第六章 单元和形函数的构造

2 1
2 6
5
8结点 二次单元
1 8
①
3
η
ξ
3 4
ˆ = (1 + ξ ) (1 + η ) = 1 (1 + ξ )(1 + η ) N1 4 2 2 (1 − ξ ) (1 + η ) = 1 1 − ξ 1 + η ˆ N2 = ( )( ) 2 2 4 ˆ = (1 − ξ ) (1 − η ) = 1 (1 − ξ )(1 − η ) N3 2 2 4 ˆ = (1 + ξ ) (1 − η ) = 1 (1 + ξ )(1 − η ) N4 2 2 4
1 N i = (1 + ξ iξ )(1 + η iη ) 4
i = 1, 2,L , n
2 (1 − ξ ) 1 − η 2 N6 = ( ) 2 (1 − η ) 1 − ξ 2 N7 = ( ) 2 (1 + ξ ) 1 − η 2 N8 = ( ) 2
N5
(1 − η ) =
1− ξ 2 ) (
三角形边中点
N10 = 2 L1 L2 (1 + ζ )
N13 = 2 L1 L2 (1 − ζ ) N11 = 2 L2 L3 (1 + ζ ) N14 = 2 L2 L3 (1 − ζ ) N12 = 2 L1 L3 (1 + ζ ) N15 = 2 L1 L3 (1 − ζ )
∧ ∧
φ1 + φ 2
2
φ = H 1 (ξ ) a1 + H 2 (ξ ) a 2 + H 3 (ξ ) a 3
φ =
∑ H (ξ )a
i =1 i
3
i
由一维到二维，增加一点及形函数N 是解决“ 由一维到二维，增加一点及形函数N3，a3是解决“自动加 的一个思路。 密”的一个思路。 ② H 1 (ξ ) + H 2 (ξ ) + H 3 (ξ ) ≠ 1 结点参数a 不一定都具有结点场函数的物理意义. ③ 结点参数 i不一定都具有结点场函数的物理意义.
1 Ni = Li (1 + ζ ) (i = 1, 2,3) 2 1 N j = L j (1 − ζ ) ( j = 4,5, 6) 2
Li 为三角形面积坐标
1 N1 = (1 + ζ ) L1 2
1 N 5 = (1 − ζ ) L2 2
6.3.2 三角形棱柱单元 二、15结点二次三棱柱单元 15结点二次三棱柱单元
第六章 单元和形函数的构造
单元类型
单元类型
单元类型
形函数特点： 形函数特点：
u = Nδ
e
1 k = i N i ( xk , yk ) = 0 k ≠ i
e e
1．形函数Ni在i结点值为 ，在其余结点为零，即 ．形函数 结点值为1，在其余结点为零， 结点值为
2．在单元内任一点三个形函数之和等于1。即 ．在单元内任一点三个形函数之和等于 。
6.3 三维单元 6.3.1拉格朗日单元 拉格朗日单元
N I ,J ,K = l
(m) I
(ξ )l (η )l
(n) J
( p) k
(ς )
(I , J , K )
(m + 1) × (n + 1) × ( p + 1)
6.3.2 三角形棱柱单元
一、6结点线性三棱柱单元 形函数 1 ζ 3 2 6 4 5 6结点五面体单元
1 −η 2 ) (
3
7
4
ˆ −1N −1N N1 = N1 5 8 2 2
2 6
5
8结点 二次单元
1 8
ˆ −1N −1N N1 = N1 5 8 2 2 ˆ −1N −1N N2 = N2 5 6 2 2
3
7
4
ˆ −1N −1N N3 = N3 6 7 2 2
ˆ −1N −1N N4 = N4 7 8 2 2
2
5
1
结点7 ④ 结点7
6 3
η
N7
(1 − η ) =
2
1−ξ 2 ) (
ξ
7 4
ˆ −1N −1N N3 = N3 6 7 2 2 ˆ −1N N4 = N4 7 2
N8 2 ˆ −1N −1N N4 = N4 7 8 2 2
⑤ 结点8 结点8
2 6
5
8结点 二次单元
1 8
(1 + ξ ) =
=
j =1, j ≠ i
∏
n
(x − x j ) ( xi − x j )
i = 1, 2,L , n
x − x1 ξ= l
ξ=
0 ≤ ξ ≤1
(ξ1 = 0,L , ξ n = 1)
(ξ1 = −1,L , ξ n = 1)
引入无量纲坐标
2 x − ( x1 + xn ) l
−1 ≤ ξ ≤ 1
(ξ − ξ1 )(ξ − ξ 2 )L (ξ − ξi −1 )(ξ − ξi +1 )L (ξ − ξ n ) Ni = = li( n −1) (ξ ) (ξi − ξ1 )(ξi − ξ 2 )L (ξi − ξi −1 )(ξi − ξi +1 )L (ξi − ξ n )
2
9(1 + 3ξ )(1 − ξ 2 ) N4 = 16
6.2 二维单元 6.2.1拉格朗日矩形单元 拉格朗日矩形单元
(0, P) (I , J )
η
(r , p)
o
ξ
N I , J = l (ξ )l
(r ) I
( p) J
(η )
(0, 0)
(r , 0)
l
(r ) I
(ξ − ξ 0 )(ξ − ξ1 ) L (ξ − ξ I −1 )(ξ − ξ I +1 ) L (ξ − ξ r ) (ξ ) = (ξ I − ξ 0 )(ξ I − ξ1 ) L (ξ I − ξ I −1 )(ξ I − ξ I +1 ) L (ξ I − ξ r )
n
(x − x j ) ( xi − x j )
i = 1, 2,L , n
=l
( n −1) i
( x)
φ1 φ2 φ3
x1 x2 x3
xn
φ = ∑ N iφi
i =1
n
φn
( x − x1 )( x − x2 )L ( x − xi −1 )( x − xi +1 )L ( x − xn ) Ni = ( xi − x1 )( xi − x2 )L ( xi − xi −1 )( xi − xi +1 )L ( xi − xn )
x2
(1)
N1 = −
ξ (1 − ξ )
2
N3 = 1 − ξ 2
3.三次单元 3.三次单元
ξ
N2 =
ξ (1 + ξ )
2
(1 + ξ )(9ξ 2 − 1) N2 = 16
Hale Waihona Puke Baidu
x1
x3
x4
(1/ 3)
x2
(1)
(1 − ξ )(9ξ 2 − 1) N1 = 16
(−1) (−1/ 3)
N3 =
9(1 − 3ξ )(1 − ξ ) 16
ˆ (ξ )φ + N (ξ )φ + N (ξ )(φ − φ1 + φ 2 ) ˆ 二次单元 φ = N 1 1 2 2 3 3 2
x1
(−1)
x3
(0)
x2
(1)
a1 = φ 1 , a 2 = φ 2 , a 3 = φ 3 −
H1 = N 1 , H 2 = N 2 , H 3 = N 3
i =1
φn
( x − x1 )( x − x2 )L ( x − xi −1 )( x − xi +1 )L ( x − xn ) Ni = ( xi − x1 )( xi − x2 )L ( xi − xi −1 )( xi − xi +1 )L ( xi − xn )
=
j =1, j ≠ i
∏
6.3.2 三角形棱柱单元 二、15结点二次三棱柱单元 15结点二次三棱柱单元
角结点
1 Li (1 + ζ )(2 Li + ζ − 2) (i = 1, 2, 3) 2 1 N j = L j (1 − ζ )(2 L j + ζ − 2) ( j = 4, 5, 6) 2 Ni =
(ξ − ξ1 )(ξ − ξ 2 )L (ξ − ξi −1 )(ξ − ξi +1 )L (ξ − ξ n ) Ni = (ξi − ξ1 )(ξi − ξ 2 )L (ξi − ξi −1 )(ξi − ξi +1 )L (ξi − ξ n )
2.二次单元 2.二次单元
x1
(−1)
x3
(0)
0
1.线性单元 1.线性单元
x1
ξ1 = −1
ξ 2 = 1 N = 1 + ξ = l (1) (ξ ) 2 2
x2
(ξ − ξ 2 ) (ξ − 1) (1 − ξ ) (1) = N1 = = = l1 (ξ ) (ξ1 − ξ 2 ) ((−1) − 1) 2
2
6.1一维拉格朗日单元 一维拉格朗日单元
(η ) = (η − η 0 )(η − η1 ) L (η − η J −1 )(η − η J +1 ) L (η − η p ) (η J − η 0 )(η J − η1 ) L (η J − η I −1 )(η J − η J +1 ) L (η J − η p )
l
( p) J
6.2 二维单元 6.2.1拉格朗日矩形单元 拉格朗日矩形单元
6.1一维拉格朗日单元 一维拉格朗日单元
φ1 φ2 φ3
x1 x2 x3
xn
φ = ∑ Niφi
i =1
n
φn −1 ≤ ξ ≤ 1
(ξ1 = −1,L , ξ n = 1)
(ξ − ξ1 )(ξ − ξ 2 ) L (ξ − ξi −1 )(ξ − ξi +1 )L (ξ − ξ n ) Ni = = li( n −1) (ξ ) (ξi − ξ1 )(ξi − ξ 2 ) L (ξi − ξi −1 )(ξi − ξi +1 )L (ξi − ξ n )
7
4
2
5
1
结点5 ② 结点5
η
N5
(1 + η ) =
2
1− ξ 2 ) (
ξ
3 4
ˆ −1N N1 = N1 5 2 ˆ −1N N2 = N2 5 2
N6
结点6 ③ 结点6
6 3
2
5
1
η
ξ
4
(1 − ξ ) =
2
(1 −η )
2
ˆ −1N −1N N2 = N2 5 6 2 2
ˆ −1N N3 = N3 6 2
(1 − ξ ) (1 + η ) = 1 =
(1 − ξ )(1 + η )
1 N i = (1 + ξ iξ )(1 + η iη ) 4
i = 1, 2,L , n
6.2.2 Serendipity 四边形单元
8结点 二次单元 12结点 12结点 三次单元
5结点
6结点
6.2.2 Serendipity 四边形单元
结点1 结点1
3
1 N1 = L1 (1 + ζ )(2 L1 + ζ − 2) 2
2
ˆ = 1 (1 + ς ) × L (2 L − 1) N1 1 1 2
N 7 = L1 (1 − ζ )
2
1
ˆ −1N N1 = N1 7 2
6.3.2 三角形棱柱单元
6.4 阶谱单元 φ =
线性单元
∑Nφ
∑N
i
=0
3．能保证用形函数定义的未知量(如场函数 在相邻单元之间 ．能保证用形函数定义的未知量 如场函数 如场函数)在相邻单元之间 的连续性。 4．应包含任意线性项，以便用它定义的单元位移函数满足 ． 常应变条件。
6.1一维拉格朗日单元 一维拉格朗日单元
n
φ1 φ2 φ3
x1 x2 x3
xn
φ = ∑ N iφi
i =1 i
n
i
φ =
∑N
i =1
n
i
( ξ )φ i
ˆ ˆ φ = N 1 ( ξ ) φ 1 + N 2 ( ξ )φ 2
x1
ξ1 = −1
x2
ξ2 = 1
ˆ = 1−ξ , N = 1+ ξ ˆ N1 2 2 2
二次单元
φ = N 1 ( ξ ) φ 1 + N 2 ( ξ )φ 2 + N 3 ( ξ )φ 3
x2
(1)
x1
(−1)
x3
(0)
N1 = −
ξ (1 − ξ )
2
N3 = 1 − ξ N 2 =
2
ξ (1 + ξ )
2
ˆ − 1 N N = 1−ξ 2 N = N − 1 N ˆ N1 = N1 3 3 2 2 3 2 2 ˆ (ξ )φ + N (ξ )φ + N (ξ )(φ − φ1 + φ 2 ) ˆ φ = N1 1 2 2 3 3 2
2
1
η
N I , J = l (ξ )l
(r ) I
( p) J
(η )
ξ
3 4
N1
N2
(1 + ξ ) (1 + η ) =
2 2
1 = (1 + ξ )(1 + η ) 4
2 2 4 (1 − ξ ) (1 − η ) = 1 1 − ξ 1 − η N3 = ( )( ) 2 2 4 (1 + ξ ) (1 − η ) = 1 1 + ξ 1 − η N4 = ( )( ) 2 2 4
形函数
1 Li (1 + ζ )(2 Li + ζ − 2) (i = 1, 2,3) 角结点 2 1 N j = L j (1 − ζ )(2 L j + ζ − 2) ( j = 4,5, 6) 2 Ni =
矩形边中点
N k + 6 = Lk (1 − ζ 2 ) ( k = 1, 2,3)