(公开课)复数的代数形式

4.例题讲解
2=？ 思考： (1 i) 例3.计算
⑴(1+i)2
解： ⑴原式= 1+2i+i2
与实数系 中完全平 方展开式 一样
⑵(3+4i)(3-4i)
⑵原式= 9-12i+12i-16i2 = 9-(-16)
= 1+2i-1 = 2i
= 25
注：可用实数系中乘法相应公式进 行运算
5.共轭复数
化为代数形式）
注意：两个复数的积是一个确定的复数
2.乘法运算律
对任意z1 , z2 , z3 ∈C. 有
z 1· z2=z2· z1 (交换律)
(z1· z2)· z3= z1· (z2· z3)
z1(z2+z3)=z1· z2+z1· z3
(结合律)
(分配律)
3复数的乘方：
实数集R中正整数指数幂的运算律在复数 集C中仍然成立,即 对任何 z, z1 , z2 C 及 m, n N ，有
要求：
1、第一遍快速浏览 2、第二遍动手计算，记忆相关概 念，并小结复数代数形式的乘除运算 的步骤。
二、新课教学 1.复数乘法运算：
我们规定，复数乘法法则如下：
设z1=a+bi z2=c+di 是任意两个复数，那么它们 的乘积为：
2 (a+bi)(c+di )= ac+adi+bci+bdi（类似于两个多项式相乘） 2 = ac+adi+bci-bd（把 i 换成-1） （实部与虚部分别合并 = (ac-bd)+(ad+bc)i
（实数） ⑵z· z 是一个怎样的数？ = 9-12i+12i-16i2 z2=a-bi z1=a+bi = 9-(-16) 2-abi+abi-bi2 则z· =(a+bi)(a-bi) =a z (a, b) (a, -b) = 25 =
2 2 a +b（实数） z z
2
2
规定：复数的除法是乘法的逆运算 b c ( b c )( b c ) 复数除法的法则是： ac a bi ab 有理化因式 （分母有理化） （改写成分式的形式） (a bi ) (c di )=
4n
1
2
3
2
任意连续四项之和为0即： 4n 4 n 1 4n2
ii=i i =1 i =i i =-1 i =-i
5
4
n
i =1
4
4 n 1
Baidu Nhomakorabea
4n2
4 n 3
i +i
i
i
4 n 3
0
4.例题讲解
例2 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)
解： (1-2i)(3+4i)(-2+i) =(11-2i)(-2+i) = -20+15i
z z z mn m n (z ) z n n n ( z1 z2 ) z1 z2
m n
m n
动手算一算 计算 i , i , i , i ,i 的值，你能推测 (n N ) 的值有什么规律吗？
1 2 3 4 5
i
n
*
=i =-1 =i i =-i i i i 周期性：
练习：计算下列各式
1 (1) =-i i 1 i (2) =i 1 i 1 i (3) = 1 i
常用结论
(4)(1 i) =2i
2
(5)(1 i) =-2i
2
-i
2 例5：计算 (1 i ) 1 i
2 2i
2
2012
练一练
2 2 1(2009 年高考浙江卷)设 z＝1＋i(i 是虚数单位)，则 ＋z = 1＋i z 2． (2009 年高考辽宁卷 )已知复数 z＝1－2i， 1 2 1 那么 = 5－5i z 3(2009 年高考重庆卷)已知复数 z 的实部为－1， 5i 虚部为 2，则 = 2－i z
复数代数形式的 乘除运算
杨苏
知识回顾
已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）
(1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
(2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是
实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
一、探究新知
生：阅读教科书109~111页（5分钟）
6.复数的除法法则
a

a( b c )
注意：c+di≠0
分子分母都乘以 分母的“实数化 ac bd (bc ad )i 2 2 因式”（共轭复 c d 数）从而使分母 ac bd bc ad （改写成复数的 2 2 i 2 2 “实数化”。 c d c d 代数形式）
定义： 一般地，当两个复数实部相等，
虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为 共轭复数。 虚部不等于0的两个共轭复数 也叫做共轭虚数.
记复数 z 的共轭复数为
z
（口答）说出下列复数的共轭复数
⑴z=2+3i ⑵z= -6i ⑶ z= 3
2-3i
6i
3
注意：实数的共轭复数是它本身
思考 ：如果两个复数的乘积是实数， 若 z , z 是共轭复数，那么 那么它们一定是共轭复数吗？ ⑴在复平面内，它们所对应的点有怎样的 位置关系？(关于实轴对称） ⑵(3+4i)(3-4i)
z 4已知（1+2i） =4+3i，则z= 2－i
1 1
4 2 i 5已知 z1=5+10i, z2=3-4i , ，则z= z z1 z 2 25 25
1
课堂小结
⑴复数乘法的运算法则、运算规律，共轭 复数概念. ⑵复数除法运算法则.
作业
课本P112，A组4，5, 6题
(a bi )(c di ) （分子分母都乘 (c di )(c di ) 分母的共轭复数）
c di
bc
先写成分 例4.计算 (1 2i) (3 4i) 式形式 1 2i 解: (1 2i ) (3 4i) 3 4i (1 2i)(3 4i) (3 4i)(3 4i) 然后分母实数 化分子分母同 38 6i 4i 时乘以分母的 2 2 3 4 共轭复数 5 10 i 25 1 2 i 5 5