估计量的评选标准检验
估计量的评选标准与区间估计
置信区间 设总体X的分布函数F(x;)含有一个未知 参数. 对于给定值a(0<a<1), 若由样本X1 ,X2 ,…,Xn确定 的两个统计量 ( X1, X 2 ,..., X n )和 ( X1, X 2 ,..., X n ) 满足
P{ ( X1, X 2 ,..., X n ) ( X1, X 2 ,..., X n )} 1 a, 则称随机区间 ( , )是的置信度为1 a的置信区间,和 分
n 1
S 2
1 n 1
n
(Xi
i 1
X 2 ).
这就是说S2是2的无偏估计，因此，一般都是取S2作为 方差2的估计量。
例3 设总体X服从参数为的指数分布，概率密度为
f
( x,
பைடு நூலகம்
ex /
,
x 0,
0,
其它。
其中>0为未知,又设X1 ,X2 ,…,Xn是来自X的样本,试证
都是统计量 , 那么( , )就是的一个置信度为1 a的置信区间。
函数Z(X1 ,X2,…,Xn ; )的构造, 可以从 的点估计着 手考虑。
(三)单个总体N(,2)的情况
设已给定置信度为1-a, 并设X1 ,X2,…,Xn为总体N(,2)
的样本. X, S2分别是样本均值和样本 方差。
2的无偏估计为S2 由第六章2定理一知
(n 1)S 2 ~ 2 (n 1), 2
故
P{
2 1-a/2
(n
1)
(n 1)S 2
2
2 a/2
(n
第十八讲 估计量的评选标准及区间估计
第十八讲 估计量的评选标准及区间估计1. 估计量的评价标准判断估计量好坏的标准是：有无系统偏差；波动性的大小；伴随样本容量的增大是否是越来越精确，这就是估计的无偏性，有效性和相合性。
（1）无偏性设∧θ是未知参数θ的估计量，则∧θ是一个随机变量，对于不同的样本值就会得到不同的估计值，我们总希望估计值在θ的真实值左右徘徊，即其数学期望恰等于θ的真实值。
定义: 设∧∧=θθ（n X X X ,,,21 ）是未知参数θ的估计量，若)(∧θE 存在，且对Θ∈∀θ有)(∧θE =θ，则称∧θ是θ的无偏估计量，称∧θ具有无偏性。
在科学技术中，)(∧θE -θ称为以∧θ作为θ的估计的系统误差，无偏估计的实际意义就是无系统误差。
例１：设总体X 的k 阶中心矩)(kk X E =μ)1(≥k 存在，),,,(21n X X X 是X 的一个样本，证明：不论X 服从什么分布，∑==n i ki k X n A 11是k μ的无偏估计量。
证明：n X X X ,,21与X 同分布，n i X E X E k k ki ,,2,1)()( ===∴μ第七章 参数估计第3节 估计量的评选标准从上一节得到：对于同一参数，用不同的估计方法求出的估计量可能不相同，用相同的方法也可能得到不同的估计量，也就是说，同一参数可能具有多种估计量，而且，原则上讲，其中任何统计量都可以作为未知参数的估计量，那么采用哪一个估计量为好呢？这就涉及到估计量的评价问题。
对定义的理解：设Θ∈θ是总体X 的分布参数，Θ∈∀θ，即服从某一分布形式的任意总体分布，参数θ的估计量∧∧=θθ（,,21X X n X , ）（是简单随机样本的函数）的数学期望都等于θ。
k n i ki k X E n A E μ==∴∑=1)(1)(特别，不论X 服从什么分布，只要)(X E 存在，X 总是)(X E 的无偏估计。
例２：设总体X 的2)(,)(σμ==X D X E 都存在，且02>σ，若2,σμ均为未知，则2σ的估计量∑=-=ni i X X n 122)(1ˆσ是有偏的。
估计量的评选标准
p(x,θ )，g(θ )为待估参数，设 gˆ(X1)为 g(θ) 的
任意无偏估计，考虑
Var(gˆ(X1)) 的下界？
注：积分形式的 Cauchy 不等式：
uvdx 2 u2dx v2dx
1、 Fisher信息量的定义.
设总体 X 的概率函数为 p (x; ), ,且满足一定条件:
ln p(x;) x ln ln x! x!
I ()
E[ d ln
p( X ; )]2 d
E[ X
1]2
E(X )2 2
1
故 1 , nI () n
显然,Var(x) 1 ,
nI ()
所以, x是的有效估计.
例1 设 X1, X2,… Xn 是取自总体 X ~ N( 0,σ2) 的一个 样本，试证：
两者不同!
对于同一个未知参数,用不同的方法得到 的估计量可能不同,于是提出问题：
应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏?
ˆ( X1,..., Xn ) 越接近 越好！
如何刻画？
例：估计农大12级本科生高数的平均成绩：
方案一：设计一个抽样方案，取200个同学 的高数成绩，计算出他们的平均成绩，作为 真实成绩的估计； 方案二：随便取一个同学的成绩作为真实成 绩的估计。
1 n
Var (ˆ )
1
n
2
Var(ˆ1)
例如 X ~ N( , 2 ) , ( x 1, x 2 ) 是一个样本.
ˆ1
2 3
x1
1 3
x2
7.3估计量的评选标准
第12页
例7 设总体期望为 E( X )= , 方差 D( X )= 2
( X 1 , X 2 ,, X n )
(1)设常数 为总体X 的一个样本。
1 ci i 1,2, , n. n
n
c
i 1
n
i
1.
证明
(2) 证明
ˆ1 ci X i 是 的无偏估计量
i 1
由前面例子 可知,
x0 X 与 n min{X 1 , X 2 , , X n }都
0 为常数
是 的无偏估计量,问哪个估计量更有效？ 2 解 D(X ) , D(n min{ X 1 , X 2 ,, X n }) 2 n
所以, X 比
n min{X1, X 2 ,, X n } 更有效。
k
特别地, 样本均值 X 是总体期望 E( X ) 的无偏估计量
1 n 2 样本二阶原点矩 A2 X i 是总体二阶 n i 1 2 原点矩 2 E ( X ) 的无偏估计量。
例2 设总体 X 的期望 E( X )与方差 D( X )存在,
第4页
n i 1n 1 2 2 S ( X X ) (2) 是 D( X ) 的无偏估计量。 i n 1 i 1 n 1 n 1 证 (X i X )2 X i2 X 2 n i 1 n i 1
第23页
n 1 1 n 2 2 2 又 B2 ( X i X ) ( X i 2 X i X X ) n i 1 n i 1
1 n 2 X i X 2 A2 X 2 , n i 1
( A2是样本二阶原点矩 )
由大数定律知,
1 n 2 A2 X i 依概率收敛于E ( X 2 ), n i 1 1 n X X i 依概率收敛于E ( X ), n i 1
估计量的三个评价标准
估计量的三个评价标准估计量是统计学中非常重要的概念，它在实际应用中有着广泛的用途。
在进行估计量的评价时，我们通常会采用一些评价标准来衡量其优劣，从而选择最适合的估计量。
本文将从三个方面来介绍估计量的评价标准。
首先，我们来看估计量的无偏性。
无偏性是评价估计量优劣的重要标准之一。
一个估计量如果是无偏的，意味着在重复抽样的情况下，其期望值等于被估计的参数真值。
换句话说，无偏估计量不会出现系统性的偏差，能够在一定程度上准确地估计参数的真值。
因此，无偏性是评价估计量优劣的重要标准之一。
其次，我们来讨论估计量的一致性。
一致性是另一个重要的评价标准。
一个估计量如果是一致的，意味着当样本容量趋于无穷大时，估计量收敛于被估计的参数真值。
换句话说，一致估计量能够在大样本情况下稳定地接近参数的真值，具有较高的精确度和可靠性。
因此，一致性也是评价估计量优劣的重要标准之一。
最后，我们来考虑估计量的效率。
效率是评价估计量优劣的另一个重要标准。
一个估计量如果是有效的，意味着在所有无偏估计量中具有最小的方差，能够以最小的误差估计参数的真值。
换句话说，有效估计量具有最佳的精确度和准确性，能够在给定的样本容量下提供最优的估计结果。
因此，效率也是评价估计量优劣的重要标准之一。
综上所述，无偏性、一致性和效率是评价估计量优劣的三个重要标准。
在实际应用中，我们需要综合考虑这三个标准，选择最合适的估计量来进行参数估计。
只有在估计量具有较高的无偏性、一致性和效率时，我们才能够更准确地估计参数的真值，从而得到更可靠的统计推断结果。
因此，在统计学中，对于估计量的评价标准是非常重要的，它直接影响着我们对于总体参数的估计和推断的准确性和可靠性。
7.3 估计量的评选标准
估计量的评选标准
一、问题的提出 二、无偏性 三、有效性 四、相合性参数, 对于同一个参数 用不同的估计方法求出的 估计量可能不相同. 估计量可能不相同 问题 (1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? (1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? 对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好 (2)评价估计量的标准是什么? (2)评价估计量的标准是什么? 评价估计量的标准是什么 本节介绍几个常用标准. 本节介绍几个常用标准.
ˆ θ 是 θ 的无偏估计量 .
无偏估计的实际意义: 无系统误差. 无偏估计的实际意义: 无系统误差.
例1 设总体 X 的 k 阶矩 µ k = E ( X k ) ( k ≥ 1)存在 ,
试证明不论 的一个样本， 又设 X 1 , X 2 ,L, X n 是 X 的一个样本，
1 n k 总体服从什么分布 , k 阶样本矩 Ak = ∑ X i 是 n i =1
才能显示出优越性, 这在实际中往往难以做到, 才能显示出优越性, 这在实际中往往难以做到, 因此, 因此, 在工程中往往使用无偏性和有效性这 两个标准. 两个标准.
k 阶总体矩 µ k 的无偏估计 .
证 因为 X 1 , X 2 ,L, X n 与 X 同分布， 同分布， 故有 即
E ( X ik ) = E ( X k ) = µ k ,
i = 1,2,L, n.
1 n k E ( Ak ) = ∑ E ( X i ) = µ k . n i =1
故 k 阶样本矩 Ak 是 k 阶总体矩 µ k 的无偏估计 .
都是 θ 的无偏估计量 ,
ˆ ˆ ˆ ˆ 若有 D(θ1 ) ≤ D(θ 2 ) , 则称 θ1 较 θ 2 有效 .
四、相合性
7.2估计量的评选标准
1 n 2 2 {∑[ D( Xi ) + E ( Xi )]− n[ D( X ) + E ( X )]} = n − 1 i =1 2 1 σ 2 2 2 [( nσ + nµ ) − n( = + µ )] n−1 n =σ 2 ⇒S2为σ2的无偏估计量 n n−1 2 1 2 E ( B2 ) = E[ ∑ ( X i − X ) ] = E ( S ) n i =1 n n−1 2 2 σ ≠σ = n ⇒B2不是σ2的无偏估计量
7.2 估计量的评选标准
一、一致性 二、无偏性 三、有效性
有时候同一个参数可以有几种不同的 估计方法,这时就存在采用哪一个估计的问 估计方法 这时就存在采用哪一个估计的问 题. 希望未知参数与它的估计量在某种意 义下最为接近. 义下最为接近.
相合性) 一、一致性(相合性 一致性 相合性
ˆ 当样本容量无 对于一个好的估计量θ ,当样本容量无 限增大时,它的值应趋于稳定在参数 限增大时 它的值应趋于稳定在参数θ的真 值附近,即与 保持一致或相合. 值附近 即与θ保持一致或相合
令E(X)=µ, D(X)=σ2 n n 1 1 E ( X ) = E ( ∑ X i ) = ∑ E ( X i ) =µ n i =1 n i =1 ⇒ X为µ的无偏估计量 n 1 2 2 E ( S ) = E[ ∑(Xi − X ) ] n − 1 i =1 n 1 2 2 E ( ∑ X i − nX ) = n − 1 i =1 n 1 2 2 [∑ E ( X i ) − nE ( X )] = n − 1 i =1
, −∞ −∞<x <+∞, x1,x2,⋅⋅⋅ n是X的n次观察值 试求σ的 ⋅⋅⋅,x 次观察值,试求 ∞ ⋅⋅⋅ 的 次观察值 极大似然估计量.并判断它是否为σ的一 极大似然估计量 并判断它是否为 致估计量. 致估计量 1 n ˆ 解: σ = ∑ | X i | n i =1 1 n 1 n P 由大数定律,有 由大数定律 有 ∑ | X i | → ∑ E | X i | n i =1 n i =1 | x| +∞ 1 −σ e dx E|Xi|=E|X|= ∫− ∞ | x | ⋅ 2σ
估计量的评价标准
计量是有偏的，称 E ˆ 为估计量ˆ的偏差 .
例1 设总体X的一阶和二阶矩存在，分布是任
意的，记E X ，D( X ) 2.
证明：样本均值X 是的无偏估计.
样本方差Sn2是 2的渐近无偏估计.
修正样本方差Sn2是 2的无偏估计.
证
E X ,
E
Sn2
n 1 2,
n
E Sn2 2
定义6.4 设ˆ1和ˆ2均为的无偏估计量,若对任意
样本容量n有D ˆ1 D ˆ2 ,则称ˆ1比ˆ2有效.
如果存在 一个无偏估计量 ˆ0 ,使对 的任意无偏 估计量 ˆ ,都有
Dˆ0 Dˆ
则称ˆ0 是 的最小方差无偏估计(量).
缩写为MVUE. 最小方差无偏估计是一种最优估计.
例3 设总体 X 服从区间 0， 上的均匀分布,
1
2
E[
ˆn Eˆn
2
2
ˆn Eˆn
Eˆn
Eˆn
2
]
1
2
[
Dˆn
Eˆn
2
]
令 n , 由定理的假设得
lim
n
P{ ˆn
}0
即 ˆn 是 的相合估计．
例9 若总体 X 的 EX和 DX都存在 , 证明 X 是总体
均值 EX 的相合估计.
证 因为 EX EX
DX DX 0 n
n
定理6.2设ຫໍສະໝຸດ ˆn是的一个估计量,
若 lim
n
E
ˆn
,
且
lim
n
D(ˆn
)
0,
则
ˆn 是
的相合估计(或一致估计).
证明 由于
0 P{ˆn }
概率论与数理统计--- 估计量的评选标准
15
例3 设总体 X 的均值和方差均存在 ,nX1, „, Xn 是总体 X 的样本, C1 , C2 ,„ ,Cn 为不全相同且满足 C i 1 的任一组常数,
证明: (1) 样本的线性函数 Ci X i 是总体均值 的无偏估计量 ; i 1 n n 1 X 较 C X 有效. (2) 总体均值的无偏估计量 X n i i i i 1 i 1 n n n 证(1) E ( C i X i ) C i EX i C i
24
譬如，在估计湖中鱼数的问题中, 若我们根据一个 实际样本得到鱼数 N 的极大似然估计为 1000 条.
但实际上, N 的真值可能大于 1000 条, 也可能小于1000条. 若我们能给出一个区间, 在此区间内我们合 理地相信 N 的真值位于其中, 这样对鱼数的估计就有 把握多了.
也就是说, 我们希望确定一个尽可能小的区间, 使我们能以 • 比较高的可靠程度相信它包含真参数值.
i 1 j 1
n
m
解:(1) E(T)=an+bm =(na+mb) 当na+mb=1时, E(T)=
此时,T是的无偏估计
(2) D(T)=a2n+b24m
1 na 2 na 4m( ) m 2 4(1 na ) 2 na m 8n(1 na ) dD 0 0 2na 令 m da 4 (4n+m)a=4 a 4n m D(a)>0 此时D(T)最小,即T最有效 4 1 a , b 4n m 4n m
定义:设ˆ (X1,X2,…,Xn)为的估计量,若E(ˆ) 存在,且有 ˆ E ( ) , 则称ˆ 为的无偏估计量
第三节 估计量的评选标准
n
数理统计
由辛钦定理
若总体 X 的数学期望 E X μ 有限, 则有
Ak
1 n
n i 1
X
k i
P
E(X k )
μk
(k
1, 2,
)
g( A1, A2 , , Ak ) P g( μ1, μ2, , μk )
其中 g 为连续函数 .
数理统计
故
Ak
1 n
因为 E
X
E
1 n
n i1
Xi
1 n
E
n i1
Xi
EX
所以样本均值是总体均值的无偏估计量。
为方便起见，记总体均值为 方差为 2
n
2
n
2
因为
Xi X
Xi X
i 1
i 1
1 n 1
n i1
E
Xi
2
nE
X
2
1 n 1
n
2
n
2
n
2
Xi 与
所以样本方差是总体方差的无偏估计量。
X X
有相同的
~
N
,
2
n
和
2
数理统计
一个参数往往有不止一个无偏估计, 若 ˆ1和 ˆ2
无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求 . 无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差 .
估计量的评选标准
估计量的评选标准估计量是指对未知数或未知参数的估计值，它是统计推断的基础，对于估计量的评选标准，是统计学中非常重要的问题。
在实际应用中，我们需要根据一定的标准来评价估计量的好坏，以便选择出最合适的估计量进行推断。
下面将从偏差、精确度和效率三个方面来探讨估计量的评选标准。
首先，偏差是评价估计量优劣的重要指标之一。
偏差是指估计量的期望值与真值之间的差异，如果一个估计量的偏差较小，则说明它是一个较为准确的估计量。
在实际应用中，我们常常希望估计量的偏差能够尽可能地接近于零，这样才能更好地反映出真实情况。
因此，偏差越小的估计量往往被认为是更为可靠的估计量。
其次，精确度也是评价估计量优劣的重要标准之一。
精确度是指估计量的方差，它反映了估计量的稳定性和可靠性。
一个精确度高的估计量意味着它的取值波动较小，对真值的估计更加准确。
因此，我们通常会选择具有较高精确度的估计量进行统计推断，以确保推断结果的可靠性。
最后，效率也是评价估计量优劣的重要指标之一。
效率是指在给定精确度下，估计量所具有的信息量。
一个效率高的估计量意味着它在给定精确度的情况下能够提供更多的信息，从而使得推断结果更加准确。
因此，我们通常会选择具有较高效率的估计量进行统计推断，以获得更加精确的推断结果。
综上所述，偏差、精确度和效率是评价估计量优劣的重要标准，它们相互关联、相互制约。
在实际应用中，我们需要综合考虑这三个方面的指标，选择出最合适的估计量进行统计推断。
希望本文对估计量的评选标准有所帮助，谢谢阅读。
估计量的评选标准
估计量的评选标准
估计量在统计学中扮演着非常重要的角色，它是对未知参数进行估计的数值。
在实际应用中，估计量的准确性和可靠性直接影响到统计结论的正确性。
因此，如何评选一个好的估计量是非常重要的。
下面将从偏差、方差和均方误差三个方面来探讨估计量的评选标准。
首先，偏差是评价估计量优劣的重要指标之一。
偏差是指估计量的期望值与真实参数值之间的差异。
一个好的估计量应当具有较小的偏差，即在重复抽样下，估计量的平均值应当接近于真实参数值。
因此，评选估计量时，需要对其偏差进行严格的评估，选择偏差较小的估计量作为最优估计。
其次，方差也是评选估计量的重要指标。
方差是用来度量估计量的离散程度，即在重复抽样下，估计量的变异程度。
一个好的估计量应当具有较小的方差，即在重复抽样下，估计量的取值应当比较稳定。
因此，评选估计量时，需要对其方差进行严格的评估，选择方差较小的估计量作为最优估计。
最后，均方误差是评价估计量优劣的综合指标。
均方误差是偏
差和方差的平方和，它综合考虑了估计量的偏差和离散程度。
一个好的估计量应当具有较小的均方误差，即在重复抽样下，估计量的预测误差应当较小。
因此，评选估计量时，需要对其均方误差进行严格的评估，选择均方误差较小的估计量作为最优估计。
综上所述，评选估计量的标准应当综合考虑偏差、方差和均方误差三个方面。
一个好的估计量应当在偏差小、方差小和均方误差小的情况下，具有较高的准确性和可靠性。
在实际应用中，需要根据具体问题和数据特点，选择合适的评选标准，以得到最优的估计量。
希望本文对您有所帮助。
第二节 估计量的评选标准分析
E
(
X
k i
)
1 n
n k
k
特别地
(1) 样本均值 X是总体期望 E( X ) 的
无偏估计
(2) 样本二阶原点矩
A2
1 n
n i 1
X i2是总体
二阶原点矩 2 E( X 2 ) 的无偏
估计
例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的
样本为 (X1, X 2,, X n )(n > 1) . 证明
X~b(n , p) n > 1 , 求 p 2 的无偏估计.
解 由于样本矩是总体矩的无偏估计以及数 学期望的线性性质, 只要将未知参数表示成总 体矩的线性函数, 然后用样本矩作为总体矩的 估计, 这样得到的未知参数的估计即为无偏估 计.
令 X E(X ) np
1
m
m i 1
X
2 i
E(X
2)
2 n 1
2
2
n
2 2
n 1
2
EY 1/ 2 E
n
1S
n
2 2
n 1
2
ES
n
2 2
n 1
n1
S不是的无偏估计
2
令S*
n 1 n 1 2 S ,则S*是的无偏估计。
2 n
2
例4 设 ( X1 , X2 ,, Xm ) 是总体 X 的一个样本 ,
由于
D(ˆ1) E(ˆ1 )2 D(ˆ2 ) E(ˆ2 )2
所以无偏估计以方差小者为好, 这就引进了有效性 这一概念 .
2、有效性
定义 设 ˆ1 1(X1, X 2,, X n )
ˆ2 2 (X1, X 2,, X n )
7.2估计量的评选标准
7.2估计量的评选标准第二节估计量的评选标准对于同一个参数,哪一个估计量较好呢?下面介绍评价估计量优劣的三个标准。
用不同的估计方法得到的估计,有时相同,有时不同.在不同时,一、无偏性由于估计量是样本的函数，因此是一个随机希望估计量的期望等于未知参数的真值!这就是所谓的估计量的无偏性概念。
尽管样本值不同，估计量的取值（估计值）变量。
也不同，估计值与参数的真值可能不同，但是我们定义1是参数q则称为q的无偏设若的估计量,估计量。
例1证明；样本均值是总体均值E(X)=m的无偏估计量.证独立,又∴是总体均值E(X)=m的无偏估计量。
定义1是参数q则称为q的无偏设若的估计量,估计量。
且与总体X同分布，定义1设是参数q的则称为的无偏估计。
可证：是总体方差的无偏估计量。
注意：总体X的方差D(X)的矩估计量不是D(X)的无偏估计。
见书P117。
估计量,若思考题是总体X的样本，判断估计量设是否为总体均值m的无偏估计。
定义1是参数q的估若,则称为q的无偏估计量。
设计量,若为总体X简单随机样本，则（1）相互独立（2）中每一个与X有相同的分布。
2.有效性都是总体均值m的两个无偏估计量.哪个估计量更好一些?我们希望参数q的无偏估计量对q的平均偏差越小越好，注意到即一个好的估计量，设未知参数q有两个无偏估计量即那么如何去判定这两个估计量的好坏呢？应当有尽可能小的方差。
定义2分别是参数q两个则称较有效.设如果及无偏估计量，定义1设是参数q的估若,则称为q的无偏估计量。
计量,例2设是总体X的样本，分别是m的两个估计量,证明比有效。
证是m的两个无偏估计量(由例1得)定义2设是参数q如果两个无偏估计量,则称较有效.及定义1设是参数q的估若,则称为q的无偏估计量。
计量,又∵∴比有效。
3.相合性估计量一个好的估计量应当随着n的增大而愈加精确,因此有定义3设为q的估计量,若对任给的e>0,则称为的相合估计.则称序列{Xn}依概率收敛于a,记作Pa即Pq 定义3设为的估计量,若对任给的则称为的相合估计量.定理1设是q的一个若估计量,则是q的相合估计。
估计量的评判标准
第七章 参数估计 第二节 估计量的评判标准【学习目标】1. 熟练验证参数的估计量是否满足无偏性、有效性；2. 了解参数相合性的定义；【学习重点】估计量的三大评判标准——无偏性、有效性、相合性 【学习难点】估计量的三大评判标准——无偏性、有效性、相合性 【学习任务清单】一、课前导学本节内容预备知识，常用统计量的性质、大数定律。
二、学习视频第三十四讲 估计量的三大评判标准1（共6个视频，总时长48分38秒） 视频1 无偏性的背景（10分06秒）重点讲解了对于同一参数，用不同方法来估计，结果是不一样的。
在这些估计中，我们自然地希望挑选一个最“优”的点估计.因此，有必要建立评价估计量优劣的标准.下面介绍几个常用的标准：无偏性、有效性和相合性。
视频2 无偏估计的定义（2分39秒）定义：如果未知参数θ的估计量()12ˆˆ,,,n X X X θθ=的数学期望()ˆE θ存在,且对任意θ∈Θ,都有()ˆE θθ= 则称ˆθ是θ的无偏估计量。
（直观的看法是随机估计变量的中心就是θ）（这部分是重点）。
视频3 例题 无偏性的证明（13分32秒）结论：设样本n X X X ,,,21 是从总体X 的均值μ和方差2σ抽取的,证明:(1)样本均值11ni i X X n ==∑是总体均值μ的无偏估计量；（2）2211()1ni i S x x n ==--∑是总体方差2σ的无偏估计量； (3) 11n k i i X X n ==∑是总体()kE X 的无偏估计量。
提示：在对无偏估计量验证时，往往利用统计量的性质计算会比较简单。
定义：如果未知参数θ的估计量()12ˆˆ,,,n X X X θθ=，()ˆE θθ≠()ˆlim n E θθ→∞= 则称ˆθ是θ的渐进无偏估计量。
视频4 例题 无偏性的不唯一性（8分42秒）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,0,1),( -x x e x f xθθθ (其中参数0>θ未知)，n X X X ,.,,21 是来自总体X 的样本，证明X 与)1(nX 均为参数θ的无偏估计量. 证明思路：θ=)(X E （利用统计量的性质），先求出)1(X 的概率密度可知是服从参数为θn 的指数分布，即nX E θ=)()1(。
估计量的评价标准
2
例2 设 D( X ) 0 , E( X ) ,试问 X 2 是否为2
的无偏估计？
证 E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2
1 D( X ) 2 2 ,
n
故 X 2 不是2 的无偏估计。
对于同一个参数,用不同的方法可以得到不同的 估计量. 现在的问题是,当同一参数出现多个估计 量时,究竟哪一个更好呢? 这就涉及到用什么标准 来评价估计量的问题.
确定估计量好坏的标准必须是整体性的,说得 明确一点就是,必须在大量观察的基础上从统计的 意义上来评价估计量的好坏.也就是说,估计的好 坏取决于估计量的统计性质.一般认为,一个“好” 的估计量应该具有如下的条件:
设 (X1,, Xn ) 为取自总体 X 的样本，
E( X ) E( X ) ，
说明 X 是总体均值E( X ) 的无偏估计；
样本方差
S2
1 n1
n i 1
(Xi
X
)2
，
E(S 2 )
D(X )，
说明 S 2 是总体方差D( X ) 的无偏估计.
样本均值 X 是EX的无偏估计，
样本方差 S2 是DX的无偏估计。
样本二阶中心矩
S2n
1 n
n i1
2
Xi X
E(Sn2
)
n 1 n
DX
lim
n
E
(Sn2
)
lim
n
n 1 DX n
DX
如果 E ˆ
但，lim E( ) n
则称 是 的渐进无偏估计量
S2n 不是DX的无偏估计， 但它是DX的渐进无偏估计.
6.2估计量的评选标准
Xi
是总体均值
的无偏估计量；
（2）样本方差 S
无偏估计量.
2
1 n 1
n i1
(Xi
X
)2
是总体方差
2
的
证： 因为样本 X1 , X 2 , , X n 相互独立，且与总体 X 服从相同分布，所以有
E( Xi ) , D( Xi ) 2 , i 1,2 ,,n.
由数学期望与方差的性质可知
例如 由第六章第一节知, 样本 k(k 1)阶矩是总
体 X 的k阶矩 k E( X k )的一致估计量, 进而若待 估参数 g(1 , 2 ,, n ), 其中g为连续函数, 则 的矩估计量
ˆ g(ˆ1 , ˆ 2 ,, ˆ n ) g( A1 , A2 ,, An ) 是 的一致估计量.
（1）样本均值 X
1 n
n i1
Xi
是总体均值
的无偏估计量；
（2）样本方差S 2
1 n 1
n i1
(Xi
X
)2
是总体方差
2
的
无偏估计量.
说明：
Hale Waihona Puke 同一个参数的无偏估计不止一个。
样本的二阶中心矩1 n
n i 1
(Xi
X )2是
2的有偏估计。
三、有效性
比较参数 的两个无偏估计量ˆ1 和ˆ2 , 如果 在样本容量n 相同的情况下,ˆ1 的观测值较ˆ2 更 密集，则认为ˆ1 较 ˆ2 为理想 .
一、问题的提出
对于同一个参数, 用不同的估计方法求出的 估计量可能不相同.
问题 (1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? (2)评价估计量的标准是什么? 本节介绍几个常用标准.
62估计量的评选标准1
z0 其它
Z min( X1, X2 , ..., Xn )概率函数
fmin (z) Fmin (z)
n
e
nz
0
即 Z min( X1, X2 , ..., Xn )
z0
其它 e( )
n
E(nZ )
nE ( Z
)
nE(min(
X1,
X2 , ...,
Xn
)
n*
n
启示:总体未知参数的估计量有多个,无偏估计量也不唯一.
E ( ˆ 2
)
E(
X1
2
Xn
)
E(ˆ1) E(ˆ2 ) E(ˆ3 ) , 无偏估计
D(ˆ1 )
D( X )
D( X ) n
D(ˆ2 )
D(
X1
2
Xn
)
D( X ) 2
D(ˆ3 )
4D( X )
D( Xn )
4D( X ) n
D( X )
(4 n)D( X ) n
D(ˆ1 ) D(ˆ2 ) D(ˆ3 ), ˆ1比ˆ2 , ˆ3更有效.
说明：无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差 .
例如:
E( X )
E( 1 n
n i 1
Xi )
E( X )
E(S 2 )
E( 1 n1
n i 1
(Xi
X
)2 )
2
D( X
)
E(ˆ
2)
E( 1 n
n i 1
(Xi
X )2 )
E(n 1 S2) n 1 2
n
n
系统误差 : 1 2
n
例2(P140-例1) 设总体X的k阶矩k E( X k ) (k 1)
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拒
绝
域
的
形S式 12 为 k, S22
而对于(给 0定 1)k由 的下式 , 决定
P { 拒 H 0 |H 绝 0 为 } P H 0 真 Байду номын сангаас F k }
即 P { F F ( n 1 1 ,n 2 1 ) } .
拒 绝 FF 域 (n 11 为 ,n 21 ).
对 于 12,22的 另 外 两 个 检以 验用 我同 们样 可 方法给出其拒式 绝 . 域的形
1 2/2(n1)0 2.9(92)5 1.5 12 .0 2450,00
由 上 面 的 知 识 知 拒 绝 域为 :
(n1)s24.3 41 ,或 4(n1)s21.5 12 .
0 2
0 2
由观 s2察 92得 值 0 (n 01 0 2)s24 64.3 41 , 4
所 以 拒 绝 H0 ,认 为 这 批 电 池 寿 命 的 波
测得其寿命样本方差为s2=9200(小时2).问根据这一数据能
否推断这批电池寿命的波动性较以往的有显著的变化(取
=0.02)?
解 :在水 0.平 0下 2检 验 :H 0: 假 2 50 设 ,H 1 0 : 2 0 50 ,
现 n2,6 2/2(n1)0 2.0(12)5 4.3 41 , 4
例2. 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议 是否会增加钢的得率, 试验是在同一只平炉上进行的. 每 炼一炉钢时除操作方法外, 其它条件都尽可能做到相同. 先用标准方法炼一炉, 然后手建议的方法炼一炉, 以后交 替进行, 各炼了10炉, 其得率分别为:标准方法: 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3 新方法: 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1 设这两个样本相互独立, 且分别来自正态总体N(1,12)和 N(2,22), 1, 2,12, 22均未知.
§4. 分布的拟合检验
一. 2检验法:
设X1,X2,,Xn是给定的,样 现本 在值 问题是根 样本,检 值验总 X的 体分布函数 F(x是 ). 否为
原假设H0 :总体 X的分布函F数 (x)为 备择假H 设1 :总体 X的分布函数F(不 x). 是 这里 F(x)中不应含有未.通 知常 参要 数先用样本 估给出的 计值 (极大似然)来 估代 计F替 (x)的未知参 ,然数 后作检验
设 X ~ 总 N ( , 2 ) 体 X , 1 ,X 2 , ,X n 是 X 的 来 . 样 自
要(显 检著 验 ):H 性 0: 2 水 0 2 ,H 1: 平 2 0 2 , 0 2 是已 .
取统计 2(量 n12)S2,当 H 0成立 ,2~ 时 2(n1)
对
于
给 ,我 定 们 P的 2有 1 2/2(n1)
1 0(5101,101)
1 0.15.3
6.54
现 S 1 2 3 .3,S 2 2 2 2 . 5 2,S 2 1 2 /S 2 2 5 1 .4 , 9
即 0 .1 有 5 S 3 1 2/S 2 26 .5,4
故接受H0,故认为总体方差相 . 等
两总体方差相等也称 为两总体具有方差齐性.
试对数据检验假设(=0.01),H0: 12=22, H1: 12≠22.
解 : 由 ,n 1 题 n 2 1 ,意 0 0 .0 , 1
拒 绝 S S 1 2 2 2 域 F 0.00 (1 为 5 0 1,1 0 1)6.5,或 4
S12 S2 2
F10.0
0(5101,101)F0.0
k
( fi
i1
n pi )2 n
pi
k i1
( fi
npi )2也应该比较小,其中, npi
n pi 起"平衡"作用,否则,当pi很小时,即使n pi 与pi的差
相对比较大时,( fi n pi )2仍然是很小的.
取2 k (fi npi)2作为检验.由 统下 计面 量的定理
i1
npi
设 检 验 的.拒 绝 域
定 理:若n充 分 大(n 50),则 当H0为 真 时(不 论H0中 的
估计量的评选标准检验
目
录
随机样本 抽样分布 点估计 估计量的评选标准 区间估计 正态总体均值与方差的区间估计 (0-1)分布参数的区间估计 单侧置信区间 假设检验 正态总体均值的假设检验 正态总体方差的假设检验 分布的拟合检验 秩和检验
§3. 正态总体方差的假设检验
(一) 单个总体的情况:
检验 :H 0: 问 1 2 2 2 ,H 题 1: 1 2 2 2 .
取统计 F量 S S1222 ,当H0成立, F 时~F (n 11 ,n 21 )
而 H 1 为 当 ,E ( S 真 1 2 ) 1 2 时 2 2 E ( S 2 2 ),
故F
S12 S22
有
偏
大
的
趋, 因 势而
动性较以往有显著化 的. 变
(二) 两个总体的情况:
设X1,X2,,Xn1是 来 自 正N态 (1,总 12)的 体样,Y本 1,Y2, ,Yn2是 来 自 正N态 (2,总 22)的 体样,且 本设 两 样 本 独
立,又 分 别 记 它 们值的为 X,样 Y,记 本样 均本S方 12,S22差 , 设1,2,12,22均 未. 知
,
2
P2 2/2(n1)
, 2
2
故 拒 绝 2域 1 2/2为 (n1)
2
或 2 2/2(n1).
12/2(n1)2/2(n1)
例1. 某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以来服从方
差2=5000(小时2)的正态分布, 现有一批这种电池, 从它的
生产情况来看,寿命的波动性有所改变.现随机取26只电池,
1. 基本思想:
将随机试验可 全能 体 分 结为 k个 果互 的不相容的
A1,A2,,Ak( k i1Ai ,AiAj ,ij,i,j1,2,,k).
在假设H0下,可以计算出pi P(Ai )(或P(Ai )的估计值 pˆ i Pˆ (Ai ),i 1,2,...,k,在n次试验中,事件Ai出现的频率 fi n与pi (或pˆ i )往往有差异.但一般来说,若H0为真且试 验次数又多时,则这种差异不太大(由大数定律),从而