2019年高中数学联赛冲刺卷3(命题人刘蒋巍)

2019年高中数学联赛冲刺卷3
一．填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分。

1.将2019表示成一个正整数等比数列的连续三项之和，则表达式为________
2.函数x x x x x f 2222sin 9cos 16cos 9sin 16)(+++=的值域为_______
3.已知复数1Z 、2Z 、3Z 满足：
1321===z z z ，11
33221=++z z z z z z ，则321z z z ++=________4.已知正三棱锥ABC D -的底面边长为4，侧棱长为8，过点A 作与侧棱DB、DC 均相交的截面AEF ∆，则AEF ∆周长的最小值为______
5.已知实数x 、y 满足y y x 63222=+，则y x +的最大值为______
6.设)0,2(A 、)2,4(B 为平面上两点，若C 为椭圆14
22=+y x 上的动点，则ABC ∆的面积的最大值为________
7.设)(x f 为定义在区间),0(+∞上的增函数，且对于任意的0>x ，
1))(1()(=+x f x
f x f ，则=)1(f _________
8.已知集合}Z ,222,|{∈=++==l k n m n
l k m m M n l k 、、、，则集合M 中所有元素之和等于_________
二、解答题：本大题共3小题，满分56分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9.（16分）设R a a a a ∈4321、、、，且13241=-a a a a ，记
4
231242322214321),,,(a a a a a a a a a a a a f +++++=求),,,(4321a a a a f 的最小值
10.（20分）设实数2≥a ，方程
012=+-ax x 的两根为1x 、2x ，,...)2,1(21=+=n x x S n
n n （1）证明：序列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+1n n S S 单调递减；（2）求a 的所有值，使得
1
...13221->++++n S S S S
S S
n n ,...)
2,1(=n
11.（20分）给定抛物线y x 42=及点)
15,0(D （1）求r 的值，使得对于抛物线的顶点O ，存在抛物线上的另外两点A 、B 满足：以D 为圆心、r 为半径的⊙D 是OAB ∆的内切圆。

（2）证明：对于抛物线上的点)1,2(P ，也存在抛物线上的另外两点M ，N ，使得⊙D 成为PMN ∆的内切圆；并确定此时直线MN 的方程。

加试
一．（本题满分40分）设实数c b a ,,满足1=++c b a ，0>abc ，求证：
.4
12+<++abc ca bc ab
二.（本题满分40分）如图，在锐角三角形ABC 中，
,60 ≠∠BAC 过点C B ,分别作三角形ABC 的外接圆的切线CE BD ,，且满足BC CE BD ==，直
线DE 与AC AB ,的延长线分别交于点G F ,。

设CF 与BD 交于点M ，
CE 与BG 交于点N 。

证明：.
AN AM =
三．（本题满分50分）求所有的函数Z
:，使得对于任意
f→
Z
的Z
、，均有
y
x∈
f f
x
f
-y
f
=
x
f
y
(
))
)(
1
(
))
(-
(
-
四.（本题满分50分）若实数5>a ，证明：满足
21215aq
q p <--的有理数（既约分数）q
p 只有有限多个。