分形理论及岩石破碎的分形特征

第22卷第1期武汉冶金科技大学学报(自然科学版)

Vol.22,No.11999年3月J.of Wuhan Y ejin Uni.of Sci.&T ech.(Natural Science Edition )

Mar.,1999

收稿日期:1998-11-17

作者简介:盛建龙(1964-),武汉冶金科技大学资源工程系,副教授.

文章编号:1007-5445(1999)01-0006-03分形理论及岩石破碎的分形特征

盛建龙1　刘新波1　朱瑞赓2

(1.武汉冶金科技大学资源工程系,武汉,430081;2.武汉工业大学建筑学院,武汉,430070)

摘要:介绍了分形的基本概念,分析了4种分维数的确定方法,进而探讨了岩石破碎过程中的分形特征。关键词:分形;分维;岩石破碎

中图分类号:O18;P616.3 文献标识码:A

分形几何(fractal geometry )创立于本世纪70年代,是由法国数学家曼德尔布罗特(B.B.Man 2delbrot )提出的。分形(fractal )一词是B.B.Mandel 2brot 从拉丁文fractus (断裂)创造的新词[1],意思是破碎、细片、分数、分级,等等。分形几何学主要研究一些具有自相似性(self 2similar )的不规则曲线和形状,具有自反演性(self 2reverse )的不规则图形以及具有自平方性(self 2squaring )的分形变换和自仿射(self 2affine )分形集,等等。而自相似性的不规则曲线和形状是分形几何研究的主体内容[2]。因此,分形几何学的出现,为更准确地研究自然现象的内在机理提供了一种新方法。

近年来,分形几何被广泛地应用于物理学、生物学、地理学、冶金学、材料学、计算机图形学等领域。从几何学的角度来研究不可积系统即耗散结构图形或浑沌吸引子图形的自相似性,并把复杂多变的自然现象看作是无限嵌套层次的精细结构[3],使分形理论与耗散结构理论、协同论、混沌理论、渗透理论等这些与非线形复杂现象有关的理论成为新的思想和理论模型。

1　分形与分维

分维(fractal dimension )是分形几何学定量描

述分形集合特征和几何复杂程度的参数。经典的欧几里德几何的研究对象是极规则的几何图形,是拓扑学意义下的整数维(记为D T )。它反映的是确定一个点在空间的位置所需独立坐标的数目或独立方向的数目。在经典几何学中,一个点是

零维的,一条(光滑)曲线是一维的,一个曲面是二维的。豪斯道夫(Hausdorff )于1919年引入维数概念,以Hausdoff 度为基础,提出了维数可以是分数,即分数维。下面简要介绍4种常见的分维定义。1.1　相似性维首先以Von K och 曲线为例,通过曲线的构造过程来分析相似维数。如图1所示,起始于n =0的单位长度线段称为Von K och 曲线的零阶生成;将直线段中间的1/3用边长为1/3直线段长的等边三角形的另外两段取代,得到n =1的Von K och 曲线生成元,称为第一阶生成;把第一阶生成的4个直线段类似于第一阶生成进行变形,就得到Von K och 曲线的第二阶生成;类似地无穷变形下

去,最后得到的曲线(n →∞)就是Von K och 曲线

。

图1　V on K och 曲线的构造过程

由Von K och 曲线可以看出,每一折线与整

个折线具有严格的自相似性,因此Von K och曲线是分形曲线。其维数计算方法如下:设一分形曲线的生成元是一条由N条等长的直线段接成的折线段,若生成元两端的距离与这些直线段的长度之比为1/r(r为相似比),则该分形曲线的维数为

D=

lg N

lg(1/r)

(1)

Von K och曲线是由4个与总体相似的“1/4”部分组成,其比例系数为1/3,因此,其分形维数为n=lg4/lg(3)=1.2618。

1.2　容量维

设F是平面上的一个有界点集,找一个矩形包含F点集,并将这个矩形分割成若干个边长为ε的小方格,数出包含有F中点的小方格数目N (ε),则F点集的容量维定义为

D c(F)=lim

ε→0ln N(ε)

ln(1/ε)

(2)

1.3　信息维

容量维考虑的是包含有F中点的方格数目,没有反映F点集在平面上分布疏密的信息。为了反映点集在分布上的信息,可定义如下信息维:

D f(F)=lim

ε→0

I(ε)

ln(1/ε)

(3)

其中:

I(ε)=6N(ε)i=1p i ln1p i(4)式中:p i———F中的点落在第i方格中的概率。当p i=1/N(ε)时,即所有的方格以相同的概率包含F中的点,I(ε)=ln N(ε),因此,D c=D f。可见,信息维是容量维的推广。

1.4　关联维

关联维数可以从实验中测定,用来解决复杂的分形问题。设已测得的数据为x1,x2,…,x n,…,其中x i是第i时刻的实测值(称为时间序列)。如果将向量(x1,x2,…,x m)记为y1,(x2, x3,…,x m+1)记为y2,便得出数据向量(y1,y2,…,y k,…)。考虑到y i与y j的间距r ij=|y i-y j|,对于给定的正数ε,如果r ij<ε,则认为y i与y j有很强的关联性。记录满足r ij<ε的数目,它与总数目之比就是关联函数C(ε)。由此,可定义关联维:

D r(F)=lim

ε→0ln C(ε)

ε(5)

能否求出D r(F),关键在于ε的取值范围。若ε取得很大,则C(ε)=1;ε很小,则使r ij<ε的数目为零,相对总数而言,可忽略不计,从而C (ε)=0。通过作出ln C(ε)和lnε的关系曲线,取其直线部分的斜率,即为所求的关联维数。

2　岩石破碎过程中的分形特征岩石在爆破或机械作用下,虽破碎成块度不同、形状各异的石块,但从宏观来看,至少存在一个近似三角形的面。如果从几何角度的三角形的变化来模拟岩石的破碎过程,可以看到,岩石在受爆破、冲击等外力作用后,由一个大三角形石块破碎成几个近似为小三角形的石块,部分石块再进一步破碎成更小的三角形石块,反复在外力作用下,依此类推,将得到更小、更多的破碎块。在这个变化过程中形成的不同大小石块的整体图形与局部图形具有自相似性,局部是整体的缩影,即具有分形特征。

通过Sierpinski地毯的构造过程来模拟的情况,如图2所示。以一个正三角形为源多边形,在其中挖去一个内含的最大的正三角形,再在剩余的三角形中挖去各自内含的最大的三角形,依此类推,得到无数个三角形碎块。由图2(c)可知,源三角形中含有9(即N)个小三角形,小三角形边长为原来的1/4(即1/r)

。

图2　分形模拟岩石破碎过程

根据上述相似维的定义,图2的分形维数为

D=

ln9

ln(1/4)=

1.5849(6) 根据谢和平的实验分析结果[2],在某一平面上岩石破碎过程的分形维数可能为

D∈[1.5849,1.8928](7)其体积分形维数为

D∈[2.0,2.7268](8) 实际上,岩石由整体破碎为碎块过程中,表现出具有自相似性特征的分形分布。设岩石碎块的

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