等腰三角形 课件

证明猜想、感悟性质
等腰三角形的两个底角相等。
已知： 在△ABC中，AB=AC
A
求证：∠B=C
想一想：
1.如何证明两个角相等？
议一议：
B
C
D
2.如何构造两个全等的三角形？
证一证
方法一：作底边上的中线
A
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
证明：作底边的中线AD，
则BD=CD.
细心观察、大胆猜想
△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
B
A
D
C 等腰三角形是轴对称图形. 折痕所在的直线是它的对称轴.
合作探究、彰显智慧
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
重合的线段
重合的角
A
AB与AC BD与CD
∠B 与∠C.
12
∠1 与∠2
AD与AD
∠ADB 与∠ADC BD C
小试牛刀
例1、（1)若等腰三角形顶角为30°,则它的另外两个角为
75°；,Leabharlann Baidu5°
（2）若等腰三角形一个底角为30°,则它的另外两个
角为_____30_°__,_12_0_°________；
（分类讨论思想)
变式一：若等腰三角形一个内角为30°,则它的另外两个
角为_ 75°,75°或30°,120°
∴ BD=CE
归纳总结、畅所欲言
顶角平分线（底边的中 线、底边上的高）所在
的直线是它的对称轴。
轴对称 图形
性质2：三线合一
（等腰三角形顶角平分线、 底边上的中线、 底边上的高相互重合）
性质1：等边对等角
（等腰三角形两个底角相等）
求有关等腰三角形的问题， 作顶角平分线、底边中线， 底边的高是常用的辅助线；
A BDC
如何证明等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线,底边上的 高互相重合呢？
利用性质，解决问题
建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角 板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重 物的绳子正好经过三角板底边中点，就说 房梁是水平的，你现在知道为什么吗?
由“三线合一”可知绳子一定 会垂直房梁，而绳子肯定是竖直的， 所以房梁是水平的．
；
变式二：若等腰三角形一个内角为90°,则它的另外两个 角为___4_5_°_,_4_5_°__________；
变式三：若等腰三角形一个内角为120°,则它的另外两个 角为___3_0_°_,_3_0_°__________；
注意：等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角中的一个，而底角只能 是锐角。
解:∵AB=AC，∴∠ABC=∠C
∵BD=BC ∴∠C=∠BDC， ∴∠ABC=∠C=∠BDC
方程 思想
∵BD=AD， ∴∠A=∠ABD
设∠A= x, 则∠ABD= x ∴∠BDC=∠A+∠ABD= 2x, ∴∠ABC=∠C=∠BDC= 2x, ∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴ x+2x+2x=180° 解得 x=36°， ∴在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°
BDC
注意：等边对等角指的是在同一个 三角形中的边和角.
如何证明等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线,底边上的 高互相重合呢？
总结归纳
性质1:等腰三角形的两个底角相等。 (简写成等边对等角).
符号语言： ∵在△ABC中,AB=AC ∴∠B=∠C(等边对等角).
注意：等边对等角指的是在同一个 三角形中的边和角.
∠AED+∠AEC=180° ∴∠ADB=∠AEC
在△ABD和△ACE中
∠ADB=∠AEC ∠B = ∠C
AB=AC
∴△ABD≌△ACE（AAS） ∴BD=CE
BD H
EC
证明:作AH ⊥BC于H
∵ 在△ABC中,AB=AC
∴ BH=CH
∵在△ADE中, AD=AE
∴ DH=EH
∴ BH-DH=CH-EH
在△BAD和△CAD中
AB=AC ( 已知 )，
BD=CD ( 已作 )， AD=AD (公共边)，
B DC
∴ △BAD≌ △CAD (SSS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
总结归纳
性质1:等腰三角形的两个底角相等。
A
(简写成等边对等角).
符号语言： ∵在△ABC中,AB=AC ∴∠B=∠C(等边对等角).
等腰三角形
创设情境，激发兴趣
建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角 板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重 物的绳子正好经过三角板底边中点，就说 房梁是水平的，你知道为什么吗?
欣赏图片、品味对称
欣赏图片、品味对称
1、理解并掌握等腰三角形的性质.(重点)
2、经历等腰三角形性质的探究，能初步运用等腰三 角形的性质解决有关问题.(难点)
跟踪训练
1、如图，在△ABC中，AB=AD=DC,∠BAD=20°， 则∠B=__8_0_°___, ∠C=__4_0_°___.
A
BD
C
2.如图，在△ABC中，AB=AC, 点D、E在BC上， 且AD=AE，求证：BD=CE
A
A
BD
EC
证明:∵AB=AC, AD=AE
∴∠B=∠C, ∠ADE=∠AED ∵∠ADB+∠ADE=180°
重合的角和线段有怎样的数量关系？
合作探究、彰显智慧
重合的角：
∠B=∠C ∠1 =∠2
底角 AD为顶角的平分线
∠ADB=∠ADC
重合的线段：
AD为底边上的高
BD=CD
AD为底边上的中线
AB=AC AD=AD
A
12
BD C
等腰三角形除了两腰相 等外，通过观察，你还 能发现其他的结论吗？
猜想一：等腰三角形的两个底角相等。 猜想二：等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线,底边上的高互相重合。
小试牛刀
2、如图，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC,∠BAC=90°）,点D是 BC边的中点 (1) ∠B= 45 度，∠C= 45 度 ， ∠BAD= 45 度 ，∠DAC= 45 度;
A
(2)写出图中所有相等的线段.
AB=AC BD=CD=AD
B
C
D
典型例题
如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。