有关函数最值问题的十二种解法

本稿件适合高三高考复习用

有关函数最值问题

的十二种解题方法与策略

贵州省龙里中学高级教师 洪其强（551200）

一、消元法：在已知条件等式下，求某些二元函数(,)f x y 的最值时，可利用条件式消去一个参量，从而将二元函数(,)f x y 化为在给定区间上求一元函数的最值问题。

例1、已知

x 、y R ∈且223260x y x +-=，求222x y +的值域。 解：由223260x y x +-=得222360y x x =-+≥，即02x ≤≤。

222

2392262()22x y x x x +=-+=--+ ∴当32

x =时，222x y +取得最大值92；当0x =时，222x y +取得最小值0。即222x y +的值域为90,2

⎡⎤⎢⎥⎣⎦

二、判别式法：对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数()f x 出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0∆≥来求出()f x 的最值。

例2、求函数22()1x f x x x =

++的最值。 解：由22()1

x f x x x =++得 []2()()2()0f x x f x x f x +-+=，

因为x R ∈，所以0∆≥，即[]22()24()0f x f x --≥，解得22()3

f x -≤≤。 因此()f x 的最大值是23

，最小值是－2。 三、配方法：对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解。

例3、求2()234x x f x +=-在区间[]1,0-内的最值。

解：配方得 2224()2343(2)33

x x x f x +=-=--+ []1,0x ∈- ，所以 1212x ≤≤，从而当223x =即22log 3x =时，()f x 取得最大值43

；当21x =即0x =时()f x 取得最小值1。

四、辅助角公式：如果函数经过适当变形化为

()sin cos f x a x b x =+(a 、b 均为常数），则可用辅助角公式

sin cos arctan )b a x b x x a

+=+来求函数()f x 的最值。 例4、求函数1sin ()2cos x f x x

+=+的值域。 解：由1sin ()2cos x f x x

+=+化为 sin ()cos 12()0x f x x f x -+-=，即

[]arctan ()2()1x f x f x -=-，从而

2()1f x -≤243()4()00()3f x f x f x ⇔-≤⇔≤≤

。 因此()f x 的值域为40,3

⎡⎤⎢⎥⎣⎦。 五、三角代换法：

例5、求函数()f x x =

解：由()f x x x ==2sin x θ=+，其中,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则

()2sin cos 2)4

f x πθθθ=++=+，

因为,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦

，所以3,444πππθ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，从而sin()4πθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因此

()1,2f x ⎡∈⎣。

六、基本不等式法：运用基本不等式求函数的最值时要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件。 例6、求函数2

()f x =的值域。

解：2

()f x ==

4≥35422≥-=。=，即0x =时，等号成立，所以5

(),2f x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭

七、求导法：

例7、用总长14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少时，容器的容积最大？并求出它的最大容积．

解：设容器底面短边长为x m 容器容积为y m 3，则另一边为(x+0.5)m,高为

14.844(0.5) 3.224x x h x --+=

=- ∵⎩⎨⎧>>-0

022.3x x ∴0

令y’=-6x 2+4.4x+1.6=0 ,即15x 2-11x-4=0，解得

x 1=1，x 2=-15

4(舍) 在(0,16)内只有在x=1处使y’=0,若x 接近0或接近1.6 m 时，y 接近0.故当x=1，y 最大=1.8 当高为

3.2-2×1=1.2 m 时容器最大为1.8 m 3。

八、函数的单调性法：在确定函数在指定区间上的最值时，一定要考虑函数在已知区间上的单调情况。 例8、设函数()f x 是奇函数，对任意x 、y R ∈均有关系()()()f x y f x f y +=+，若x 0>时，()0f x <且(1)2f =-。求()f x 在[]3,3-上的最大值和最小值。

解：先确定()f x 在[]3,3-上的单调性，设任意1x 、[]23,3x ∈-且12x x <，则210x x ->。

∴ 212121()()()()()0f x f x f x f x f x x -=+-=-<

即21()()f x f x <。

∴()f x 在[]3,3-上是减函数。

因此()f x 的最大值是

(3)(3)(21)f f f -=-=-+=[](1)(1)(1)6f f f -++=

()f x 的最小值是(3)3(1)6f f ==- 九、利用函数()(0)k f x x k x =+

>在区间](,k -∞-、[,)k +∞上递增，在区间[,0)k -、](0,k 上递减来解

例9、求函数2()sin sin f x x x =+

的值域。 解：因为[)(]sin 1,00,1x ∈-，易证()f x 在[)1,0-或(]0,1上都是减函数，所以当sin 1x =-时，()f x 取得最大值－3；所以当sin 1x =时，()f x 取得最小值3。

(][)(),33,f x ∈-∞-+∞。

十、数形结合法：数形结合法是解决最值和值域问题的重要方法，在运用中要实现问题的转化，充分利用图形的直观性。

1、利用两点的距离公式及点到直线的距离公式是解决某些最值问题的一种重要方法。