1.4.4 由参数方程所确定的函数的求导法则

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1.4.4 由参数方程所确定的函数的求导法则
一、求导法则
二、典型例题
三、小结
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一、求导法则
x = ϕ (t ) 若参数方程确定 y与 x间的函数关系 , y = ψ (t ) 称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x = 2t , 2 y = t ,
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作业
1.认真看书。 1.认真看书。认真看书 2.习题1.4中的相关练习题选做一 2.习题1.4中的相关练习题选做一道小题。习题1.4中的相关练习题选做
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b = − 2 csc 3 t . a
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三、小结
参数方程求导法: 参数方程求导法: 实质上利用复合函数求导法则. 实质上利用复合函数求导法则求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式. 求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式.
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一阶导数
x =ϕ (t), ′ d y ψ′ (t) y = dx = ϕ′ (t) ,
参数方程
x = ϕ (t ) 若函数二阶可导, 利用同样方法可以得到 y = ψ (t ) d dy 2 ( ) d y d dy y 对 x的二阶导数公式：的二阶导数公式： 2 = ( ) = dt dx dx dx dx dx dt
dx = 2 t + 2, dt dy dy 2t − = 0. +ε cos y dt dt
故
dx = 2( t + 1), dt dy 2t . = d t 1 − ε cos y
dy dy t . = d t dx = dx ( t + 1)(1 − ε cos y ) dt
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d 2 y ψ ′′( t )ϕ ′( t ) − ψ ′( t )ϕ ′′( t ) . 即 = 2 3 dx ϕ ′ (t )
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二、典型例题
x = a( t − sin t ) π 在t = 处的切线方程 . 例1 求摆线 2 y = a(1 − cos t )
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d ψ ′( t ) d dy ( ) ( ) = dt dx = dt ϕ ′( t ) dx ϕ ′( t ) dt
ψ ′′( t )ϕ ′( t ) − ψ ′( t )ϕ ′′( t ) 1 = ⋅ 2 ϕ ′ (t ) ϕ ′( t )
∴ y = ψ [ϕ ( x )]
−1
再设函数 x = ϕ ( t ), y = ψ ( t )都可导, 且ϕ ′( t ) ≠ 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dy dt dy 1 ψ ′( t ) dy dt ψ ′ ( t ) = ⋅ = ⋅ = . 即 = = dx dt dx dt dx ϕ ′( t ) dx dx ϕ ′ ( t ) dt dt
dy a sin t sin t dy dt = = = dx dx a − a cos t 1 − cos t dt
解
dy ∴ dx
t=
π 2
π sin 2 = 1. = π 1 − cos 2
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当t =
π
2
时, x = a(
π
2
− 1), y = a .
d2y 例3 设 x = a cos t，y = b sin t，求 2 . dx
解
dy dy dt b = = − cot t， dx dx a dt
d dy d 2 y dt dx = = 2 dx dx dt
b ′ − cot t − b ⋅ ( − csc 2 t ) a = a (a cos t )′ − a sin t
所求切线方程为
y − a = x − a ( − 1) 2
即
y = x + a (2 −
π
π
2
).
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x = t 2 + 2t, (0 < ε < 1). 例2 设由方程 2 t − y + ε sin y = 1,
确定函数 y = y( x ), 求方程组两边对t求导求导, 解方程组两边对求导, 得
2
x t= 2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
消去参数 t
x 2 x ∴y=t =( ) = 2 4
1 ∴ y′ = x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导? 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
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x = ϕ (t ) 在方程中, y = ψ (t )
设函数x = ϕ ( t )具有单调连续的反函数 t = ϕ −1 ( x ),