平面直角坐标系(对称)
初一数学平面直角坐标系知识点总结
初一数学平面直角坐标系知识点总结初一数学平面直角坐标系知识点总结在日复一日的学习中，大家都没少背知识点吧？知识点也可以通俗的理解为重要的内容。
哪些知识点能够真正帮助到我们呢？以下是店铺整理的初一数学平面直角坐标系知识点总结，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
初一数学平面直角坐标系知识点总结1平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
初一数学平面直角坐标系知识点总结2平面直角坐标系的用用很广，可以用坐标表示地理位置，也可以用坐标表示平移。
平面直角坐标系在平面“二维”内画两条互相垂直，并且有公共原点的数轴。
简称直角坐标系。
平面直角坐标系有两个坐标轴，其中横轴为X轴(x-axis)，取向右方向为正方向;纵轴为Y轴(y-axis)，取向上为正方向。
坐标系所在平面叫做坐标平面，两坐标轴的公共原点叫做平面直角坐标系的原点。
X轴和Y轴把坐标平面分成四个象限(quadrant)，右上面的叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。
象限以数轴为界，横轴、纵轴上的点及原点不属于任何象限。
一般情况下，x轴和y轴取相同的单位长度。
点的坐标建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标(coordinate)。
反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。
平面直角坐标系的性质
平面直角坐标系的性质平面直角坐标系是数学中常用的一种坐标系统，它由两个互相垂直的坐标轴组成。
在这个坐标系中，我们可以用有序数对来表示平面上的点，其中第一个数表示横坐标，第二个数表示纵坐标。
平面直角坐标系的性质具有以下几个方面：一、坐标轴及正方向平面直角坐标系由两个互相垂直的坐标轴组成，分别称为x轴和y 轴。
在这个坐标系中，x轴向右延伸为正方向，y轴向上延伸为正方向。
在数学中，我们约定x轴和y轴的正方向可以任意选取，但在同一平面上，坐标轴的正方向是一致的。
二、原点平面直角坐标系中的原点是坐标轴的交点，用符号O表示。
原点的坐标为(0, 0)，表示x轴和y轴的交点。
在坐标系中，原点是唯一确定的，而且它是平面上的特殊点。
三、四象限根据平面直角坐标系的性质，可以将平面分为四个象限。
第一象限是x轴和y轴的正方向都是正的坐标值的区域；第二象限是x轴负方向为负，y轴正方向为正的区域；第三象限是x轴和y轴的负方向都是负的坐标值的区域；第四象限是x轴正方向为正，y轴负方向为负的区域。
四、对称性平面直角坐标系具有对称性。
即对于坐标系中的任意一点P(x, y)，点P关于x轴对称的点为P'(x, -y)，关于y轴对称的点为P'(-x, y)，关于原点的对称点为P'(-x, -y)。
这种对称性在分析平面上的图形及求解问题时非常有用。
五、距离公式和斜率公式在平面直角坐标系中，我们可以通过距离公式和斜率公式来计算两个点之间的距离和直线的斜率。
两点之间的距离公式为：√((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)；直线的斜率公式为：斜率k = (y₂-y₁) / (x₂-x₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)分别表示两点的坐标。
总结：平面直角坐标系是一种常用的数学工具，它具有坐标轴及正方向、原点、四象限、对称性以及距离公式和斜率公式等性质。
在解决平面几何问题、代数问题和分析几何问题时，我们经常使用平面直角坐标系的性质来推导解答。
人教版数学九年级上册23.2.3关于原点对称的点的坐标教案
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
人教版数学九年级上册23.2.3关于原点对称的点23.2.3节，关于原点对称的点的坐标。教学内容主要包括以下两点：
1.理解并掌握平面直角坐标系中原点对称的概念。
2.学会求一个点关于原点对称的点的坐标，并能够运用这一性质解决实际问题。
具体内容包括：
-原点对称的定义及性质；
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。学生们将在坐标纸上标出点A(3, 4)，然后通过折叠或旋转的方式找到它关于原点对称的点A'，并验证坐标计算的正确性。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“原点对称在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《关于原点对称的点的坐标》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在平面直角坐标系中，是否思考过如何找到一点关于原点对称的点？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索原点对称的奥秘。
（3）实际问题的解决：将原点对称性质应用于实际问题，学生可能难以找到解决方法，需要引导和启发。
举例：在坐标平面上，找到两个点关于原点对称的点，求出这两对点的距离相等的关系。
平面直角坐标系对称问题
下面这些图形是不是轴对称图形？为什么？
返回
轴对称图形: 轴对称图形:
正方形、长方形、等腰三角形、等腰梯形 和圆都是轴对称图形。有的轴对称图形有不止 一条对称轴。
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练习
达
标
题
达
标
题
判断题: 判断题:
1、飞机图不一定是轴对称图形。 2、半圆有无数条对称轴。 （ （ ） ）
选择题: 选择题:
1、 有( )条对称轴。 )条对称轴。 A. 5 B. 10 B.小 B.小 C. 1 C.日 C.日 2、下面汉字( 、下面汉字( )是轴对称图形。 A.字 )是轴对称图形。 A.字
操作题: 操作题:（画出下面图形的对称轴）
返回
判断题: 判断题:
1、飞机图不一定是轴对称图形。 2、半圆有无数条对称轴。
√ （ ）
（× ）
选择题: 选择题:
1、 有( A )条对称轴。 )条对称轴。 A. 5 B. 10 B.小 B.小 C. 1 C.日 C.日 2、下面汉字( C )是轴对称图形。 A.字 、下面汉字( )是轴对称图形。 A.字
简单的轴对称图形１
轴对称图形
自学提示：
1、读一读（书上100~101页的内容） 页的内容） 读一读（书上100~101页的内容 2、做一做（书上的实验） 做一做（书上的实验） 3、想一想（通过实验，你有哪些 想一想（通过实验， 发现？） 发现？）
练习
自学提示：
1、读一读（书上100~101页的内容） 页的内容） 读一读（书上100~101页的内容 2、做一做（书上的实验） 做一做（书上的实验） 3、想一想（通过实验，你有哪些 想一想（通过实验， 发现？） 发现？）
关于对称轴对称的两个点的坐标关系
关于对称轴对称的两个点的坐标关系对称轴是我们在几何学中经常遇到的一个概念，它是指一个平面图形中的一条直线，将这条直线两侧的图形完全重合。
在图形中，对称轴是一条非常重要的线，它不仅可以用来描述图形的对称性，还可以用来求解对称轴上两个点的坐标关系。
对称轴上的两个点是指在对称轴上对称的两个点。
如果我们知道了其中一个点的坐标，那么我们就可以通过对称轴的性质来求出另一个点的坐标。
下面，我们将通过一些实例来说明对称轴上两个点的坐标关系。
实例1：在平面直角坐标系中，有一条对称轴y=2，一个点A（3，4）在对称轴上方，求对称轴上对称的点的坐标。
解：首先，我们可以通过对称轴的性质来得到两个点的纵坐标是相等的。
因为点A在对称轴上方，所以它的纵坐标比对称轴的纵坐标大，即4>2。
因此，对称轴上对称的点的纵坐标也是2+2=4。
然后，我们可以通过对称轴的性质来得到两个点的横坐标的和是相等的。
因为点A在对称轴上方，所以它的横坐标比对称轴的横坐标大，即3>0。
因此，对称轴上对称的点的横坐标应该是3-2=1。
因此，对称轴上对称的点的坐标为（1，4）。
实例2：在平面直角坐标系中，有一条对称轴x=-3，一个点B（2，-1）在对称轴左侧，求对称轴上对称的点的坐标。
解：同样地，我们可以通过对称轴的性质来得到两个点的横坐标是相等的。
因为点B在对称轴左侧，所以它的横坐标比对称轴的横坐标小，即2<-3。
因此，对称轴上对称的点的横坐标应该是2-(-3)=5。
然后，我们可以通过对称轴的性质来得到两个点的纵坐标的差是相等的。
因为点B在对称轴左侧，所以它的纵坐标比对称轴的纵坐标小，即-1<0。
因此，对称轴上对称的点的纵坐标应该是0-(-1)=1。
因此，对称轴上对称的点的坐标为（5，1）。
通过以上两个实例，我们可以看出，对称轴上对称的两个点的坐标关系是非常简单的，只需要利用对称轴的性质，就可以求出另一个点的坐标。
对于对称轴的应用，我们还可以通过对称轴的性质来判断一个点是否在对称轴上，或者通过对称轴的性质来求解图形的对称中心等问题。
平面直角坐标系与轴对称变换专题
第三讲 平面直角坐标系与轴对称变换专题第一节：直角坐标系与轴对称变换知识点回顾知识点一：轴对称、轴对称图形1、轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分是 重合 的，那么就称这样的图形为轴对称图形。
这条直线称为 对称轴 ， 对称轴 一定为直线。
2、轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形成 轴对称 ，两个图形中的对应点叫 对称点 。
知识点二：轴对称图形的性质1、轴对称图形的对应线段 相等 ，对应角 相等 ，对应点的连线被对称轴垂直平分 。
轴对称的两个图形，对应线段或延长线相交，交点在 对称轴 上。
2、轴对称图形变换的特征是不改变图形的 大小 和 形状 ，只改变图形的位置 ，新旧图形具有对称性。
例2：（2009湖北荆门）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则∠A ′DB =（ ）A ．40° B．30° C．20° D．10°解析： 有关折叠问题是中考常考的题型，必须要辨别清楚折叠前后图形和数量关系。
本题中，将∠A 折叠，出现了轴对称，∠CA ′D =∠A ，因为∠A =50°，所以∠CA ′D =50°。
在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =90°-∠A =40°。
∠CA ′D 是△ A ′B D 的一个外角，等于∠A ′DB 与∠B 之和，所以∠A ′DB =∠A ′DB -∠B =50°- 40°=10°。
应选择D 。
2.（2009湖南郴州）点(35)p ，关于x 轴对称的点的坐标为（ ）A ． (3,5)B ． (5,3)C ．(3,5)D ． (3,5)【答案】D知识点三：中心对称、中心对称图形1、中心对称图形：一个图形绕着某点旋转 一定角度 后能与自身 重合 ，这种图形叫中心对称图形，该点叫作 旋转中心 。
平面直角坐标系中的轴对称图形 -八年级数学上册课件(沪科版)
y
4
3D
C
2
1
B
关于 x 轴 对称的点的坐标 的特点是：
-5 -4
-3
-2
-1
O -1
A11
2
3B14
5x
-2
横坐标相等，纵坐标互为相反数. 已知点坐标 A(1,1) B(3,1)
-3
- D1
4
C(3,3)
C1
D(1,3)
关于x轴对称 的点的坐标
A1( 1,-1 )
B1( 3,-1 ) C1( 3,-3 )
2
C3，D3，并写出它们的坐标.
1A
B
-5 -4 -3
B3
-2 -1A-O13
1 2 3 4 5x
-2
已知点坐标
A(1,1)
C2
B(3,1)
-3
D2-
4
C(3,3)
D(1,3)
关于原点对称 的点的坐标
A2( -1,-1)
B2( -3,-1) C2( -3,-3)
D2( -1,-3)
探究 2
如图，在直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别
15.1.3 平面直角坐标系中的轴对称图形
1、线段的垂直平分线的定义 经过线段中点 并且垂直于这条线段的直线，叫做这条
线段的垂直平分线. 又叫做线段的中垂线.
2、轴对称的性质： 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应
点所连线段的垂直平分线.反过来成轴对称的两个图形中，对应点 的连线被对称轴垂直平分. 3、轴对称图形的性质
为 A(1,1)， B(3,1)， C(3,3)，D(1,3). 猜想：已知点 P(x,y)，它关于 原点 对称点的坐标为 P3(-x,-y )
平面直角坐标系对称变换
平面直角坐标系对称变换【摘要】平面直角坐标系对称变换是一种重要的数学概念，通过在平面直角坐标系下进行对称变换，可以改变图形的位置、形状和大小。
本文将介绍关于平面直角坐标系的基本概念，平面对称变换的定义以及其意义，同时讨论了各种对称变换方法和如何进行平面直角坐标系对称变换。
对称变换在几何学和工程学等领域有着广泛的应用，能够简化问题的求解过程并提高计算效率。
平面直角坐标系对称变换不仅在理论研究中具有重要意义，而且在实际应用中也起到了重要的作用。
展望未来，随着科学技术的不断发展，平面直角坐标系对称变换将继续在更多领域展现其重要性，成为数学研究和工程实践中不可或缺的一部分。
【关键词】平面直角坐标系对称变换、对称变换、基本概念、定义、意义、方法、应用领域、重要性、未来发展。
1. 引言1.1 什么是平面直角坐标系对称变换平面直角坐标系对称变换是指在平面直角坐标系中，通过某种规则将图形围绕某个中心点或轴进行对称操作，从而得到新的图形。
这种变换通常可以分为对称轴对称和点对称两种形式。
对称轴对称是指当图形绕着一条直线旋转180度时，图形和原图形完全一致；而点对称是指当图形围绕一个点旋转180度时，图形和原图形完全一致。
在平面几何学中，对称变换是一种非常重要的变换方式。
通过对称变换，我们可以更好地理解图形的性质、特点和关系。
对称变换可以帮助我们简化问题，找出规律，从而更加高效地解决一些复杂的数学问题。
对称变换还可以美化图形，增加图形的美感和艺术性，使得图形更加优雅和动人。
平面直角坐标系的对称变换是一种非常有趣且实用的数学概念，对于我们理解几何学、数学建模、图形设计等领域具有重要意义。
通过对称变换，我们可以更深入地探索数学世界的奥秘，同时也可以在实际应用中发挥其巨大的作用。
1.2 对称变换的重要性对称变换在平面直角坐标系中起着重要的作用，它能够帮助我们更好地理解和描述几何形体的特性和性质。
通过对称变换，我们可以将一个图形沿着某条直线、某个点或某个平面进行镜像、旋转或平移，从而得到新的图形。
平面直角坐标系：关于特殊直线对称问题
1、点P(3,5)关于直线y=x对称的点为点P1,关于y=-x对称的点为点P2,则点P1,P2的坐标分别为( )A. (3,5),(5,3) B. (5,3),(-5,-3) C. (5,3),(3,5) D. (-5,-3),(5,3)2、如图，在平面直角坐标系中，直线I是第一、三象限的角平分线。
实验与探究：(1) 由图观察易知A(0,2)关于直线I的对称点A'的坐标为(2,0),请在图中分别标明B(5,3)、C(-2,5) 关于直线I的对称点B'、C的位置,并写出他们的坐标：B' ___、C'__;归纳与发现：(2) 结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现：坐标平面内任一点 P(a, b)关于第一、三象限的角平分线I的对称点P'的坐标为 _(不必证明);运用与拓广：⑶已知两点D(1, -3)、曰-1,-4)，试在直线I上确定一点Q,使点Q到D. E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标。
3、点M(1,4-m)关于过点(5,0)且垂直于x轴的直线对称的点的坐标是___,若M关于过点(0, -3)且平行于x 轴的直线对称的点的坐标为(1,7)，则m=___.4、已知点P( — 3, 4)，则它关于过点(一1，0)且平行于y轴的直线对称的点的坐标为5、如图，在直角坐标系中，直线I是经过点(0,1)且平行于x轴的直线，则点(2, -2)关于直线I的对称6在平面直角坐标系中，直线I过点M(3,0)，且平行于y轴⑴如果△ABC三个顶点的坐标分别是A(-2,0), B(-1,0), q-1,2), △ABC关于y轴的对称图形是厶A1B1C1, △ A1B1C1关于直线I的对称图形是△ A2B2C2,写出△ A2B2C2的三个顶点的坐标；⑵如果点P的坐标是(-a,0),其中a>0,点P关于y轴的对称点是P1,点P1关于直线I的对称点是P2, 求PPZ 的长。
7、在直角坐标系中,△ ABO勺顶点坐标分别为0(0,0)、A(2a,0)、B(0, - a),线段EF两端点坐标为(-m,a+1),F(-m,1),(2a>m>a);直线I // y轴交x轴于P(a,0)，且线段EF与CD关于y轴对称，线段 CD(1) 求点N、M的坐标(用含m a的代数式表示);(2) △ ABO W^ MFE通过平移能重合吗？能与不能都要说明其理由，若能请你说出一个平移方案(平移的单位数用m a表示)。
坐标表示轴对称数学知识点归纳
坐标表示轴对称数学知识点归纳坐标表示轴对称数学知识点归纳大家要熟知三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。
用坐标表示轴对称小结：1.在平面直角坐标系中①关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数;②关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等;③关于原点对称的点横坐标和纵坐标互为相反数;④与X轴或Y轴平行的直线的两个点横(纵)坐标的关系;⑤关于与直线X=C或Y=C对称的坐标点(x, y)关于x轴对称的点的坐标为_ (x, -y)_____.点(x, y)关于y轴对称的点的坐标为___(-x, y)___.知识点总结：上面的内容要求大家掌握三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。
平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。
通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
数学平面直角坐标系的知识点
数学平面直角坐标系的知识点数学平面直角坐标系的知识点漫长的学习生涯中，是不是听到知识点，就立刻清醒了？知识点也不一定都是文字，数学的知识点除了定义，同样重要的公式也可以理解为知识点。
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数学平面直角坐标系的知识点11.平面直角坐标系：（1）在平面内两条有公共点并且互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系，通常把其中水平的一条数轴叫横轴或轴，取向右的方向为正方向；铅直的数轴叫纵轴或轴，取向上的方向为正方向；两数轴的交点叫做坐标原点。
（2）建立了直角坐标系的平面叫坐标平面．x轴和y轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限说明：两条坐标轴不属于任何一个象限。
2.点的坐标：对于平面直角坐标系内任意一点P，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足在x轴，y轴对应的数a,b分别叫做点P的横坐标，纵坐标，有序数对（a，b）叫做P的坐标。
3.点与有序实数对的关系：坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点，即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系。
数学平面直角坐标系的知识点2一、平面解析几何的基本思想和主要问题平面解析几何是用代数的方法研究几何问题的一门数学学科，其基本思想就是用代数的方法研究几何问题。
例如，用直线的方程可以研究直线的性质，用两条直线的方程可以研究这两条直线的位置关系等。
平面解析几何研究的问题主要有两类：一是根据已知条件，求出表示平面曲线的方程;二是通过方程，研究平面曲线的性质。
二、直线坐标系和直角坐标系直线坐标系，也就是数轴，它有三个要素：原点、度量单位和方向。
如果让一个实数与数轴上坐标为的点对应，那么就可以在实数集与数轴上的点集之间建立一一对应关系。
点与实数对应，则称点的`坐标为，记作，如点坐标为，则记作;点坐标为，则记为。
坐标原点关于直线对称的点的坐标
坐标原点关于直线对称的点的坐标
《坐标原点关于直线对称的点的坐标》
坐标原点关于直线对称是指，在平面直角坐标系中，坐标原点（0,0）关于直线上的一点（x,y）对称，那么坐标原点关于直线对称的另一点的坐标就是（-x,-y）。
由此可见，坐标原点关于直线对称的另一点的坐标是与原点关于直线上的一点的坐标成对称的，即它们的x轴和y轴坐标分别相反。
比如，原点关于直线上的一点的坐标是（2,3），那么坐标原点关于直线对称的另一点的坐标就是（-2,-3）。
坐标原点关于直线对称的另一点的坐标可以通过坐标变换来求解，方法是将原点关于直线上的一点的坐标（x,y）按照（x，-y）的形式变换，即可得到坐标原点关于直线对称的另
一点的坐标（-x,y）。
综上所述，坐标原点关于直线对称的另一点的坐标是与原点关于直线上的一点的坐标成对称的，可以通过坐标变换求解。
直角坐标系中的对称
直角坐标系中的有关轴对称一.各种对称模型公理1：两点之间线段最短.j lBB公理2：直线外一点与直线上各点的连线段中垂线段最短.O P Q二.例题选讲1.定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫做这个凸四边形的准内点。
如图①，PH=PJ，PI=PG，则点P就是四边形ABCD的准内点⑴如图②，∠AFD与∠DEC两角的角平分线相交于点P,求证：点P是四边形ABCD的准内点⑵分别画出图③中平行四边形和图④中梯形的准内点.2．（2011山东济宁，22，８分）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱,某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图），两村的坐标分别为A（2，3），B(12，7)．(1)若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管最短?(2)水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？（改编）（3）若在河道上建两座水泵站，且两座水泵站的距离是12，为节省费用应如何建水泵站？图①图②图③图④nmABKM（4）若河道的宽度是2，即河道一边在x 轴上，另一边在直线2y =-上，在河道另一侧有一村庄C ，点(6,4)C -,现要在A 、C 村之间修路，在河上要加一座桥，桥要与河道垂直，为节省费用应如何架设桥梁，如何铺路？【答案】解：（1）作点B 关于x 轴的对称点E ，连接AE ， 则点E 为（12，－7），设直线AE 的函数关系式为y =kx ＋b ，则23127k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得15k b =-⎧⎨=⎩， 所以，直线AE 解析式为y =－x ＋5当y=0时，x=5，所以，水泵站应建在距离大桥5千米的地方时，可使所用输水管道最短．（2）作线段AB 的垂直平分线GF ，交AB 于点F ，交x 轴于点G ， 设点G 的坐标为（x ，0），在Rt △AGD 中，AG 2=AD 2＋DG 2=32＋（x －2）2 在Rt △BCG 中，BG 2=BC 2＋GC 2=72＋（12－x ）2 ∵AG= BG ，∴32＋（x －2）2=72＋（12－x ）2 解得x =9．所以，水泵站建在距离大桥9千米的地方，可使它到张村、李村的距离相等．3. 已知直角坐标系中，,A B 两点的坐标分别是(2,3),(4,1)A B --,SHIDE (1).在x 轴上找一点p ，使PAB ∆的周长最短.(2).设,M N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问是否存在这样的点(,0),(0,)M m N n ，使得四边形的周长最小？若存在，求出,m n 的值。
数学平面直角坐标系的知识点
数学平面直角坐标系的知识点漫长的学习生涯中, 是不是听到知识点, 就立刻清醒了？知识点也不一定都是文字, 数学的知识点除了定义, 同样重要的公式也可以理解为知识点。
想要一份整理好的知识点吗？下面是店铺精心整理的数学平面直角坐标系的知识点, 供大家参考借鉴, 希望可以帮助到有需要的朋友。
数学平面直角坐标系的知识点11.平面直角坐标系:（1）在平面内两条有公共点并且互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系, 通常把其中水平的一条数轴叫横轴或轴, 取向右的方向为正方向；铅直的数轴叫纵轴或轴, 取向上的方向为正方向；两数轴的交点叫做坐标原点。
（2）建立了直角坐标系的平面叫坐标平面．x轴和y轴把坐标平面分成四个部分, 称为四个象限, 按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限说明: 两条坐标轴不属于任何一个象限。
2.点的坐标:对于平面直角坐标系内任意一点P, 过点P分别向x轴和y轴作垂线, 垂足在x轴, y轴对应的数a,b分别叫做点P的横坐标, 纵坐标, 有序数对（a, b）叫做P的坐标。
3.点与有序实数对的关系：坐标平面内的点可以用有序实数对来表示, 反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点, 即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系。
数学平面直角坐标系的知识点2一、平面解析几何的基本思想和主要问题平面解析几何是用代数的方法研究几何问题的一门数学学科, 其基本思想就是用代数的方法研究几何问题。
例如, 用直线的方程可以研究直线的性质, 用两条直线的方程可以研究这两条直线的位置关系等。
平面解析几何研究的问题主要有两类：一是根据已知条件, 求出表示平面曲线的方程;二是通过方程, 研究平面曲线的性质。
二、直线坐标系和直角坐标系直线坐标系, 也就是数轴, 它有三个要素: 原点、度量单位和方向。
如果让一个实数与数轴上坐标为的点对应, 那么就可以在实数集与数轴上的点集之间建立一一对应关系。
点与实数对应, 则称点的坐标为, 记作, 如点坐标为, 则记作;点坐标为, 则记为。
数学平面直角坐标系的知识点
数学平面直角坐标系的知识点数学平面直角坐标系是我们学习数学中的一个重要概念，它为我们解决各种几何和代数问题提供了强大的工具。
在这篇文章中，我们将深入探讨数学平面直角坐标系的基本概念及其应用。
一、数学平面直角坐标系的定义数学平面直角坐标系是由平面上的两条相互垂直的直线所确定的。
我们将这两条直线分别称为x轴和y轴，并将它们交点的位置定义为原点O。
这个坐标系能够将平面上的每个点唯一地表示为一个有序的数对(x, y)，其中x代表点在x轴上的位置，y代表点在y轴上的位置。
二、数学平面直角坐标系的要素数学平面直角坐标系包括原点、x轴、y轴以及四个象限。
原点是坐标系的起点，位于坐标系的中心。
x轴沿着水平方向延伸，正方向是从左向右。
y轴沿着垂直方向延伸，正方向是从下向上。
四个象限分别是第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，右上方为第一象限，右下方为第四象限，左上方为第二象限，左下方为第三象限。
三、数学平面直角坐标系的性质1. 对称性：数学平面直角坐标系是关于原点O对称的。
即，如果一个点的坐标为(x, y)，那么与它关于原点的对称点的坐标为(-x, -y)。
2. 距离公式：在坐标系中，两点之间的距离可以使用距离公式来计算。
假设点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，那么点A和点B之间的距离d可以用下面的公式表示：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]3. 圆方程：在坐标系中，圆的方程可以表示为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
四、数学平面直角坐标系的应用1. 几何应用：数学平面直角坐标系可以用来解决各种几何问题，例如计算两点之间的距离、判断两条线段是否相交等。
2. 代数应用：数学平面直角坐标系可以用来解决各种代数问题，例如表示线性方程、二次方程等。
我们可以通过在坐标系中绘制方程的图像来观察方程的性质和解的情况。
6平面直角坐标系-点的对称培优题和课后练习
平面直角坐标系【点的对称】【培优练习】1.+（b+2）2=0，则点M（a，b）关于y轴的对称点的坐标为_______．2.若|a﹣4|+（b﹣3）2=0，则A（a，b）关于y轴对称点的坐标为．3.若∣3a-2∣+(b+3)2=0,点A（a，b）关于x轴对称的点为B，点B关于y轴对称的点为C，则点C的坐标是。
4.已知M(0，2)关于x轴对称的点为N，线段MN的中点坐标是( )A.(0，-2)B.(0，0)C.(-2，0)D.(0，4)5.平面内点A(-1，2)和点B(-1，6)的对称轴是( )A.x轴B.y轴C.直线y=4D.直线x=-16.下列关于直线 x=1 对称的点是( )A．点（0 ，-3）与点（-2 ，-3）B．点（2 ，3）与点（-2 ，3）C．点（2 ，3）与点（0 ，3） D．点（2 ，3）与点（2 ，-3 )7.在平面直角坐标系中，点P（-1，3）与点P1（3，3）可以看成关于直线轴对称；8.在平面直角坐标系中，点P（-1，3）与点P2（-1，-5）可以看成关于轴对称；9.已知a＜0，那么点P（-a²-2，2-a）关于x轴对称的对应点P'在第象限10.已知点M（1-a，2a+2），若点M关于x轴的对称点在第三象限，求a的取值范围？11.已知点A的坐标为（2x+y-3，x-2y）。
它关于x轴对称的点A'的坐标为（x+3，y-4），求点A关于y轴对称的点的坐标。
12.已知A1、A2、A3……An中，A1与A2关于x轴对称，A2与A3关于y轴对称A3与A4关于x轴对称A4与A5关于y轴对称……如果A1在第二象限，那么A100在第几象限？理由？13.若点C（-2，-3）关于x轴的对称点为A，关于y轴的对称点为B，则△ABC的面积为。
14.当m 时，点P（2m+1，m-3）关于y轴的对称点在第四象限。
15.已知A（-1，2）和B（-3，-1）．试在y轴上确定一点P，使其到A、B的距离和最小，求P点的坐标．16.已知点P(m，3)，Q(-5,n)根据以下要求m,n确定的值.（1）P,Q两点关于X轴对称；（2）P,Q两点关于y轴对称；（3）PQ∥X轴.17.平面内点A（-1，2）和点B（-1，6）的对称轴是（）A．x轴 B．y轴C．直线y=4 D．直线x=-118.点（－3，4）向右平移5个单位长度后再关于x轴对称的点的坐标是．19.点（ａ＋2ｂ，3ａ－3）和点（－2ａ－ｂ－1，2ａ－ｂ）关于y轴对称，则ａ＝，ｂ＝．20.把图中的某两个小方格涂上阴影，使整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形．21.在下图中先画出△ABC关于直线ｌ1的轴对称图形△A1B1C1，再画出△A1B1C1关于直线ｌ2的轴对称图形△A2B2C2．22.如图，从△ABC到△A′B′C′是进行的平移变换还是轴对称变换，如果是轴对称变换，找出对称轴，如果是平移变换，是怎样平移的？23.如图，△ABC，求顶点A、B、C关于y轴对称点的坐标并在，坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△EDF。
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A(0,3)
x
0
C(0,-3) B(-3,-5)
D(3,-5)
作图： 2、 如图，作出三角形ABC关于原点对称 的图形三角形A’B’C’；并写出它们的坐标。
思考题
在平面直角坐标系中,已知三个点的 坐标分别为A1(1,1)、A2(0,2)、A3(-1,1) 一只电子蛙位于坐标原点处,第一次电子 蛙由原点跳到以A1为对称中心的对称点P1, 第二次电子蛙由P1点跳到以A2为对称中心 的对称点P2,第三次电子蛙由P2点跳到以A3 为对称中心的对称点P3 。按此规律,电子 蛙分别以A1, A2, A3为对称中心继续跳下 去.问当电子蛙跳了2011次后,电子蛙落点 的坐标是P2011（ )
横坐标互为相反数,纵坐标相等。 点 M（x, y）关于y轴对称的点的坐标为 (-x,y)
练习: 1、点P(-5, 6)与点Q关于y轴对称，则点Q的 (5,6) 。 坐标为_______
2、点M (a, -5)与点N(-2, b)关于y轴对称， 则a=_____, 2 b =_____ -5 。
探究3：
探究2：
y 5 B (-2,3) 4 3 2
描出点B（-2，3）
C（-3，-4）
A (2,3)
·
·
2
思考：关于y轴对称
的点的坐标具有怎样的 关系？
1
-4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 1 3 4 5 x
· C(-3, -4)
-4
D(3, -4) ·
归纳：关于y轴对称的点的坐标的特点是:
F（x,y）
B’（-4,0）
F’（-x,-y）
称：三角形A’OB’ 与三角形AOB 关于原点轴对称
作图：1、在平面直角坐标内，已知点A（0，3）与点C关于
x轴对称，点B（-3，-5）与点D关于y轴对称，写出点C，D的 坐标，并把这些点按A--B--C--D--A顺次联结起来，观察所得图 形的形状。 y
巩固练习 1、完成下表
点A的坐标 点A关于x轴的对称点 点A关于y轴的对称点 (-5, 6) (3,-2) (-4, -3) (-4, 3)
(-5, -6) (3,2) (5, 6)
(-3, -2) (4, -3) (-3,2) (4, 3)
点A关于原点的对称点 (5, -6)
2、已知点P(2a,3b)与点P’(8,6).
Y
描出点B（3，-2）
·
A(-3,2)
3 2 1
O
-4 -3 -2 -1 -1 -2
-3
1 2
B(3,-2)
·
3
4
5 X
思考：关于原点对称的
点的坐标具有怎样的关 系？
归纳:关于原点对称的点的坐标的特点是:
横坐标互为相反数,纵坐标也互为相反数。
点 M（x,y）关于原点对称的点的坐标为 （-x，-y）
(2)如图，三角形A1B1O是由三角形AOB经过某种变换后 得到的图形，观察点A与点A1、点B与点B1的坐标之间的 关系。三角形中任意一点E的坐标为（x,y），点E经过这 种变换后得到点E1,点E1的坐标是什么？ A（2,3） A1（-2,3）
B（4,0）
E（x,y）
B1（-4,0）
E1（-x,y）
归纳：关于x轴对称的点的坐标的特点是:
横坐标相等,纵坐标互为相反数。
点 M(x,y)关于x轴对称的点的坐标为（x,-y） 练习: 1、点P(-5, 6)与点Q关于x轴对称，则点Q的 (-5,-6) 。 坐标为__________ 2、点M (a, -5)与点N(-2, b)关于x轴对称， -2 5 。 则a=_____, b =_____
探究1： 描出点
平面直角坐标系
纵轴 y 这些点的横、纵坐标有什么特点？
A （ 2 ， 3）
C(-1,4)
B（2，-3） C（-1，4） D（-1，-4）
-4 -3 -2
·
5 4 3 2 1
你还能找出这样的点吗？ A（2，3） ·
-1
0 -1 -2 -3
1
2
3
4
5
x 横轴
· D（-1，-4)
-4
· B（2，-3）
课本P80，拓广探索 11.(1)如图，三角形COB是由三角形AOB经过某种变 换后得到的图形，观察点A与点C的坐标之间的关系。 三角形中任意一点M的坐标为（x,y），点M经过这种 变换后得到点N,点N的坐标是什么？ A（2,3） C（2,-3）
M（x,y）
N（x,-y）
称：三角形COB与 三角形AOB关于 x轴对称
4 b=____ -2； 若点p与点p’关于x轴对称，则a=____
-4 b=____ 2 ； 若点p与点p关于原点对称，则a=_____ b=____
3、根据下列点的坐标的变化，判断它 们进行了怎样的变换： ⑴（－１,３） ⑵（－５,－４） ⑶（３,４） ⑷（１,０） （－１,－３） （５,４） （－３,４） （－１,０）
称：三角形A1OB1与 三角形AOB关于 y轴对称
（3)如图，三角形A’OB’是由三角形AOB经过某种变换后 得到的图形，观察点A与点A’、点B与点B’的坐标之间的 关系。三角形中任意一点F的坐标为（x,y），点F经过这种 变换后得到点F’,点F’的坐标是什么？ A（2,3） A’（-2,-3）
B（4,0）
课堂小结
你有什么收获？ 你还有什么困惑？
作业：练习册
谢谢，指导
(x, -y) 点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为______ (-x, y) 点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为______ (-x, -y) 点（x, y）关于原点对称的点的坐标为______
口诀：关于哪轴对称哪不变 关于原点对称全部变
小游戏
一个同学说一个坐标及哪个 对称，让另一个同学说出其对称 的坐标
练习: 1、点P(-5, 6)与点Q关于原点对称，则点Q的 坐标为__________。 (5,-6)
2、点M (a, -5)与点N(-2, b)关于原点对称， 则a=_____, b =_____。
2
5
平面直角坐标系内对称点坐标的特点：
关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数 关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数 关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数