达朗贝尔原理动静法(1)

联立方程(1)~(4)，解得
3 3 g 0.666g rad/s2 6.525 rad/s2
13 3 3 l
注1：应用达朗贝尔原理列力矩平衡方程时，矩心可任意选，但动量矩定理中矩 心不能任意选。所以由动静法写出2个动力学方程——比用平面运动微分方程少 写1个方程；
注2：在补充运动方程时，用到一些技巧，避开了中间未知量aA、 aB，只写出2 个运动学代数方程。
反力，故不能求aC。考虑重物、轮子和滚子 组成的物系，加惯性力后受力如图。 ❖考虑各惯性力和惯性力偶中的加速度和角
A M IC FIC
加速度可以统一，N可以在力矩方程中消去， ε 对O列力矩“平衡” 方程，可求aCΣ：mO (F) 0aC
C
EF
❖所有惯性力和惯性力偶均已知，对整 体列“平衡” 方程，可求出地面反力。
mg
aCx 30°
联立方程(1)~(6)，得
aBa A
3 3 g 0.666g rad/s2 6.525 rad/s2
13 3 3 l
此题共写出3个动力学方程，3个运动学方程，求解还是较繁的。
TB
aBA
B
13
第三篇 动力学 第16章 达朗贝尔原理（动静法）
现考虑用动静法求解。
解：画杆受力、运动图，如图。
图示系统。均质滚子A、滑轮B重量和半径均为 Q和r，滚子纯滚动，三角块固定不动，倾角为 ，重量为G，重物重量P。求滚子运动到斜面 中部时，质心C的加速度和地面给三角块的反 力。设三较块底边长b，斜面长L。
分析：
❖先考虑求aC。惯性力中包含aC。研究对象 如何取？
A C
Q
❖先尽量不拆开物系。考虑整体，包含地面
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第三篇 动力学 第16章 达朗贝尔原理（动静法）
三、平面运动刚体
动系：随质心平动。
任一质点： ai aC air
惯性力系：FIi miai miaC miair
向质心C简化： 主矢： FI ΣFIi
Σ(mi
ai
)
MaC
FIi
mi
air
ri
FI
aC ai
aC
C
M IC
例2（例14-11，刚体平面运动微分方程。
现用动静法求解）
A
均质杆AB，质量m，长l。在图示位置 释放。求此时杆的角加速度。
还记得前面如何求解的吗？
回顾一下。
解：画杆受力、运动图，如图。
刚体平面运 动微分方程：
M
aCx
MaCy
IC
ΣX (e) ΣY (e)
ΣmC (F
(e)
)
45 °
NA A
3
第三篇
动力学
第16章
达朗贝尔原理（动静法）
二、转动刚体
只讨论平面情形，即绕垂直于质量对称面之轴
O的转动刚体。
任一质点： ai ri
ain ri 2
惯性力系： FIi miri FIni miri 2
方主即法矢1：：FFII向 轴ΣOFM点Iia简C Σ化(FmIniai )M简aMCn化aC中—心—如M惯何a性C取力？MaCn
主矩：M IC M IO ΣmC (FI ) IO FI OC
FI C
M
FIn
IC
为什么？ IO M OC OC (IO M OC2 )
IC 转动刚体惯性力有两种加法：①在轴上加惯性力，在刚体上
即 M IC IC 加惯性力偶；②在质心上加惯性力，在刚体上加惯性力偶。
εC
OB Q
ΣY 0 YH P 2Q G FIP FIC sin 0 (5) aC
E
a
ΣmH (F ) 0
Q
D
mH
(FIP
P)(r
b) 2
Q
b 2
MIO
b
Lb
mH H G XH YHb
(Q sin FIC)(r 2 sin ) Q cos( 2 2 cos) MIC G 3 0
Q g
r 2
(1) ε aC
C
EF
且 aC r ΣmO(F) 0
QN
ε YO M IO
O
B
XO
Q a
P
FIP
(FIP P)r M IO (Q sin FIC )r M IC (Q cos N ) OE 0(2)
考虑滚子受力，列斜面法向平衡方程：
ΣFn 0 N Q cos 0
即 主矩：
FI
M IC
M aC
——惯性力
ΣmC
(FIi
)
Σmiri 'aC
ΣΣmmCir(i m'iaairC
miair MrC
)'aCΣ(Σrim'imri i'aaCirri'Σmmiairiir
) 'air
M IC Σmiri'2 IC
0
即 M IC IC ——惯性力偶
所以，平面运动刚体惯性力是：作用在质心上的惯性力和作用在刚体上的 惯性力偶。
°
cos30 (3)
3个方程，5个未知量
aCy aC A
aCx
aA
C mg
30
°
TB B
选A为基点，C为动点，画加速度图如图。 aCx aCy aA aC A
在水平方向上投影： aCx aA cos 45 aC A sin 30
(4)
aC A
l
2
在铅直方向上投影： aCy aA sin 45 aCA cos30
mi
aC
r
FIi
C
aC
向质心简化：
主矢： 主矩：
FI
ΣFIi
Σ(mi
aC
)
MaC
MIC ΣmC (FIi) Σri '(miaC
)
即 FI
Σmi
MaC ri 'aC
FI
—— 惯性力 MrC 'aC 0
所以，平动刚体惯性力只有作用在质心上的惯性力，
——惯性力偶
大小等于MaC ，方向与aC 相反。
QN
OB Q
P
G
ε YO M IO
O
B
XO
Q a
P
FIP
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第三篇 动力学 第16章 达朗贝尔原理（动静法）
解：I. 求加速度aC 。 研究重物、轮子、滚子整体，画受力图如图。
其中惯性力和惯性力偶大小：
FIP
P g
a
P g
aC
M IO
1 2
Q g
r 2
A M IC FIC
FIC
Q g
aC
M IC
1 2
FIy MaCy
M IC IC
（一）取分离体；
（二）画受力图（主动力、约束力、惯性力（偶））；
（三）列解“平衡” 方程。
FIx
FIy
ay
ax
M IC
问题：达朗贝尔原理（动静法）能 求解何种量？
只有此处是新的！
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第三篇 动力学 第16章 达朗贝尔原理（动静法）
例1（例12-1改，用达朗贝尔原理求解）
45 °
C
30
°
B
aCy
aCx
C
mg 30 °
TB
B
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第三篇 动力学 第16章 达朗贝尔原理（动静法）
NA
maCx N Acos45
(1)
A
maCy N Asin45 TB mg (2)
aA
1 12
ml 2
N Acos45
l 2
sin30
45
N Asin45
l 2
c os 30
TB
l 2
将前面结果代入以上三式，解得
P
FIP
(6)
XH
Q(Q sin P) cos
P 2Q
YH
P 2Q G
(Q sin P)2
P 2Q
m
(P
G)
b 2
Q
L 2
cos
Pb1
s in
2P
Q sin 2Q
P
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皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
NA
其中惯性力和惯性力偶：
FIx maCx , FIy maCy
A
MIC
aCy
M IC
1 12
ml 2
(a)
45
考虑列“平衡” 方程。由于NA，
°
TB
不要求，故列方程时尽量避开。
C
aCx TB
FIxmFIgy 30
°
B
ΣmA (F ) 0 可以吗？
TB
l
cos30
mg
l 2
cos30
FIx
l 2
即，对非平衡质点，若虚加上惯性力，则转化 为形式上的平衡问题，即质点所受主动力、约 束力和惯性力组成形式上的平衡力系，可象静 力学一样列“平衡” 方程，求解。
虚加于质点上的力 ——惯性力
2
第三篇 动力学 第16章 达朗贝尔原理（动静法）
二、质点系的惯性力、达朗贝尔原理 质点系每Байду номын сангаас质点的惯性力： FIi miai
a
A
C mg
30
°
式中
aC A
l 2
选B为基点，C为动点，画加速度图如图。
aCx aCy aB aC B
NA A
ε aCy
在铅直方向上投影：
aCy 0 aCB cos45
(4)
式中
aC B
l
2
至此，共4个方程，4个未知量
45
aB C
aCx
°
aC B mg 30
° aB
TB B
TB B
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第三篇 动力学 第16章 达朗贝尔原理（动静法）
5
第三篇 动力学 第16章 达朗贝尔原理（动静法）
特别注意：关于上述诸式中惯性力和惯性力偶“－”号的处理：
画图时——总是按照质心加速度和刚体角加速度相反方向画出惯性力与惯 性力偶；
写公式时——总是只写惯性力与惯性力偶的大小表达式。
如：图中画出惯性力和惯性力偶，而其表达式为：
FIx MaCx
解题步骤：
FIni
mi
FIaiin
FI ri
ai
C
M IO
aCn
FIn aC
FI FIn
注意：作用于轴O
O
主矩：MIO ΣmO (FIi) ΣmO (FIi ) Σ(FIi ri ) (Σmiri2) IO
即 M IO IO ——惯性力偶
O
方法2：向质心C简化 注意：作用于质心C 主矢——惯性力：完全同上 。
(3)
将(1)、(3)式代入方程(2)，可求得：
Q sin P
aC P 2Q g
A
M IC FIC
ε CT
aC
EF
QN
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第三篇 动力学 第16章 达朗贝尔原理（动静法）
II. 求地面反力。
ε
M IO
研究整体，画受力图如图。
ΣX 0 X H FIC cos 0 (4)
A M IC FIC
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
第三篇 动力学 第16章 达朗贝尔原理（动静法）
注：由此题可知，达朗贝尔原理与动量定理和动量矩定理等效。故要求用达朗 贝尔原理求解问题时，不能用此二定理，但可用动能定理。
第三篇 动力学 第16章 达朗贝尔原理（动静法）
每当讲到达朗贝尔原理，总有一种痛快的感觉——终于可以抛弃那些烦人的 概念和定理，什么动能、动量啊，各种各样的定理、守恒定律啊。感谢法国 科学家达朗贝尔吧！ 三大定理可解决所有动力学问题，但有些问题的求解并不方便，如多刚体动 力学（如机器人——物体多但自由度较少），而用分析力学的方法则较方便。 分析力学的基础则是： 达朗贝尔原理——用静力学方法解决动力学问题 虚位移原理 —— 用动力学方法解决静力学问题 达朗贝尔原理（动静法）特点：简单、新颖、实用，只用一个概念（惯性 力）、一个理论（达朗贝尔原理），而不用前面三大定理中诸多概念（动能、 动量、动量矩、功、冲量等）。
(5)
至此，共5个方程，6个未知量
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第三篇 动力学 第16章 达朗贝尔原理（动静法）
选A为基点，B为动点，画加速度图如图。
在铅直方向上投影：
NA A
aB aA aBA
aCy aA sin 45 aBA cos30 (6)
aA
aBA l
45°
共6个方程，6个未知量
aCy aC A
aA C
sin
30
FIy
l 2
cos30
M IC
0
(1)
ΣF 0 为沿斜面方向投影轴，如图。
TB cos45 mg cos45 FIx sin 45 FIy cos45 0 (2)
考虑(a)式，(1)(2)方程包含4个未知量：aCx， aCy， ， TB 。
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第三篇 动力学 第16章 达朗贝尔原理（动静法）
问题：既然达朗贝尔原理如此好用，是否可不讲三大定理而只讲此原理呢？
在求解众多动力学问题中，达朗贝尔原理是好用的。但由于其所用物理概念很
选A为基点，C为动点，画加速度图如图。
aCx aCy aA aC A
NA A
考虑刚才的处理方式，列上式投影 方程时避开aA，即在NA 方向投影。
aA
在NA 方向投影：
45 °
aCx cos45 aCy sin 45 0 aCA sin(45 30 ) (3)
ε aCy aC A
aCx
1
第三篇 动力学 第16章 达朗贝尔原理（动静法）
16.1 惯性力 达朗贝尔原理
一、质点的惯性力、达朗贝尔原理
m
我们知道：
F
静力学问题： 动力学问题：
F F
0 0
（主动力＋反 力＝0）——静力学方程
而是
ma
F
F ma 0
——动力学方程
FI ma
m
F FI 0
FI
F
形式上的平衡问题，——质点的达朗贝尔原理
组成一惯性力系
给所研究的质点系加上惯性力系后，则转化为形式上的平衡问题，可列任意
平衡方程求解。——质点系的达朗贝尔原理
然而，不可能对每个质点 问题：惯性力系（主要是刚体）如何简化？
加惯性力，需进行简化， 即对质点系整体如何加惯性力？
特别是对刚体。
16.2 刚体惯性力系的简化
一、平动刚体
惯性力系： FIi miaC