椭圆的定义与性质(精.选)

椭圆的定义与性质

1．椭圆的定义

(1)第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距．

(2)第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数e (0

2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

x 2a 2＋y 2

b 2

＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2

b 2

＝1(a >b >0) 图形

性质

范围 －a ≤x ≤a －b ≤y ≤b

－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) B 1(0，－b )，B 2(0，b ) B 1(－b,0)， B 2(b,0) 焦点 F 1(－c,0) F 2(c,0) F 1(0，－c ) F 2(0，c ) 准线

l 1：x ＝－a 2c l 2：x ＝a 2

c

l 1：y ＝－a 2c l 2：y ＝a 2

c

轴 长轴A 1A 2的长为2a 短轴B 1B 2的长为2b

焦距 F 1F 2＝2c 离心率 e ＝c

a

，且e ∈(0,1)

a ，

b ，

c 的关系 c 2＝a 2－b 2 对称性 对称轴：坐标轴

对称中心：原点

1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)动点P 到两定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为4，则点P 的轨迹是椭圆．( )

(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )

(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )

(4)已知点F 为平面内的一个定点，直线l 为平面内的一条定直线．设d 为平面内一动点P 到定直线l 的距离，若d ＝5

4

|PF |，则点P 的轨迹为椭圆．( )

[解析] (1)错误，|P A |＋|PB |＝|AB |＝4，点P 的轨迹为线段AB ；(2)正确，根据椭圆的第一定义知PF 1＋PF 2＝2a ，F 1F 2＝2c ，故△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ；(3)错误，椭圆的离心率越大，椭圆越扁．(4)正确，根据椭圆的第二定义．

[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√

2．(教材习题改编)焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率为10

5

，则m ＝________.

[解析] 由题设知

a 2＝5，

b 2＝m ，

c 2＝5－m ，e 2＝

c 2a 2＝5－m 5＝(105)2＝2

5

，∴5－m ＝2，∴m ＝3.[答案] 3 3．椭圆的焦点坐标为(0，－6)，(0,6)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为20，则椭圆的标准方程为_____．

[解析] 椭圆的焦点在y 轴上，且c ＝6,2a ＝20，∴a ＝10，b 2＝a 2－c 2＝64，故椭圆方程为

x 264＋y 2

100

＝1. [答案] x 264＋y 2

100

＝1

4．(2014·无锡质检)椭圆x 24＋y 2

3＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当△F AB 的周长最大时，

△F AB 的面积是________．

[解析] 直线x ＝m 过右焦点(1,0)时，△F AB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a ＝8， 此时，|AB |＝2×b 2a ＝2×32＝3，∴S △F AB ＝1

2

×2×3＝3.[答案] 3

5．(2014·江西高考)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是

线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．

[解析] 设A (x 1

，y 1

)，B (x 2

，y 2

)，则⎩⎨⎧

x 21

a 2＋y 21

b 2

＝1，x 22a 2

＋y

22b 2

＝1，

∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2

＝0，

∴y 1－y 2x 1－x 2

＝－b 2a 2·x 1＋x 2

y 1＋y 2.

∵y 1－y 2x 1－x 2

＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－1

2，

∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.[答案] 2

2

考向1 椭圆的定义与标准方程

【典例1】 (1)(2014·全国大纲卷改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率

为

3

3

，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________． (2)(2014·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为________． [解析] (1)由条件知△AF 1B 的周长＝4a ＝43，∴a ＝ 3.

∵e ＝c a ＝33，c 2＋b 2＝a 2

，∴c ＝1，b ＝ 2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2

2

＝1.

(2)∵椭圆的一条准线为x ＝－4，∴焦点在x 轴上且a 2

c ＝4，又2c ＝4，∴c ＝2，∴a 2＝8，b 2＝4，

∴该椭圆方程为x 28＋y 24＝1.[答案] (1)x 23＋y 22＝1 (2)x 28＋y 2

4＝1,

【规律方法】

(1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决． (2)求椭圆的标准方程有两种方法

①定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．

②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a ，b ；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．

【变式训练1】 (1)(2013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于1

2，

则C 的方程是________．

(2)(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是x 2a 2＋y 2

25＝1(a ＞5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，弦

AB (椭圆上任意两点的线段)过点F 1，则△ABF 2的周长为________．

[解析] (1)右焦点F (1,0)，则椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1.

又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2

＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 2

3

＝1.

(2)∵a ＞5，∴椭圆的焦点在x 轴上，∵|F 1F 2|＝8，∴c ＝4，∴a 2＝25＋c 2＝41，则a ＝41. 由椭圆定义，|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 2|＋|BF 1|＝2a ，

∴△ABF 2的周长为4a ＝441.[答案] (1)x 24＋y 2

3

＝1 (2)441

考向2 椭圆的几何性质

【典例2】 (1)(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)，