简单的线性规划问题(附答案)

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简单的线性规划问题

[学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题.

知识点一 线性规划中的基本概念

知识点二 线性规划问题 1.目标函数的最值

线性目标函数z =ax +by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y =-a b x +z b ,在y 轴上的截距是z

b ,

当z 变化时,方程表示一组互相平行的直线.

当b >0,截距最大时,z 取得最大值,截距最小时,z 取得最小值; 当b <0,截距最大时,z 取得最小值,截距最小时,z 取得最大值. 2.解决简单线性规划问题的一般步骤

在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,解决简单线性规划问题的步骤可以概括为:“画、移、求、答”四步,即,

(1)画:根据线性约束条件,在平面直角坐标系中,把可行域表示的平面图形准确地画出来,可行域可以是封闭的多边形,也可以是一侧开放的无限大的平面区域.

(2)移:运用数形结合的思想,把目标函数表示的直线平行移动,最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解.

(3)求:解方程组求最优解,进而求出目标函数的最大值或最小值. (4)答:写出答案.

知识点三 简单线性规划问题的实际应用 1.线性规划的实际问题的类型

(1)给定一定数量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源,使完成的任务量最大,收到的效益最大;

(2)给定一项任务,问怎样统筹安排,使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小. 常见问题有: ①物资调动问题

例如,已知两煤矿每年的产量,煤需经两个车站运往外地,两个车站的运输能力是有限的,且已知两煤矿运往两个车站的运输价格,煤矿应怎样编制调动方案,才能使总运费最小? ②产品安排问题

例如,某工厂生产甲、乙两种产品,每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A 、B 、C 三种材料的数量,此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的,这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产,才能使每月获得的总利润最大? ③下料问题

例如,要把一批长钢管截成两种规格的钢管,应怎样下料能使损耗最小? 2.解答线性规划实际应用题的步骤

(1)模型建立:正确理解题意,将一般文字语言转化为数学语言,进而建立数学模型,这需要在学习有关例题解答时,仔细体会范例给出的模型建立方法.

(2)模型求解:画出可行域,并结合所建立的目标函数的特点,选定可行域中的特殊点作为最优解.

(3)模型应用:将求解出来的结论反馈到具体的实例中,设计出最佳的方案.

题型一 求线性目标函数的最值

例1 已知变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

y ≤2,x +y ≥1,x -y ≤1,则z =3x +y 的最大值为( )

A .12

B .11

C .3

D .-1

答案 B

解析 首先画出可行域,建立在可行域的基础上,分析最值点,然后通过解方程组得最值点的坐标,代入即可.如图中的阴影部分,即为约束条件对应的可行域,当直线y =-3x +z 经

过点A 时,z 取得最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧ y =2,x -y =1⇒⎩

⎪⎨⎪

x =3,y =2,此时z =3x +y =11.

跟踪训练1 (1)x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

x +y -2≤0,x -2y -2≤0,

2x -y +2≥0,若z =y -ax 取得最大值的最优解不唯一...

,则实数a 的值为( ) A.1

2或-1 B .2或1

2

C .2或1

D .2或-1

(2)若变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

x -y +1≤0,x +2y -8≤0,

x ≥0,则z =3x +y 的最小值为________.

答案 (1)D (2)1

解析 (1)如图,由y =ax +z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距,

故当a >0时,要使z =y -ax 取得最大值的最优解不唯一,则a =2; 当a <0时,要使z =y -ax 取得最大值的最优解不唯一,则a =-1.

(2)由题意,作出约束条件组成的可行域如图所示,当目标函数z =3x +y ,即y =-3x +z 过点(0,1)时z 取最小值1.

题型二 非线性目标函数的最值问题

例2 设实数x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

x -y -2≤0,x +2y -4≥0,

2y -3≤0,

(1)x 2+y 2的最小值; (2)y

x

的最大值. 解 如图,画出不等式组表示的平面区域ABC ,

(1)令u =x 2+y 2,其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ,y )与原点的距离的平方.

过原点向直线x +2y -4=0作垂线y =2x ,则垂足为⎩⎪⎨⎪⎧

x +2y -4=0,y =2x 的解,即⎝⎛⎭⎫

45,85, 又由⎩⎪⎨⎪⎧

x +2y -4=0,2y -3=0,

得C ⎝⎛⎭⎫1,3

2, 所以垂足在线段AC 的延长线上,故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC |= 1+⎝⎛⎭

⎫322=

13

2

, 所以,x 2+y 2的最小值为13

4

.

(2)令v =y

x ,其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ,y )与原点相连的直线l 的斜率为v ,即v

y -0

x -0

.由图形可知,当直线l 经过可行域内点C 时,v 最大, 由(1)知C ⎝⎛⎭

⎫1,32, 所以v max =32,所以y x 的最大值为3

2

.

跟踪训练2 已知x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

x ≥0,y ≥0,

x +y ≥1,

则(x +3)2+y 2的最小值为________.

答案 10

解析 画出可行域(如图所示).(x +3)2+y 2即点A (-3,0)与可行域内点(x ,y )之间距离的平

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