3、正弦交流电路
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= - 4.07 + j3.07
= 5.1 /143°
3-j4 F1 = F2 10 /135°
=
5 /-53.1 ° 10 /135°
= 0.5 /-188.1 °
= 0.5 /171.9 ° 輻角應在主值範圍內
正弦量的概念
一、正弦量
電路中按正弦規律變化的電壓或電流，統稱為正弦 量。 對正弦量的描述，可以用sine，也可以用cosine。 用相量法分析時，不要兩者同時混用。本講採用 cosine。
F
a b
2
2
輻角
b arctan a
3、指數形式 根據歐拉公式
e j cos j sin
F F (cos j sin )
F Fe
4、極座標形式
F =|F| /θ 3+j4= 5 /53.1°
j
10 /30 ° =10(cos30 °+ jsin30 °)
虛軸等於把實軸+1乘以j而得到的。
例：設F1=3-j4，F2=10 /135°
求 : F1+ F2 和 F1/ F2 。
解：求複數的代數和用代數形式：
F2 = 10 /135°
=10（cos135°+jsin135°)
= -7.07 + j7.07
F1 + F2 = ( 3 - j 4 ) + ( -7.07 + j 7.07 )
-3+j4= 5 /-53.1 ° =5 /126.9 °
×
=8.66+j5
二、複數的運算
1、加法 用代數形式進行， 設 F1 a1 jb1
F2 a2 jb2
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 )
(a1 a2 ) j (b1 b2 )
1、代數形式
F = a + jb
j
1
為虛單位 Re[F ] = a
b
+j F
複數F 的實部
複數F 的虛部 Im[F ] = b 複數 F 在複平面上可以用一條從 原點O 指向F 對應座標點的有向 線段表示。
O
a
+1
2、三角形式
+j
F F (cos j sin )
F
b
O a
模
+1
三、旋轉因數
e
j
1/
是一個模等於1，輻角為θ的複數。
任意複數A乘以e jθ
等於把複數A逆時針旋轉一個角度θ， 而A的模值不變。
e
j
2
j
e
j
2
-j
e
j
-1
因此，“±j”和“-1”都可以看成旋轉因數。
例如 一個複數乘以j， 等於把該複數逆時針旋轉π/2， 一個複數除以j， 等於把該複數乘以-j， 等於把它順時針旋轉π/2 。
常數，大寫字母
常數，大寫字母加 下標m再加點 常數，大寫字母加點
5 2 / 30 A
電路定律的相量形式
一、基爾霍夫定律
正弦電流電路中的各支路電流和支路電壓都是同 頻正弦量，所以可以用相量法將KCL和KVL轉換為 相量形式。
1、基爾霍夫電流定律
對電路中任一點，根據KCL有
Σi=0
其相量形式為 I 0 2、基爾霍夫電壓定律 對電路任一回路，根據KVL有 Σ u = 0 其相量形式為
φ = 0，稱u,i 同相；
φ = π/2，稱u，i 正交；
φ = π ，稱u，i 反相。
例：i = 10 sin(314t+30°) A u= 5 cos(314t-150°) V 求電壓和電流的相位差。
30 (150) 180
i = 10 sin(314t+30°)
= 10 cos(314t+30°-90°)
幾何意義 +j
F1 F2
F1
F2
O
+1
2、減法 用代數形式進行， 設 F1 a1 jb1
F2 a2 jb2
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 )
幾何意義
+j
(a1 a2 ) j (b1 b2 )
F1 F2
F1
F1 F2
F2
3、正弦交流電路
考試點一
• 1、掌握正弦量的三要素和有效值 • 2、掌握電感、電容元件電流電壓關係的 相量形式及基爾霍夫定律的相量形式 • 3、掌握阻抗、導納、有功功率、無功功 率、視在功率和功率因數的概念 • 4、熟練掌握正弦電路分析的相量方法 • 5、瞭解頻率特性的概念
預備知識——複數
一、複數的形式
= 10 cos(314t-60°)
60 (150) 90
正弦量相應符號的正確表示 暫態值運算式 i = 10 cos(314 t + 30°)A 最大值 Im= 10A 變數，小寫字母
常數，大寫字母加下標m
10 A 有效值 I = 2
最大值相量 I m 10 /30 A 有效值相量 I 10 / 30 2
二、正弦量的三要素
i + 暫態值運算式： u -
i I m cos( t i )
1、振幅（最大值） Im
正弦量在整個振盪過程中達到的最大值。 i 2、角頻率ω Im 反映正弦量變化的快慢 2π 單位 rad/s O ωT=2π π ω=2πf i f=1/T 頻率f 的單位為赫茲（Hz） 週期T的單位為秒（s） 工頻，即電力標準頻率：f =50Hz, T = 0.02s ω =314 rad/s
I I m / 2 0.707 I m
Im I 2
Um U 2 Em E 2
四、同頻率正弦量相位的比較
i I m cos( t i )
u U m cos(t u )
相位差 u i 相位差也是在主值範圍內取值。 φ > 0，稱u超前i； φ < 0，稱u落後i；
O +1
F2
3、乘法 用極座標形式比較方便 設 F | F |
1 1
1
F2 | F2 | 2
F 1F 2 F 1 1 F 2 2
F 1 F 2 / 1 2
4、除法
F1 F2
| F1 | 1
| F2 | 2
F1 F2
/ 1 2
2π
ωt
3、初相位（角） i 主值範圍內取值
i
Im 2π O
i 180
i
π
2π
ωt
(t i ) 稱為正弦量的相位，或稱相角。
三、正弦量的有效值
I
I
2
def
1 T
T 0ef
1 T
Im2 cos2 (t i )dt
1 cos[ 2(t i )] cos (t i ) 2
= 5.1 /143°
3-j4 F1 = F2 10 /135°
=
5 /-53.1 ° 10 /135°
= 0.5 /-188.1 °
= 0.5 /171.9 ° 輻角應在主值範圍內
正弦量的概念
一、正弦量
電路中按正弦規律變化的電壓或電流，統稱為正弦 量。 對正弦量的描述，可以用sine，也可以用cosine。 用相量法分析時，不要兩者同時混用。本講採用 cosine。
F
a b
2
2
輻角
b arctan a
3、指數形式 根據歐拉公式
e j cos j sin
F F (cos j sin )
F Fe
4、極座標形式
F =|F| /θ 3+j4= 5 /53.1°
j
10 /30 ° =10(cos30 °+ jsin30 °)
虛軸等於把實軸+1乘以j而得到的。
例：設F1=3-j4，F2=10 /135°
求 : F1+ F2 和 F1/ F2 。
解：求複數的代數和用代數形式：
F2 = 10 /135°
=10（cos135°+jsin135°)
= -7.07 + j7.07
F1 + F2 = ( 3 - j 4 ) + ( -7.07 + j 7.07 )
-3+j4= 5 /-53.1 ° =5 /126.9 °
×
=8.66+j5
二、複數的運算
1、加法 用代數形式進行， 設 F1 a1 jb1
F2 a2 jb2
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 )
(a1 a2 ) j (b1 b2 )
1、代數形式
F = a + jb
j
1
為虛單位 Re[F ] = a
b
+j F
複數F 的實部
複數F 的虛部 Im[F ] = b 複數 F 在複平面上可以用一條從 原點O 指向F 對應座標點的有向 線段表示。
O
a
+1
2、三角形式
+j
F F (cos j sin )
F
b
O a
模
+1
三、旋轉因數
e
j
1/
是一個模等於1，輻角為θ的複數。
任意複數A乘以e jθ
等於把複數A逆時針旋轉一個角度θ， 而A的模值不變。
e
j
2
j
e
j
2
-j
e
j
-1
因此，“±j”和“-1”都可以看成旋轉因數。
例如 一個複數乘以j， 等於把該複數逆時針旋轉π/2， 一個複數除以j， 等於把該複數乘以-j， 等於把它順時針旋轉π/2 。
常數，大寫字母
常數，大寫字母加 下標m再加點 常數，大寫字母加點
5 2 / 30 A
電路定律的相量形式
一、基爾霍夫定律
正弦電流電路中的各支路電流和支路電壓都是同 頻正弦量，所以可以用相量法將KCL和KVL轉換為 相量形式。
1、基爾霍夫電流定律
對電路中任一點，根據KCL有
Σi=0
其相量形式為 I 0 2、基爾霍夫電壓定律 對電路任一回路，根據KVL有 Σ u = 0 其相量形式為
φ = 0，稱u,i 同相；
φ = π/2，稱u，i 正交；
φ = π ，稱u，i 反相。
例：i = 10 sin(314t+30°) A u= 5 cos(314t-150°) V 求電壓和電流的相位差。
30 (150) 180
i = 10 sin(314t+30°)
= 10 cos(314t+30°-90°)
幾何意義 +j
F1 F2
F1
F2
O
+1
2、減法 用代數形式進行， 設 F1 a1 jb1
F2 a2 jb2
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 )
幾何意義
+j
(a1 a2 ) j (b1 b2 )
F1 F2
F1
F1 F2
F2
3、正弦交流電路
考試點一
• 1、掌握正弦量的三要素和有效值 • 2、掌握電感、電容元件電流電壓關係的 相量形式及基爾霍夫定律的相量形式 • 3、掌握阻抗、導納、有功功率、無功功 率、視在功率和功率因數的概念 • 4、熟練掌握正弦電路分析的相量方法 • 5、瞭解頻率特性的概念
預備知識——複數
一、複數的形式
= 10 cos(314t-60°)
60 (150) 90
正弦量相應符號的正確表示 暫態值運算式 i = 10 cos(314 t + 30°)A 最大值 Im= 10A 變數，小寫字母
常數，大寫字母加下標m
10 A 有效值 I = 2
最大值相量 I m 10 /30 A 有效值相量 I 10 / 30 2
二、正弦量的三要素
i + 暫態值運算式： u -
i I m cos( t i )
1、振幅（最大值） Im
正弦量在整個振盪過程中達到的最大值。 i 2、角頻率ω Im 反映正弦量變化的快慢 2π 單位 rad/s O ωT=2π π ω=2πf i f=1/T 頻率f 的單位為赫茲（Hz） 週期T的單位為秒（s） 工頻，即電力標準頻率：f =50Hz, T = 0.02s ω =314 rad/s
I I m / 2 0.707 I m
Im I 2
Um U 2 Em E 2
四、同頻率正弦量相位的比較
i I m cos( t i )
u U m cos(t u )
相位差 u i 相位差也是在主值範圍內取值。 φ > 0，稱u超前i； φ < 0，稱u落後i；
O +1
F2
3、乘法 用極座標形式比較方便 設 F | F |
1 1
1
F2 | F2 | 2
F 1F 2 F 1 1 F 2 2
F 1 F 2 / 1 2
4、除法
F1 F2
| F1 | 1
| F2 | 2
F1 F2
/ 1 2
2π
ωt
3、初相位（角） i 主值範圍內取值
i
Im 2π O
i 180
i
π
2π
ωt
(t i ) 稱為正弦量的相位，或稱相角。
三、正弦量的有效值
I
I
2
def
1 T
T 0ef
1 T
Im2 cos2 (t i )dt
1 cos[ 2(t i )] cos (t i ) 2