 是⊙O 的一条弦，做直径CD ，使

CD ⊥AB ，垂足为E ． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？

2、垂径定理：垂直于弦的直径 ；并且 弦所对的两条弧。 符号语言：∵AB 是⊙O 的直径

又∵CD AB ⊥

∴

3、推论: 弦（ ）的直径垂直于弦，并且 弦所对的两条弧 符号语言：∵AB 是⊙O 的直径

又∵DE CE =

∴

C D

O

B

A E B

O D

A

C

R

（三）综合应用

1．运用定理进行计算：

例1：如图3，在⊙O 中，若弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径。

分析：因为已知“圆心O 到AB 的距离为3cm ”，所以要作辅助线OE ⊥AB ；因为要求半径，所以还要连结OA 。 解：

变式：在图3中，若⊙O 的半径为10cm ，OE =3cm ，则AB = 。

例2、你知道赵州桥吗?它是1400多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m ，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？（结果保留小数点后一位）

2．知识综合应用：

1．如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm .求⊙O 的半径。 2．如图，在⊙O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，AB OD ⊥于D ，AC OE ⊥于E . 求证：四边形ADOE 为正方形。

E

O

D

C

B

A

C B

A

O

（四）达标检测，反馈效果

1在半径为10的圆中,圆心O到弦AB的距离OC为6,则弦AB的

长为( )

A.6

B.8

C.10

D.16

2、如图9，AB为⊙O的直径，弦CD⊥ AB，垂足为点E，连结OC，若OC＝5，

CD＝8，则AE＝( )

A．1 B．2 C．3 D．4

3、如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM

A.2

B.3

C.4

D.5

3.如图，AB是⊙O的弦，半径OA＝2，∠AOB＝120°，则弦AB

（A）2

2（B）3

2（C）5（D）5

3

4．如图所示，两个同心圆O，大圆的弦AB交小圆于C、D。求证：BD

AC

（五）反思静悟，体会分享

1、本节课你学到了哪些数学知识？

①定理的三种基本图形——如图8、9、10。

②计算中三个量的关系——如图11，。

③证明中常用的辅助线——

（图8）（图9）（图10）（图11）O

A B

C

D

E

O

A B

D

E

O

A B

E

a

d

r O

A B

·

A

O

M

B

B

O

A

2、在学习利用垂径定理解决问题的过程中，你掌握了哪些数学方法？这些方法中你又用到了哪些数学思想？

（六）课后作业

1.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，

则⊙O的直径为（）

A．8 B．10 C．16 D．20

2.如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

3.在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD,AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是（）．

A.7cm

B.1cm

C.7cm 或4cm

D.7cm或1cm

4．如图，一个圆弧形桥拱，其跨度AB为10米，拱高CD为1米.求桥拱的半径.

5.某机械传动装置在静止时如图，连杆PB与点B运动所形成的⊙O交于点A，测得PA=4cm，AB=6cm，⊙O半径为5cm，求点P到圆心O的距离．

6．如图，在⊙O中，AB是弦，C为的中点，若3

BC，O到AB的距离

2

为1.求⊙O的半径.