18 19第1章阶段复习课第1课立体几何初步

第一课立体几何初步

［核心速填］

(建议用时：5分钟)

1. 直观图的画法

(1) 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

①画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点0,画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'轴，两轴交于点0',且使/ x' O' y'= 45°或135°,它们确定的平面表示水平面.

②画线：已知图形中平行于或在x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于

或在x'轴、y'轴的线段.

③取长度：已知图形中在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，在

y轴上或平行于y轴的线段，长度为原来的一半.

(2) 立体图形直观图的画法

画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x' O' y'垂直的轴O' z 且平行于O' z'的线段长度不变.其他同平面图形的画法.

2. 表面积

(1) 多面体的表面积：多面体的各个面都是平面，表面积是各面面积之和.

(2) 旋转体的表面积：

①S 圆柱=2 n l + 2 n2;

②S圆锥=n l + n .

③5球=4 n R2.

3.体积

(1)柱体：V柱体=Sh(S为底面面积，h为咼).

⑵锥

体：

V锥体=3Sh(S为底面面积，h为咼).

(3)台体：V台体二如+ SS +

S' )h.其中S, S'分别表示台体的上、下底面面积.

4. 判定线线平行的方法

(1) 利用定义：证明线线共面且无公共点.

⑵利用平行性质：证明两条直线同时平行于第三条直线.

(3) 利用线面平行的性质定理：

a // a, a? B, aG b? a II b.

⑷球体:

(4) 利用面面平行的性质定理：

all p, aG Y= a,阳尸b? a II b.

(5) 利用线面垂直的判定定理的推论2: a丄a, b± a? a II b.

5. 判定线面平行的方法

(1) 利用定义：证明直线a与平面a没有公共点，往往借助反证法.

(2) 利用直线和平面平行的判定定理：

a? a, b? a, a I b? a // a

(3) 利用面面平行的性质的推广：

all B a? p? a //a

6. 判定面面平行的方法

(1) 利用面面平行的定义：两个平面没有公共点.

⑵利用面面平行的判定定理：

a? a, b? a, a G b = A, a I p , b I p? a// B

(3) 垂直于同一条直线的两个平面平行,即a丄a , a丄％a/p

(4) 平行于同一平面的两个平面平行，即all Y Y a// p

7. 证明直线与平面垂直的方法

(1) 利用线面垂直的定义：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面.

符号表示：？ a? a, I丄a? I丄a其中“ ？”表示“任意的”)

(2) 利用线面垂直的判定定理：若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.

符号表示：I丄m , I丄n , m? a n? a m G n = P? I丄a

(3) 若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

符号表示：a // b , a丄a? b丄a

(4) 利用面面垂直的性质定理：若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.

符号表示：alp, aG# I, m? a m l I ? m丄p

8. 证明平面与平面垂直的方法

利用平面与平面垂直的判定定理：若一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.

符号表示：I丄a I? p? a丄p

［体系构建］

通过前面的学习与核心知识的填写，请把本课的知识点以网络构建的形式展现出 来.

［题型探究］

空间几何体的表面积、体积

例 如图1-1,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，/ BAD = 60° 已知 PB = PD = 2, PA = 6.

【导学号：90662121】 图1-1

(1) 证明：PC 丄BD ;

(2) 若E 为PA 的中点，求三棱锥P-BCE 的体积.

［思路探究］(1)连接AC ,与BD 交于点O ,由PB = PD 以及底面为菱形的条件， 由线面垂直的判定定理可证 BD 丄平面APC ，从而可证；(2)利用四面体的等积变 换，转化为以B 为顶点的三棱锥，进而判断三棱锥P-BCE 的体积是三棱锥B-APC 的体积的一半，代入公式计算.

［解］(1)证明 连接AC ，交BD 于点0,连接PO. 因为底面ABCD 是菱形，所以AC 丄BD , B0= DO.

由 PB = PD 知，P0丄 BD.

又因为PO P AC = 0,所以BD 丄平面APC ,

因此BD 丄PC.

⑵因为E 是PA 的中点,

由 PB — PD — AB — AD — 2 知，△ ABD ^A PBD.

因为/ BAD — 60°

所以 PO — A0— .3, AC — 2 .3, B0— 1. 又 PA — .6,所以 P02 + A02— PA 2,所以 P0丄AC ,

所以V 三棱锥P-BCE — V 三棱锥C-PEB — *V 三棱锥 C-FAB

-1V 三棱锥 B-APC

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