离散系统的稳定性条件和瞬态响应

(2)选择适当的方法将D(s)转换成D(z)；
(3)对G(s)进行离散化，用求得的D(z)和G(z)构成离散系统，并检查
离散系统的特性是否满足要求，若不满足要求，重新设计D(s)；
(4)用数字算法实现D(z)，即用差分方程表示D(z)。
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4 计算机控制系统设计（一）
2

2
a z 1 a
T z 1
将D(s)和D(z)作一比较
D(z)
2
a z 1 a
T z 1
D(s) a sa
结论：用梯形规则进行离散化，即用 2 z 1代替D(s)中的s。
T z 1
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近似转换公式：
前向矩形 后向矩形 梯规则
s ~ z 1 T
4 计算机控制系统设计（一）
－－按模拟系统设计方法进行设计
4.1 概述
混合系统
1
4.1计算机控制系统原理框图
模拟系统(按模拟系统设计方法进行设计) 离散系统(离散设计方法)
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4 计算机控制系统设计（一）
－－按模拟系统设计方法进行设计
4.1 概述
混合系统
连续系统
采样频率足够高 采样系统特性接近 模拟系统特性
2
整理得：u(kT) 1 (aT / 2) u[(k 1)T ] aT / 2 {e[(k 1)T ] e(kT)}
1 (aT / 2)
1 (aT / 2)
两边求z变换，并写成输ຫໍສະໝຸດ Baidu输入信号之比的形式，得：
D(z) U(z) E(z)

aT (z 1) (z aT )z aT
D(s) a sa
结论：用前向矩形规则进行离散化，即用(z-1)/T代替D(s)中的s。
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2)后向矩形规则
用后向矩形面积代替阴影部分的面积得；
u(kT) u[(k 1)T ] [au(kT) ae(kT)]T
整理得： u(kT) u[(k 1)T ] aTe(kT) 1 aT 1 aT
试用数值积分法对其进行离散化。
解：其微分方程的形式为：
u au ae 或 u au ae
两边求积分得：
t
u(t) [au( ) ae( ))]d
0
对离散系统如按采样间隔划分积分时间则
kT
u(kT) [au( ) ae( ))]d
0
(k 1)T
s ~ z 1 Tz
s ~ 2 z 1 T z 1
例：分别用前向矩形规则、后向矩形规则和梯 形规则对D(s)进行离散化，并求其极点．设采 样周期Ｔ＝１秒。
D(s)

s2

1 0.4s

0.68
解：(1)用前向矩形规则进行离散化
D前 (z)

D(s)
s z1 T

(z
1)2

1 0.4( z
两边求z变换，并写成输出输入信号之比的形式，得：
[1 (1 aT )z1]U (z) aTz 1E(z)
D(z)

U(z) E(z)

aTz 1 1 (1 aT )z 1

a (z 1) / T
a
将D(s)和D(z)作一比较
D(z)
a
(z 1) / T a
结论：用后向矩形规则进行离散化，即用(z-1)/Tz代替D(s)中的s。
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2) 梯形规则
用梯形面积代替阴影部分的面积得；
u(kT) u[(k 1)T ] T {au[(k 1)T ] ae[(k 1)T ] au(kT) ae(kT)}
1)

0.68

1
(z 0.8 j0.8)( z 0.8 j0.8)
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例：分别用前向矩形规则、后向矩形规则和梯 形规则对D(s)进行离散化，并求其极点．设采 样周期Ｔ＝１秒。
对象离散化
G(s) →G(z)
离散系统
设计D(s) D(s)→D(z)
设计简单，但离散化 时动态特性总要变坏
2
设计D(z)
设计时需要多次试算
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4 计算机控制系统设计（一）
－－按模拟系统设计方法进行设计
4.2 按模拟系统设计方法设计的步骤
(1)在连续系统中插入保持器，检查插入保持器后连续系统是否稳定， 如不稳定，重新设计D(s);
两边求z变换，并写成输出输入信号之比的形式，得：
D(z)

U(z) E(z)

aT (1 aT )

1
z 1
1 /(1
aT )
aTz
a
z(1 aT ) 1 (z 1) / Tz a
将D(s)和D(z)作一比较
D(z)
a
(z 1) /(Tz) a
D(s) a sa
前向矩形（蓝色图形） 用 {au[(k 1)T ] ae[(k 1)T ]}T 近似表示阴影面积 后向矩形（橘黄色图形）用[au(kT) ae(kT)]T 近似表示阴影面积
梯规则（绿色图形） 用 T {au[(k 1)T ] ae[(k 1)T ] au(kT) ae(kT)} 2
－－按模拟系统设计方法进行设计
4.3 数值积分法
数值积分法的基本思想：将模拟控制器的D(s)转换成微分方程，再 用差分方程近似该微分方程。
数值积分法
前向矩形规则 后向矩形规则
梯形规则
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例：设模拟控制器传递函数 D(s) U (s) a ， E(s) s a
近似表示阴影面积
将计算阴影面积的三种方式代入u(kT)，得三种计算规则：
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1)前向矩形规则
用前向矩形面积代替阴影部分的面积得；
u(kT) u[(k 1)T ] {au[(k 1)T ] ae[(k 1)T ]}T (1 aT )u[(k 1)T ] aTe[(k 1)T ]
kT
[au( ) ae( ))]d [au( ) ae( ))]d
0
(k 1)T
u[(k 1)T ] [au( ) ae( )在(k 1)T到kT上的积分 ]
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其几何意义如下图所示： 阴影部分的面积可用三种方法求得