方差分析重复测量资料的方差分析
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2. 对重复测量ANOVA检验结果中与时 间有关的F值的自由度进行调整（调小）
二、自由度调整方法1
二、自由度调整方法2
调整规则
第二节 单因素重复测量资料的 方差分析
重复测量资料的方差分析总思想： 将总变异分解为： 个体间（between subjects）变异 与 个体内（within subject）变异，
❖ 重复测量资料方差分析的条件： 1. 正态性 处理因素的各处理水平的样本个体之间是 相互独立的随机样本，其总体均数服从正态分布（；个体内不独立） 2. 方差齐性 相互比较的各处理水平的总体方差相等， 即具有方差齐同 3. 各时间点组成的协方差阵(covariance matrix)具有 球形性(sphericity)特征。
注：FEV1——最大呼气量
每一根线代表1只兔子
实例举例1
每一根线代表1位病人
实例举例2
重复测量设计的优缺点
v 优点：
每一个体作为自 身的对照，克服了个 体间的变异。分析时 可更好地集中于处理 效应.
因重复测量设计 的每一个体作为自身 的对照，所以研究所 需的个体相对较少， 因此更加经济。
• 缺点：
Repeated Measures Analysis of Variance
Univariate Tests of Hypotheses for Within Subject Effects
Adj Pr > F
Source
DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F G - G H - F
time
4 41880.78808 10470.19702 50.77 <.0001 <.0001 <.0001
time*type
4 951.18912 237.79728 1.15 0.3413 0.3312 0.3366
Error(time)
56 11548.64076 206.22573
Greenhouse-Geisser Epsilon 0.5172
球形对称的实际意义举例
协方差阵 A1 A2 A3 A4
A1
10 5 10 15
A2
5 20 15 20
A3
10 15 30 25
A4
15 20 25 40
s1-22 = 10 + 20 - 2(5) = 20 s1-32 = 10 + 30 - 2(10) = 20 s1-42 = 10 + 40 - 2(15) = 20 s2-32 = 20 + 30 - 2(15) = 20 s2-42 = 20 + 40 - 2(20) = 20 s3-42 = 30 + 40 - 2(25) = 20
第四节 趋势分析(trend analysis)
一 般 采 用 正 交 多 项 式 （ polynomial ） 分 析 某处理因素的均数随时间的变化情况。
Huynh-Feldt Epsilon
0.6517
Sphericity Tests
Mauchly's
Variables
DF Criterion Chi-Square Pr > ChiSq
Transformed Variates
ห้องสมุดไป่ตู้
9 0.1145431 26.904488 0.0015
Orthogonal Components 9 0.1145431 26.904488 0.0015
第三节 两因素重复测定资料的方差分析
重复测量资料的方差分析总思想： 将总变异分解为： 对象间（between subjects）变异 与 对象内（within subject）变异，
其中个体内变异是与重复因素有关的变量。
对象内（within subjects）变异的分解
Source type Error
SAS计算结果
Repeated Measures Analysis of Variance Tests of Hypotheses for Between Subjects Effects
DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F 1 2635.808000 2635.808000 4.03 0.0645 14 9163.545820 654.538987
滞留效应(Carry-over effect)
前面的处理效应有可能 滞留到下一次的处理.
潜隐效应(Latent effect)
前面的处理效应有可能 激活原本以前不活跃的效 应.
学习效应(Learning effect)
由于逐步熟悉实验，研 究对象的反应能力有可能 逐步得到了提高。
第一节 重复测量资料方差分析对 协方差阵的要求
Box(1954)指出，若球形性质得不到满足，则方 差分析的F值是有偏的，这会造成过多的拒绝本来是真 的无效假设（即增加了I型错误）。
一般ANOVA的协方差矩阵
重复测量资料的协方差矩阵
球形对称的实际意义
所有两两时间点变量间差值对应的方差相等
对于yi与yj两时间点变量间差值对应的方差 可采用协方差矩阵计算为：
重复测量的定义
重复测量(repeated measure)是指对同 一研究对象的某一观察指标在不同场合 （occasion，如时间点）进行的多次测量。
例如，为研究某种药物对高血压（哮喘 病）病人的治疗效果,需要定时多次测定受 试 者 的 血 压 （ FEV1 ） ， 以 分 析 其 血 压 （FEV1）的变动情况。
其中个体内变异是与重复因素有关的变量。
重复测量资料的单变量（univariate） 方差分析实例1
重复测量资料的单变量（univariate） 方差分析实例1
ANOVA表
平均值之间的多重比较
先采用第5章第4节的配对t检 验方法，计算需比较的两两均数 的t统计量，然后将这些样本统 计量t值与Bonferroni临界t值进行 比较。确定P值是否大于α
本例差值对应的方差精确相等，说 明球形对称。
球形对称的检验
用Mauchly法检验协方差阵是否为球形
H0：资料符合球形要求， H1：资料不满 足球形要求 检验的P值若大于研究者所选择的显著性 水准α时，说明协方差阵的球形性质得到 满足。
球形条件不满足怎么办？
常有两种方法可供选择：
1. 采用MANOVA（多变量方差分析方 法）（超出本书范围）
二、自由度调整方法1
二、自由度调整方法2
调整规则
第二节 单因素重复测量资料的 方差分析
重复测量资料的方差分析总思想： 将总变异分解为： 个体间（between subjects）变异 与 个体内（within subject）变异，
❖ 重复测量资料方差分析的条件： 1. 正态性 处理因素的各处理水平的样本个体之间是 相互独立的随机样本，其总体均数服从正态分布（；个体内不独立） 2. 方差齐性 相互比较的各处理水平的总体方差相等， 即具有方差齐同 3. 各时间点组成的协方差阵(covariance matrix)具有 球形性(sphericity)特征。
注：FEV1——最大呼气量
每一根线代表1只兔子
实例举例1
每一根线代表1位病人
实例举例2
重复测量设计的优缺点
v 优点：
每一个体作为自 身的对照，克服了个 体间的变异。分析时 可更好地集中于处理 效应.
因重复测量设计 的每一个体作为自身 的对照，所以研究所 需的个体相对较少， 因此更加经济。
• 缺点：
Repeated Measures Analysis of Variance
Univariate Tests of Hypotheses for Within Subject Effects
Adj Pr > F
Source
DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F G - G H - F
time
4 41880.78808 10470.19702 50.77 <.0001 <.0001 <.0001
time*type
4 951.18912 237.79728 1.15 0.3413 0.3312 0.3366
Error(time)
56 11548.64076 206.22573
Greenhouse-Geisser Epsilon 0.5172
球形对称的实际意义举例
协方差阵 A1 A2 A3 A4
A1
10 5 10 15
A2
5 20 15 20
A3
10 15 30 25
A4
15 20 25 40
s1-22 = 10 + 20 - 2(5) = 20 s1-32 = 10 + 30 - 2(10) = 20 s1-42 = 10 + 40 - 2(15) = 20 s2-32 = 20 + 30 - 2(15) = 20 s2-42 = 20 + 40 - 2(20) = 20 s3-42 = 30 + 40 - 2(25) = 20
第四节 趋势分析(trend analysis)
一 般 采 用 正 交 多 项 式 （ polynomial ） 分 析 某处理因素的均数随时间的变化情况。
Huynh-Feldt Epsilon
0.6517
Sphericity Tests
Mauchly's
Variables
DF Criterion Chi-Square Pr > ChiSq
Transformed Variates
ห้องสมุดไป่ตู้
9 0.1145431 26.904488 0.0015
Orthogonal Components 9 0.1145431 26.904488 0.0015
第三节 两因素重复测定资料的方差分析
重复测量资料的方差分析总思想： 将总变异分解为： 对象间（between subjects）变异 与 对象内（within subject）变异，
其中个体内变异是与重复因素有关的变量。
对象内（within subjects）变异的分解
Source type Error
SAS计算结果
Repeated Measures Analysis of Variance Tests of Hypotheses for Between Subjects Effects
DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F 1 2635.808000 2635.808000 4.03 0.0645 14 9163.545820 654.538987
滞留效应(Carry-over effect)
前面的处理效应有可能 滞留到下一次的处理.
潜隐效应(Latent effect)
前面的处理效应有可能 激活原本以前不活跃的效 应.
学习效应(Learning effect)
由于逐步熟悉实验，研 究对象的反应能力有可能 逐步得到了提高。
第一节 重复测量资料方差分析对 协方差阵的要求
Box(1954)指出，若球形性质得不到满足，则方 差分析的F值是有偏的，这会造成过多的拒绝本来是真 的无效假设（即增加了I型错误）。
一般ANOVA的协方差矩阵
重复测量资料的协方差矩阵
球形对称的实际意义
所有两两时间点变量间差值对应的方差相等
对于yi与yj两时间点变量间差值对应的方差 可采用协方差矩阵计算为：
重复测量的定义
重复测量(repeated measure)是指对同 一研究对象的某一观察指标在不同场合 （occasion，如时间点）进行的多次测量。
例如，为研究某种药物对高血压（哮喘 病）病人的治疗效果,需要定时多次测定受 试 者 的 血 压 （ FEV1 ） ， 以 分 析 其 血 压 （FEV1）的变动情况。
其中个体内变异是与重复因素有关的变量。
重复测量资料的单变量（univariate） 方差分析实例1
重复测量资料的单变量（univariate） 方差分析实例1
ANOVA表
平均值之间的多重比较
先采用第5章第4节的配对t检 验方法，计算需比较的两两均数 的t统计量，然后将这些样本统 计量t值与Bonferroni临界t值进行 比较。确定P值是否大于α
本例差值对应的方差精确相等，说 明球形对称。
球形对称的检验
用Mauchly法检验协方差阵是否为球形
H0：资料符合球形要求， H1：资料不满 足球形要求 检验的P值若大于研究者所选择的显著性 水准α时，说明协方差阵的球形性质得到 满足。
球形条件不满足怎么办？
常有两种方法可供选择：
1. 采用MANOVA（多变量方差分析方 法）（超出本书范围）