简单几何体的外接球与内切球问题

简单几何体的外接球与内切球问题

定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。

2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。

3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。

4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。

5、体积分割是求内切球半径的通用做法。 一、 直棱柱的外接球 1、

长方体的外接球：

长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对

角线长l 即2

2

22c b a R ++=

2、 正方体的外接球：

正方体的棱长为a ，则正方体的体对角线为a 3，其外接球的直径R 2为a 3。 3、

其它直棱柱的外接球：

方法：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。

例1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98

，底面周长为３，则这个球的体积为 .

例2、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是

A.16π

B.20π

C.24π

D.32π 二、 棱锥的外接球 1、

正棱锥的外接球

方法：球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是球半径，列出关于半径的方程。

例3、正四棱锥

S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积

为 .

例5、若正四面体的棱长为4，则正四面体的外接球的表面积为___________。

例6、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是：（ ） （A ）4

33 (B)

3

3

(C)

4

3 (D)

12

3

2、

补体方法的应用

（1）、正四面体（2）、三条侧棱两两垂直的三棱锥 （3）、四个面均为直角三角形的三棱锥

例7、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为62cm 、42cm 和32cm ，那么它的外接球的体积是 。 例9、在三棱锥BCD A -中，BC CD BCD AB ⊥⊥,平面,543===CD BC AB ，， 则三棱锥BCD A -外接球的表面积__________。

例10、如图为一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )

A. 4π

B. 8π

C. 12π

D. 16π

三、圆柱、圆锥的外接球

旋转体的外接球，可以通过研究轴截面求球的半径。

例11、圆柱的底面半径为4，母线为8，求该圆柱的外接球的半径。例12、圆锥的底面半径为2，母线长为4，求该圆锥的外接球的半径。

四、正方体的内切球

设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）与棱相切的球半径。

（1）截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2

a R

=；（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，作截面图，圆

O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2

2

=

。

五、 棱锥的内切球（分割法）

将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径R 的方程。若棱锥的体积为V ，表面积为S ，则内切球的半径为S

V R 3=. 例17、正四棱锥S ABCD -，底面边长为2，侧棱长为3，则内切球的半径是多少？

图1

图2

例18、三棱锥P ABC -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形， PA ⊥底面ABC ，且2PA =，则此三棱锥内切球的半径为（ ）

六、 圆柱（轴截面为正方形）、圆锥的内切球（截面法）

例19、圆锥的高为4，底面半径为2，求该圆锥内切球与外接球的半径比。 例20、圆柱的底面直径和高都是6，求该圆柱内切球的半径。 巩固训练：

1、一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱的两

个底面和三个侧面都相切)和一个外接球

(球经过三棱柱的6个顶点),则此内切球与外接球表面积之比为 。2、如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，则此正六棱锥的侧面积是

________．

3、棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个

球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 .

F

4、已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,

ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =;则此棱锥的体积为 （ ）

A ．

6

B ．

6

C ．

3

D ．

2

5、已知点P,A,B,C,D 是球O 表面上的点,PA ⊥平面ABCD,四边形ABCD 是边长为

.若,则△OAB 的

面积为______________.