勾股定理专题课件
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勾股定理数学优秀ppt课件
实际应用
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
《勾股定理》复习课件ppt
答案5
根据勾股定理和相似三角形的性质，BD² = AB² - AD² = AC² + BC² - (AC + CD)² = 4² + 6² - (4 + 2)² = 20。 所以 BD = √20 = 2√5。
THANKS
感谢您的观看
勾股定理公式
a² + b² = c²，其中a和b是直角三 角形的两条直角边，c是斜边。
勾股定理的证明方法
欧几里得证明法
利用相似三角形的性质和比例关系， 通过一系列的逻辑推理证明勾股定理 。
毕达哥拉斯证明法
利用正方形的性质和勾股定理的关系 ，通过构造两个正方形证明勾股定理 。
勾股定理的应用场景
实际问题求解
要点一
勾股定理在三维空间的应用
要点二
勾股定理在三维空间的应用示例
勾股定理不仅适用于平面图形，还可以应用于三维空间中 的几何体。
在解决三维几何问题时，可以使用勾股定理来计算空间几 何体的边长或体积。
04
勾股定理的解题技
巧和策略
利用勾股定理求边长
总结词
勾股定理是解决直角三角形问题的重要工具 ，通过已知两边长，可以求出第三边长。
详细描述
勾股定理公式为$c^2 = a^2 + b^2$，其中 $c$为斜边长，$a$和$b$为直角边长。已知 $a$、$b$和$angle C = 90^circ$，可以通
过勾股定理求出第三边长$c$。
利用勾股定理证明三角形为直角三角形
总结词
勾股定理也可以用来证明一个三角形是否为直角三角形。
详细描述
勾股定理复习课件理的回顾 • 勾股定理的常见题型解析 • 勾股定理的变式和推广 • 勾股定理的解题技巧和策略 • 勾股定理的练习题和答案解析
人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT精品教学课件
13 .由此，可以依照如下方法在
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
勾股定理ppt课件
弦
勾
股
那么勾、股、弦之间有什么关系呢？这 就是我们今天要探究的问题。
推进新课
知识点 1 勾股定理的发现
毕达哥拉斯在朋友家里做客 时，从砖铺成的地面中发现了直 角三角形三边的数量关系．
观察
你从图片中发现了什么？
思考 三个正方形的面积有什么关系？
发现
两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积.
思考
等腰直角三角形三条边长度 之间有怎样的特殊关系？
课堂小结
勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为a ，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
课后作业
1.课后练习1、2； 2.完成练习册本课时的习题。
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
学习目标 1.了解勾股定理的文化背景，了解常见的利用 拼图验证勾股定理的方法. 2.知道勾股定理的内容. 教学重点：掌握勾股定理并运用勾股定理解决 简单的实际问题。 教学难点：勾股定理的证明。
新课导入
提问 你知道在古代，人们
如何称呼直角三角形的三 边吗？
拓展延伸
如图，已知长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C 落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，求DE的长. 解：∵∠A=∠C′=∠C=90°, ∠AEB=∠C′ED，AB=C′D, ∴△AEB≌△C′ED.∴AE=C′E, ∴C′E=AD-ED=8-ED.又在△EC′D中，
ED2 CE2 CD2 . ED2 8 ED2 42，解得ED 5.
赵爽弦图
思考 你是如何理解的？你会证明吗？
证明
c
a
b
bbc
a S=a2+b2
a
小正方形的面b积= (b-a)a2 =c2-4×1 ab
(精选幻灯片)勾股定理ppt课件
2 2 22
“总统证法”． 比较上面二式得 c2=a2+b2
16
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
17
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
b c
a2+b2=c2吗？
• 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A b 1 E aB ∵ S梯形ABCD= 2 a+b2
十任总统.后来， 1
人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明
= (a2+2ab+b2) 2
又∵ S梯形 ABCD=S
AED+S
EBC+S
CED
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2)
33
34
C A
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
B C
图2-1
A
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么
B 图2-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
3
s1 s2
s3
返 拼回 图 4
合作 & 交S流1+☞S2=S3
a等²+腰a直²=角c三²角形两直角边
“总统证法”． 比较上面二式得 c2=a2+b2
16
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
17
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
b c
a2+b2=c2吗？
• 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A b 1 E aB ∵ S梯形ABCD= 2 a+b2
十任总统.后来， 1
人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明
= (a2+2ab+b2) 2
又∵ S梯形 ABCD=S
AED+S
EBC+S
CED
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2)
33
34
C A
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
B C
图2-1
A
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么
B 图2-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
3
s1 s2
s3
返 拼回 图 4
合作 & 交S流1+☞S2=S3
a等²+腰a直²=角c三²角形两直角边
勾股定理ppt课件
体会数形结合的思想。（重点）
2.会用勾股定理进行简单的计算。（难点）
情境引入
学习目标
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的 一 些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理， 体会数形结合的思想。（重点） 2.会用勾股定理进行简单的计算。（难点）
一、勾股定理的认识 让我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边 长为c,那么有a2+b2=c2.
a c2 - b2 , b c2 - a2 , c a2 b2
(a、b、c为正数)
三、学以致用
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c; （2）若a=1,c=2,求b.
归纳 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两 边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方 程求解.
变式2：在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
斯再去他那位老朋友家做客 我们也来观察一下地面的图案，看看从中能发
现什么？
问题1：观察构成正方形A、B、C的等腰直角三角形之间有什么关系？试 问三个正方形面积之间有什么样的数量关系？
AB C
这些小的等腰直角三角形都全等
发现：SA+SB=SC
问题2：若正方形A、B、C边长分别为a、b、c，根据面积关系，猜想等 腰直角三角形三边之间有什么关系？
AB C
ab c
SA+SB=SC
猜想:a2+b2=c2
2.会用勾股定理进行简单的计算。（难点）
情境引入
学习目标
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的 一 些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理， 体会数形结合的思想。（重点） 2.会用勾股定理进行简单的计算。（难点）
一、勾股定理的认识 让我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边 长为c,那么有a2+b2=c2.
a c2 - b2 , b c2 - a2 , c a2 b2
(a、b、c为正数)
三、学以致用
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c; （2）若a=1,c=2,求b.
归纳 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两 边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方 程求解.
变式2：在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
斯再去他那位老朋友家做客 我们也来观察一下地面的图案，看看从中能发
现什么？
问题1：观察构成正方形A、B、C的等腰直角三角形之间有什么关系？试 问三个正方形面积之间有什么样的数量关系？
AB C
这些小的等腰直角三角形都全等
发现：SA+SB=SC
问题2：若正方形A、B、C边长分别为a、b、c，根据面积关系，猜想等 腰直角三角形三边之间有什么关系？
AB C
ab c
SA+SB=SC
猜想:a2+b2=c2
勾股定理经典教学课件
用四个完全相同的直角三角形，然后将它们拼成 如图所示的图形．
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 。
又可以表示为 4
ab 2
c2
．
对比两种表示方法，看看能不能
得到勾股定理的结论．
(a+b)2= 4 ab C2 2
c2 = a2+ b2
用四个完全相同的直角三角形，还可以拼成如图 所示的图形．
大正方形的面积可以表示为
c2
。
4 1 ab （b - a）2
又可以表示为 2
．
对比两种表示方法，看看能不能得到勾股 定理的结论．
c2 = 4 1 ab （b - a）2 2
a2 b2 c2
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图 ”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经 》作法时给出的.
练习
解： ∵ AB=15cm，AC=20cm,BC=25cm ∴ AB2+AC2=225+400=625
D
25
C 20
BC2=625
∴ AB2+AC2=BC2
B ∴ ∠ BAC=900(勾股定理的逆定理）
1
15
∵ S △ ABC= 2 AC • AB
1
A
= 2 BC•AD
∴ AD= AC • AB 2015 12
D
DC的中点，EC=1/4BC F
∴AD=4，DF=2，FC=2，EC=1
∴根据勾股定理，在 Rt△ADF，AF2=AD2+DF2=20
B
EC
Rt△EFC，EF2=EC2+FC2=5
Rt△ABE，AE2=AB2+BE2=25
《勾股定理》数学教学PPT课件(10篇)
= (DE+CE)·( DE- BE)
=BD·
CD.
D
B
E
C
课堂小
结
利用勾股定理解
决实际问题
勾股定理
的应用
构造直角三角形
解决实际问题
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
点.容易知道，长为
的线段是两条直角边的长都为1的直角三
角形的斜边.
长为 13 的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的
斜边吗？
新知导入
想一想：
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
知识
的直角三角形的斜边长为
AC2+BC2=AB2
由上面的例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边
长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
b
课程讲授
1
勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c
证明：∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
b
a
b-a
例 如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻
度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为
8
_____条．
=BD·
CD.
D
B
E
C
课堂小
结
利用勾股定理解
决实际问题
勾股定理
的应用
构造直角三角形
解决实际问题
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
点.容易知道，长为
的线段是两条直角边的长都为1的直角三
角形的斜边.
长为 13 的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的
斜边吗？
新知导入
想一想：
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
知识
的直角三角形的斜边长为
AC2+BC2=AB2
由上面的例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边
长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
b
课程讲授
1
勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c
证明：∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
b
a
b-a
例 如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻
度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为
8
_____条．
勾股定理的应用PPT课件
2
0.3
0.2
A
B
A
B
C
2m
(0.2×3＋0.3×3)m
选作： 1. 如图，长方形中AC=3,CD=5,DF=6,求蚂蚁沿表面从A爬到F的最短距离.
3
5
6
A
C
D
E
B
F
已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.
已知：如图，在 中， ，是 边上的中线， 于， 求证：.
如图，将长为10米的梯子AC斜靠 在墙上，BC长为6米。
A
B
C
10
6
(1)求梯子上端A到墙的底端B的距离AB。
（2）若梯子下部C向后移动2米到C1点，那么梯子上部A向下移动了多少米？
A1
C1
2
一位工人叔叔要装修家，需要一块长3m、宽2.1m的薄木板，已知他家门框的尺寸如图所示，那么这块薄木板能否从门框内通过?为什么?
B
C
A
3
2
1
B
C
A
(1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最短路程为
解:
A
B
2
3
A
B
1பைடு நூலகம்
C
AB＝
＝
＝
(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为
A
B
3
2
1
B
C
A
AB＝
＝
＝
(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路程为
A
B
AB＝
＝
＝
3
2
1
B
C
A
2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为2m、0.3m、0.2m，A和B是台阶上两个相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B点的最短路程是多少？
十勾股定理专题培训市公开课金奖市赛课一等奖课件
x2 =144 ∵x>0
∴ x=12
第9页
3、在直角三角形ABC中, ∠C=900, (1)已知: a=5, b=12, 求c; (2)已知: b=6,•c=10 , 求a; (3)已知: a=7, c=25, 求b ; (4)已知: a=7, c=8, 求b .
4 、始终角三角形始终角边长为7, 另两条边长 为两个连续整数,求这个直角三角形周长.
相传二千多年前，希腊毕达哥拉斯学派首先证实了勾
股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定
理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一
枚纪念邮票。
第12页
试
我们用下面办法来阐明勾股定理是正确
一
c
c
c
c
试
a
a
a
a
b
b
b
b
(a+b)2= 4 ab C2 2
c2 = a2+ b2
a
b
第10页
小结： 1、利用数格子办法，摸索了以直角三角形三边为 边长正方形面积关系（即两个小正方形面积之和 等于大正方形面积） 2、摸索了直角三角形三边关系，得到勾股定理：
即直角三角形两直角边平方和等于斜边平方平方
C cb B a
A
A面积+B面积=C面积
a2+b2=c2
第11页
读一读
勾股世界
我国是最早理解勾股定理国家之一。早在三多年前，
第7页
练习： 1、求下列图中字母所表示正方形面积
A=625
225
400
81
B =144
225
第8页
2、求出下列直角三角形中未知边长度
x 6
勾股定理课件ppt
THANKS
感谢观看
衡性非常重要。
03
地貌形成
地貌的形成过程中涉及到物体的高度和距离的关系，而这种关系可以用
勾股定理来描述，因此勾股定理可以帮助我们理解地貌的形成过程。
06
总结与回顾
勾股定理的重要性和应用价值
勾股定理是几何学中一个非常重要的定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关 系，对于解决几何问题具有关键作用。
建筑中的支撑结构需要精确计算和设计，勾股定理可以帮助建筑师确 定支撑结构的尺寸和形状，以确保建筑物的承重能力。
勾股定理在航天工程中的应用
确定飞行轨道
在航天工程中，勾股定理被用来确定飞行器的轨道和速度 ，以确保飞行器能够准确到达目标。
导航
飞行器在飞行过程中需要精确的导航，勾股定理可以帮助 飞行员计算出飞行器的位置和方向，以确保飞行器的安全 和准确性。
04
勾股定理的变式和推广
勾股定理的变式
勾股定理的逆定理
如果一个三角形的三条边满足勾 股定理的条件，那么这个三角形
是直角三角形。
勾股定理的推广
如果一个三角形的两条边长分别 为a和b，且它们的夹角为α，那 么这个三角形的第三条边长c满
足$c^2 = a^2 + b^2 2ab\cos(α)$。
勾股定理的变形
在现实生活中，勾股定理的应用非常广泛，例如在建筑、测量、航空等领域都有实 际应用。
通过对勾股定理的学习和应用，可以更好地理解几何学的基本概念和原理，提高解 决实际问题的能力。
学习勾股定理的收获和感悟
学习勾股定理需要掌握其基本 概念和定理，了解其历史背景 和证明方法。
通过学习和实践，可以培养自 己的逻辑思维能力和空间想象 力，同时提高对数学的兴趣和 热情。
17.1.1勾股定理课件(45张)
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；
c a
b
c a
b
也可以表示为
c2
+4•
ab 2
∵ (a+b)2
c2
+4•
ab 2
= a2+2ab+b2 = c2 +2ab
c a
b
c a
b
∴a2+b2=c2
美国总统的证明
伽菲尔德经过反复 的思考与演算，终于弄 清楚了其中的道理，并 给出了简洁的证明方 法．1876年4月1日，伽 菲尔德在《新英格兰教 育日志》上发表了他对 勾股定理的这一证法。 1881年，伽菲尔德就任 美国第二十任总统后， 人们为了纪念他对勾股 定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就称这一 证法称为“总统”证法。
章前图中左下角的图案有什么意义？为什么选 它作为2002年在北京召开的国际数学家大会的会 徽？
本章我们将探索并证明勾股定理及其逆定理， 并运用这两个定理去解决有关问题，由此可以加 深对直角三角形的认识。
读一读 勾 股 世 界
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年 前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三 角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即 “勾三、股四、弦五”。故称之为“勾股定理”或“商高 定理” 。图1-1称为“弦图”，最早是由公元前3世纪我 国汉代的数学家赵爽在为《周髀算经》注解时给出的. 赵 爽利用它来证明勾股定理。在这本书中的另一处，还记载 了勾股定理的一般形式。
C A C的面积怎么求呢？
S正方形c
=
72
-4×
1 2
×4×3
25 （面积单位）
B
C
《勾股定理》PPT优秀课件
探究活动
分成四人小组，每个小组课前准备好4个全等的直角三角形和以直角三角形各边为边长的3个正方形（如右图）.
运用这些材料（不一定全用），你能另外拼出一些正方形吗？试试看，你能拼几种.
图１
图３
图２
方法一：
而
所以
即
，
，..ຫໍສະໝຸດ 因为，方法二：
，
化简得：
方法三：
，
化简得：
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
议一议：
（1）你能用直角三角形的两直角边的长a、b和斜边长c来表示图中正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°
16 9
？
？
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.
“割”
“补”
“拼”
（4）分析填表数据，你发现了什么？
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
13
右图
16
9
25
结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
2、我国数学家刘徽在他的《九章算术注》中给出的“青朱出入图” ：
证法四：（伽菲尔德证法1876年）
如图，Rt△ABE≌Rt△ECD，可知∠AED=90°；
证法五：（欧几里得证法公元前3世纪）
“新娘的轿椅”或“修士的头巾”
如图，Rt△ ABC中，∠ACB=90°，四边形ACHK、BCGF、ABED都是正方形，CN⊥DE，连接BK、CD。
分成四人小组，每个小组课前准备好4个全等的直角三角形和以直角三角形各边为边长的3个正方形（如右图）.
运用这些材料（不一定全用），你能另外拼出一些正方形吗？试试看，你能拼几种.
图１
图３
图２
方法一：
而
所以
即
，
，..ຫໍສະໝຸດ 因为，方法二：
，
化简得：
方法三：
，
化简得：
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
议一议：
（1）你能用直角三角形的两直角边的长a、b和斜边长c来表示图中正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°
16 9
？
？
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.
“割”
“补”
“拼”
（4）分析填表数据，你发现了什么？
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
13
右图
16
9
25
结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
2、我国数学家刘徽在他的《九章算术注》中给出的“青朱出入图” ：
证法四：（伽菲尔德证法1876年）
如图，Rt△ABE≌Rt△ECD，可知∠AED=90°；
证法五：（欧几里得证法公元前3世纪）
“新娘的轿椅”或“修士的头巾”
如图，Rt△ ABC中，∠ACB=90°，四边形ACHK、BCGF、ABED都是正方形，CN⊥DE，连接BK、CD。
初二数学《勾股定理》PPT课件
如果直角三角形两直角边分别为a， b，斜边为c，那么
即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.
a
c
勾
弦
b
股
在RT△ABC中，∠C=90°, ∠A 、∠B、 ∠C的对边分别为a 、b 、c ,则:
勾股定理的各种表达式：
c2=a2+b2 a2=c2-b2 b2=c2-a2
5米
B
A
C
12米
解：∵ＢＣ⊥ＡC， ∴在Ｒt△ＡＢＣ中， ＡＣ＝１２，ＢＣ＝５, 根据勾股定理，
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
①
81
144
x
y
z
②
③
625
576
144
169
如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为( )
B
A
勾 股 定 理
C
一、情景引入
如图，一根电线杆在离地面5米处断裂，电线杆顶部落在离电线杆底部12米处，电线杆折断之前有多高？
5米
B
A
C
12米
电线杆折断之前的高度=BC+AB=5米+AB的长
SA+SB=SC
图甲
图乙
A的面积
B的面积
C的面积
4
4
A
B
C
C
图甲
1.观察图甲，小方格 的边长为1. ⑴正方形A、B、C的 面积各为多少？
A.3米 B.4米 C.5米 D.6米
C
２、湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为( )
A
B
C
A.50米 B.120米 C.100米 D.130米
即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.
a
c
勾
弦
b
股
在RT△ABC中，∠C=90°, ∠A 、∠B、 ∠C的对边分别为a 、b 、c ,则:
勾股定理的各种表达式：
c2=a2+b2 a2=c2-b2 b2=c2-a2
5米
B
A
C
12米
解：∵ＢＣ⊥ＡC， ∴在Ｒt△ＡＢＣ中， ＡＣ＝１２，ＢＣ＝５, 根据勾股定理，
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
①
81
144
x
y
z
②
③
625
576
144
169
如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为( )
B
A
勾 股 定 理
C
一、情景引入
如图，一根电线杆在离地面5米处断裂，电线杆顶部落在离电线杆底部12米处，电线杆折断之前有多高？
5米
B
A
C
12米
电线杆折断之前的高度=BC+AB=5米+AB的长
SA+SB=SC
图甲
图乙
A的面积
B的面积
C的面积
4
4
A
B
C
C
图甲
1.观察图甲，小方格 的边长为1. ⑴正方形A、B、C的 面积各为多少？
A.3米 B.4米 C.5米 D.6米
C
２、湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为( )
A
B
C
A.50米 B.120米 C.100米 D.130米