(完整版)天体运动中的追及相遇问题

天体运动中的追及相遇问题
信阳高中陈庆威2013.09.17
在天体运动的问题中，我们常遇到一些这样的问题。

比如，A、B两物体都绕同一中心天体做圆周运动，某时刻A、B相距最近，问A、B下一次相距最近或最远需要多少时间，或“至少”需要多少时间等问题。

而对于此类问题的解决和我们在直线运动中同一轨道上的追及相遇问题在思维有上一些相似的地方，即必须找出各相关物理量间的关系，但它也有其自身特点。

根据万有引力提供向心力，即当天体速度增加或减少时，对应的圆周轨道就会发生相应的变化，所以天体不可能在同一轨道上实现真正意义上的追及或相遇。

天体运动的追及相遇问题中往往还因伴随着多解问题而变得更加复杂，成为同学们学习中的难点。

而解决此类问题的关键是就要找好角度、角速度和时间等物理量的关系。

一、追及问题
【例1】如图1所示，有A、B两颗行星绕同一颗恒星M做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则
①经过多长时间，两行星再次相距最近？
②经过多长时间，两行星第一次相距最远？
解析：A、B两颗行星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力
，因此T1<T2。

可见当A运动完一周时，B还没有达到一周，但是要它们的相距最近，只有A、B行星和恒星M的连线再次在一条直线上，且A、B在同侧，从角度上看，在相同时间内，A比B多转了2π；如
果A 、B 在异侧，则它们相距最远，从角度上看，在相同时间内，A 比B 多转了
π。

所以再次相距最近的时间t 1，由；第一次相
距最远的时间t 2，由。

如果在问题中把“再次”
或“第一次”这样的词去掉，那么就变成了多解性问题。

【例2】如图2，地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动。

地球的轨道半径为R ，运转周期为T 。

地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线的夹角叫地球对行星的观察视角（简称视角）。

已知该行星的最大视角为θ，当行星处于最大视角处时，是地球上天文爱好者观察该行星的最佳时期。

若某时刻该行星正好处于最佳观察期，问该行星下一次处于最佳观察期至少需经历多长时间？
解析：由题意可得行星的轨道半径θsin R r =
设行星绕太阳的运行周期为T /，由开普勒大三定律有： 23
23T r T R '
=，得：θ3sin T T =' 绕向相同，行星的角速度比地球大，行星相对地球
θ
θπππω33sin )sin 1(222T T T -=-'=∆
某时刻该行星正好处于最佳观察期，有两种情况：一是
刚看到；二是马上看不到,如图3所示。

到下一次处于最佳观察期至少需经历时间分别为
两者都顺时针运转：T t •--=∆-=
)
sin 1(2sin )2(2331θπθ
θπωθπ 两者都逆时针运转： T t •-+=∆+=
)sin 1(2sin )2(2332θπθ
θπωθπ 二、相遇问题
【例3】设地球质量为M ，绕太阳做匀速圆周运动，有一质量为m 的飞船由静止
开始从P 点沿PD 方向做加速度为a 的匀加速直线运动，1年后在D 点飞船掠过地球上空，再过3个月又在Q 处掠过地球上空，如图4所示（图中“S ”表示太阳）。

根据以上条件，求地球与太阳之间的万有引力大小。

视角 太阳
行星
图2
太阳
行星
地球 图3
θ θ
解析：飞船开始与地球相当于在D点相遇，经过3个月后，它们又在Q点相遇，
因此在这段时间内，地球与太阳的连线转过的角度。

设地球的公转周期为T，飞船由静止开始做加速度为a的匀加速直线运动，则
地球的公转半径为
所以，地球与太阳之间的万有引力大小为
【例4】从地球表面向火星发射火星探测器，设地球和火星都在同一平面上绕太阳做同向圆周运动，火星轨道半径r火为地球轨道半径r地的1．50倍，简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步进行：
第一步：在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足够动能，从而脱离地球引力作用成为一个沿地球轨道运动的人造卫星(如图5)；
第二步：在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度数值增加到适当值，从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道正好射到火星上(如图6)。

当探测器脱离地球并沿地球公转轨道稳定运行后，在某年3月1日零时测得探测器与火星之间的角距离为60°（火星在前，探测器在后），如图7所示。

问应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动机，方能使探测器恰好落在火星表
面？（时间计算仅需精确到日），已知：；。

解析：根据根据开普勒第三定律，可求出火星的公转周期T 火：
2323地
地
火火
T r T r =，题设地火r r .51=， 得：地火）（T T 3
5.1==1.840×365=671d
初始相对角距离θ∆=600。

点火前，探测器与地球在同一公转轨道同向运行，周期跟地球的公转周期相同，故相对火星的角位移为
10
0111)671
360365360(t t ∆•-=∆•∆=∆ωθ
探测器在适当位置点火后，沿椭圆轨道到与火星相遇所需时间2
d
T t =
因2
3
23
)25.2(地地第T r T r d = 得：2
d T t ==225.13地）（T ⨯=255d 在这段时间t 内，探测器的绝对角位移为1800，火星的绝对角位移为
00
137255671
360=⨯==t 火火ωθ
图7
图5
图6
探测器相对火星的角位移为000243137180=-=∆θ。

到探测器与火星相遇时，初始相对角距离θ∆（=600），应等于点火前探测器相对火星的角位移△θ1，与探测器沿椭圆轨道运动时间内相对火星的角位移△θ2之和，即
21θθθ∆+∆=∆
则0001174360=-=∆θ 而111t ∆•∆=∆ωθ
故得：38671
360
365360170
00
111=-=∆∆=∆ωθt d 已知某年3月1日零时，探测器与火星角距离为60°（火星在前，探测器在后），
点燃发动机时刻应选在当年3月1日后38天，注意到“3月大”（有31号），即应在4月7日零时点燃发动机。

以上几例中，有的问题我们采用了“相对角速度”处理同心圆周运动中的追击和相遇问题，就是以角速度较小的物体为参照物，把它看作静止不动，则角速度较大的物体以“相对角速度”绕它做圆周运动，这样计算起来就比运用几何知识来找角度间的关系来的要简单。