8-1随机事件与古典概型
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若观察出现正面的次数 , 则样本空间为
{0, 1, 2, 3}.
3、随机事件
样本空间 的一个子集，简称事件。常用大写 字母 A, B, C等来表示。
事件A发生 ： 该子集A中的样本点至少有一个出现。 事件A不发生 ： 该子集A中的样本点没有一个出现。
4、必然事件与不可能事件
A A
例1 表示掷一枚骰子，观察出现的点数。令 i (i 1, 2, ,6) 表示出现的点数为 i 。
复杂事 件被转 化为简 单事件
（4）三次射击中至少有两次未击中目标。 的关系
(1) A2 (2) A1 A2 A3 (3) A1A2
和运算。
(4) A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3
§2 随机事件的概率---可能性(机会)的大小
一、频率与概率
问题：如何定量描述一次实验中，事件发生的可能
落下后，可能正面朝上，也
可能反面朝上。
张三一定会死的。 张三的死亡年龄。
wk.baidu.com
10件产品（2次品） 10件产品（2次品）任取
任取3个，肯定有正品 一个，可能是正品，也可能
次品。
⑴通常加热到100℃时，水沸滕； （确定现象） ⑵篮球队员在罚球线上投篮时，未投中；（随机现象） ⑶掷一次骰子，向上的一面是6点； （随机现象） ⑷度量三角形的内角和，结果是180°；（确定现象）
4、互斥（互不相容）
A B
事件A与事件B不能同时 发生。
5、逆（对立事件） 样本空间中所有不包含 在事件A中的样本点的集 合
A A 且 A A
6、运算律
交换律： A B B A, AB BA
结合律： A (B C) ( A B) C
A(BC) ( AB)C
分配律： ( A B)C AC BC
1972 5544 2883 2661
0.5200
1974 4063
2087 1976
0.5137
1975 3913 2039 1874
0.5211
1977 3670 1883 1787
0.5131
1978 4250 2177 2073
蒲丰
4040
2048
0.5069
皮尔逊 皮尔逊
维尼
12000 24000 30000
6019 12012 14994
0.5016 0.5005 0.4998
实验结果与主观一致!
例2（新生儿性别）北京妇产医院6年中新生婴儿的
数量和性别统计 实验结果与主观不一致!
年份 新生儿总数 男孩数 女孩数 生男孩的频率
第八章 初等概率论
➢ 随机事件 ➢ 随机事件的概率 ➢ 随机变量及其分布 ➢ 随机变量的数字特征
§1 随机事件
一、随机现象及其统计规律性
1、现象的分类——确定性现象和随机现象
确定性现象——结果确 随机现象——结果不确定，
定,只有一种可能
具有多种可能。
向上抛一枚硬币硬 向上抛一枚硬币，硬币
币会落下。
性(机会)的大小？
1、频率的定义
定义1 如果一个随机事件 A ，在相同的条件下进行
的 n 次重复实验中发生 A 次，则称事件 A 在 n 次
实验中发生的频率 fn( A) 为
并称 A 为频数。
fn( A)
A
n
,
例1（掷硬币实验）
实验者 掷硬币次数 出现正面次数 频率
德摩根
2048
1061
0.5181
A BC ( A B（) A C )
德摩根律： A B A B A B A B
对立事件的性质： A A, A A , A A .
例2 一名射手连续向目标射击三次，事件 Ai 表示
第 i 次射击时击中目标 (i 1, 2, 3) 。试用 Ai 表
示下列事件：
（1）第二次射击未击中目标； （2） 三次射击中至少有一次击中目标； （3） 第二次击中目标但第一次未击中；
掷骰子：
A {2}
B {出现偶数点}
A B
2、交与并
A与B中的所有样本点的集合，即事件A与B 至少有一个发生。 A B 或 A B
A与B中的共同的样本点的集合，即事件A与
B同时发生。
A B 或 A B 或 AB
3、差 A B或A B 事件A发生同时事件B不发生。
何时A-B=? 何时A-B=A？
起构成的集合，称为样本空间，记为 。
1) 将一枚硬币连抛N次,观察正面出现的次数. 1 {0,1, 2, 3, , N }
2) 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
3) 从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品
的情况. 记 Z 正品, C 次品. 则 Ω3 { ZZZ, ZZC, ZCZ , CZZ , ZCC, CCZ , CZC, CCC }.
4) 记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.
Ω4 {0, 1, 2,}.
注 1° 试验不同, 对应的样本空间也不同. 2° 同一试验 , 若试验目的不同, 则对应的
样本空 间也不同. 如： 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”. 若观察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间为
{HHH , HHT , HTH , THH , HTT , TTH , THT , TTT }.
二、随机实验与随机事件
1、随机实验---理想化的实验（观察、调查、测试）
• 可在相同条件下重复进行。 • 每次试验的所有可能结果实验前是明确的，但是试 验前无法预知究竟哪个结果会出现。
2、样本空间和样本点(基本事件)
. 每一个不能再分解的可能结果，称为样本点，记为
注意：我们不考虑样本点的性质。所有样本点放在一
⑸经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯； （随机现象）
2、随机现象的两重性——偶然性与必然性
偶然性：在一次实验或观察中，出现的结果事先不 能确定
必然性：在相同条件下的大量重复实验或观测中，各 种结果的出现，具有一定的统计规律性。
投硬币实验
3、概率论就是研究随机现象的统计规律性的 一门数学学科。
则样本空间为 1,2,3,4,5,6
事件A={出现偶数点}，事件B={出现的点数大于4}，
事件C={出现整数点}，事件D={出现的点数小于0}，
则有 A 2,4,6， B 5,6，
C是必然事件，D是不可能事件
三、随机事件的关系和运算—用简单事件表示复合事件
1、包含 A B
A中的每一个样本点都属于B，即如果事件A 发生，那么事件B一定发生。
{0, 1, 2, 3}.
3、随机事件
样本空间 的一个子集，简称事件。常用大写 字母 A, B, C等来表示。
事件A发生 ： 该子集A中的样本点至少有一个出现。 事件A不发生 ： 该子集A中的样本点没有一个出现。
4、必然事件与不可能事件
A A
例1 表示掷一枚骰子，观察出现的点数。令 i (i 1, 2, ,6) 表示出现的点数为 i 。
复杂事 件被转 化为简 单事件
（4）三次射击中至少有两次未击中目标。 的关系
(1) A2 (2) A1 A2 A3 (3) A1A2
和运算。
(4) A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3
§2 随机事件的概率---可能性(机会)的大小
一、频率与概率
问题：如何定量描述一次实验中，事件发生的可能
落下后，可能正面朝上，也
可能反面朝上。
张三一定会死的。 张三的死亡年龄。
wk.baidu.com
10件产品（2次品） 10件产品（2次品）任取
任取3个，肯定有正品 一个，可能是正品，也可能
次品。
⑴通常加热到100℃时，水沸滕； （确定现象） ⑵篮球队员在罚球线上投篮时，未投中；（随机现象） ⑶掷一次骰子，向上的一面是6点； （随机现象） ⑷度量三角形的内角和，结果是180°；（确定现象）
4、互斥（互不相容）
A B
事件A与事件B不能同时 发生。
5、逆（对立事件） 样本空间中所有不包含 在事件A中的样本点的集 合
A A 且 A A
6、运算律
交换律： A B B A, AB BA
结合律： A (B C) ( A B) C
A(BC) ( AB)C
分配律： ( A B)C AC BC
1972 5544 2883 2661
0.5200
1974 4063
2087 1976
0.5137
1975 3913 2039 1874
0.5211
1977 3670 1883 1787
0.5131
1978 4250 2177 2073
蒲丰
4040
2048
0.5069
皮尔逊 皮尔逊
维尼
12000 24000 30000
6019 12012 14994
0.5016 0.5005 0.4998
实验结果与主观一致!
例2（新生儿性别）北京妇产医院6年中新生婴儿的
数量和性别统计 实验结果与主观不一致!
年份 新生儿总数 男孩数 女孩数 生男孩的频率
第八章 初等概率论
➢ 随机事件 ➢ 随机事件的概率 ➢ 随机变量及其分布 ➢ 随机变量的数字特征
§1 随机事件
一、随机现象及其统计规律性
1、现象的分类——确定性现象和随机现象
确定性现象——结果确 随机现象——结果不确定，
定,只有一种可能
具有多种可能。
向上抛一枚硬币硬 向上抛一枚硬币，硬币
币会落下。
性(机会)的大小？
1、频率的定义
定义1 如果一个随机事件 A ，在相同的条件下进行
的 n 次重复实验中发生 A 次，则称事件 A 在 n 次
实验中发生的频率 fn( A) 为
并称 A 为频数。
fn( A)
A
n
,
例1（掷硬币实验）
实验者 掷硬币次数 出现正面次数 频率
德摩根
2048
1061
0.5181
A BC ( A B（) A C )
德摩根律： A B A B A B A B
对立事件的性质： A A, A A , A A .
例2 一名射手连续向目标射击三次，事件 Ai 表示
第 i 次射击时击中目标 (i 1, 2, 3) 。试用 Ai 表
示下列事件：
（1）第二次射击未击中目标； （2） 三次射击中至少有一次击中目标； （3） 第二次击中目标但第一次未击中；
掷骰子：
A {2}
B {出现偶数点}
A B
2、交与并
A与B中的所有样本点的集合，即事件A与B 至少有一个发生。 A B 或 A B
A与B中的共同的样本点的集合，即事件A与
B同时发生。
A B 或 A B 或 AB
3、差 A B或A B 事件A发生同时事件B不发生。
何时A-B=? 何时A-B=A？
起构成的集合，称为样本空间，记为 。
1) 将一枚硬币连抛N次,观察正面出现的次数. 1 {0,1, 2, 3, , N }
2) 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
3) 从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品
的情况. 记 Z 正品, C 次品. 则 Ω3 { ZZZ, ZZC, ZCZ , CZZ , ZCC, CCZ , CZC, CCC }.
4) 记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.
Ω4 {0, 1, 2,}.
注 1° 试验不同, 对应的样本空间也不同. 2° 同一试验 , 若试验目的不同, 则对应的
样本空 间也不同. 如： 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”. 若观察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间为
{HHH , HHT , HTH , THH , HTT , TTH , THT , TTT }.
二、随机实验与随机事件
1、随机实验---理想化的实验（观察、调查、测试）
• 可在相同条件下重复进行。 • 每次试验的所有可能结果实验前是明确的，但是试 验前无法预知究竟哪个结果会出现。
2、样本空间和样本点(基本事件)
. 每一个不能再分解的可能结果，称为样本点，记为
注意：我们不考虑样本点的性质。所有样本点放在一
⑸经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯； （随机现象）
2、随机现象的两重性——偶然性与必然性
偶然性：在一次实验或观察中，出现的结果事先不 能确定
必然性：在相同条件下的大量重复实验或观测中，各 种结果的出现，具有一定的统计规律性。
投硬币实验
3、概率论就是研究随机现象的统计规律性的 一门数学学科。
则样本空间为 1,2,3,4,5,6
事件A={出现偶数点}，事件B={出现的点数大于4}，
事件C={出现整数点}，事件D={出现的点数小于0}，
则有 A 2,4,6， B 5,6，
C是必然事件，D是不可能事件
三、随机事件的关系和运算—用简单事件表示复合事件
1、包含 A B
A中的每一个样本点都属于B，即如果事件A 发生，那么事件B一定发生。