利用导数解决含参的问题(word版含答案和详细解析)

利用导数解决含参的问题

【考纲要求】

（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.

（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.

【命题规律】利用导数探求参数的范围问题每年必考，有时出现在大题，有时出现在小题中，变化比较多.

不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．这也是2018年考试的热点问题. 【高考题讲解及变式】 （一）利用单调性求参数的范围

例1.【2016全国1卷（文）】若函数1

()sin 2sin 3

f x x x a x =-+在(),-∞+∞上

单调递增，则a 的取值范围是（ ）．

A ．[]1,1-

B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

D ．11,3⎡

⎤--⎢⎥⎣

⎦

【答案】C

【方法技巧归纳】谈到必要条件的问题，如取cos 1x =，则转化为a ≤-3

1

，

因此直接选择C 选项．这缘于运气好，若不然取cos 0x =，则式子恒成立；取

cos 1x =-，则31

≤a ，此时只能排除A 选项．此外，可在未解题之前取1a =-，

此时()1s i n 2s i n 3f x x x x =--，则()21c o s 2c o s 3

f x x x '=--，但此时()22

011033

f '=--=-<，不具备在(),-∞+∞上单调递增，直接排除A ，B ，D.

故选C ．

【变式1】【改编例题中条件，给定函数在给定区间上单调（并未告知单增还是单减），求参数范围】【2018河北大名一中高三实验班第一次月考（理）】若函数()ln f x kx x =-在区间()1,∞+上为单调函数,则k 的取值范围是_______.

【答案】1k ≥或0k ≤

【解析】本题考查导数的运算、函数的性质,考查恒成立问题与转化思想、计算能力.在区间()1,∞+上, 11

01,k x x

<

<=-,当函数()ln f x kx x =-在区间()1,∞+上为单调增函数时, 1

k x

≥恒成立,则1k ≥;当函数()ln f x kx x =-在区间()1,∞+上为单调减函数时, 1

k x

≤

恒成立,则0k ≤,所以1k ≥或0.k ≤ 【变式2】【2017福建高三总复习训练（文）】已知函数

()22ln 5f x x x x c =+-+在(),1m m +不单调，则m 的取值范围是___.

【答案】()10,1,22⎡⎫

⋃⎪⎢⎣⎭

【解析】()()()22121225225x x x x f x x x x x

--+-=+='-= 令()0f x '=得12x =

或2x =，则1

12

m m <<+或21m m <<+，解得()10,1,2

2m ⎡⎫

∈⋃⎪⎢⎣⎭

. 【变式3】【改编例题中条件，给定函数存在单调区间，求参数取值范围】【2017河北武邑中学高三下学期期中考试（文）】已知函数()ln f x x =，

()2

12

g x x bx =

-（b 为常数）. （1）函数()f x 的图象在点()()1,f x 处的切线与函数()g x 的图象相切，求实数b 的值；

（2）若函数()()()h x f x g x =+在定义域上存在单调减区间，求实数b 的取值范围；

（3）若2b ≥， []12,1,2x x ∀∈，且12x x ≠，都有()()()()1212f x f x g x g x ->-成立，求实数b 的取值范围.

【答案】（1）1b =-±2）()2,+∞（3）2b =

试题解析:（1）因为()ln f x x =，所以()1

'f x x

=

，因此()'11f =， 所以函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-，

由2

1,{1,

2

y x y x bx =-=-得()22120x b x -++=. 由()2

4180b ∆=+-=

，得1b =-±（还可以通过导数来求b ）

（2）因为()()()h x f x g x =+= 2

1ln 2

x x bx +

- (0)x >， 所以()211

'x bx h x x b x x

-+=+-=，

由题意知()'0h x <在()0,+∞上有解，

因为0x >，设()21u x x bx =-+，因为()010u =>，

则只要2

0,{240,

b b >->解得2b >， 所以b 的取值范围是()2,+∞. （3）不妨设12x x >，

因为函数()ln f x x =在区间[]1,2上是增函数， 所以()()12f x f x >，

函数()g x 图象的对称轴为x b =，且2b >. 当2b ≥时，函数()g x 在区间[]1,2上是减函数， 所以()()12g x g x <，

所以()()()()1212f x f x g x g x ->-， 等价于()()()()1221f x f x g x g x ->-， 即()()()()1122f x g x f x g x +>+， 等价于()()()h x f x g x =+= 2

1ln 2

x x bx +

-在区间[]1,2上是增函数，