曲面立体截切分析
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第6章 曲面立体及截交线
截平面位置 立 体 图 与V面平行 与H面平行 与V面垂直
投 影 图
六、圆球体切割
例5-11 圆球被一正垂面截切，完成其水平投影和侧 例5-11 求圆球被正垂面截切的截交线 面投影。 绘图步骤： (1)截交线的投影为椭圆，投 影椭圆上短轴的两个端点Ⅰ、 Ⅱ与长轴的两个端点Ⅲ 、 Ⅳ； (2)求截交线与轮廓线的交点 Ⅴ 、Ⅵ ； (3)求截交线与轮廓线的交点 Ⅶ 、Ⅷ ； (4)依次光滑连接各点； (5)检查并加粗可见轮廓线。 点击播放视频
c
a
例5-5 圆柱表面取点
a” (c”) b”
b
二、圆锥的投影及表面取点
圆锥的形成 圆锥是由一直母线绕与它相交的轴线旋转一周形 成的，具有一个底面和一个回转面（圆锥面）。 圆锥面上所有素线相交于锥顶，所有纬圆平行。
锥顶 圆锥面 母线 底面 轴线 素线 纬圆
(a) 圆锥面的形成 点击图片播放视频
(b) 圆锥的结构特征 圆锥的特征
s’
例5-6 圆锥表面取点
s”
a”
e’
e”
s
a e
素线法
二、圆锥的投影及表面取点
2、表面取点
例5-6 圆锥表面取点
例5-6 如图所示，已知点 A在圆锥表面上，并知它 的正面投影a’，可采用下 列两种方法求出点A的水 平投影a和侧面投影a” 。
s’
s”
a”
s a
纬圆法
三、圆球的投影及表面取点
圆球的形成 一圆周绕自身的一直径旋转一周即形成圆球， 形成的回转面称为圆球面。平面与球面的交线为 一个圆，称为纬圆。
(c) 圆锥面的结构特征
二、圆锥的投影及表面取点
1、投影分析 圆锥面的轮廓素线 圆锥的轴线垂直 SA、SB将圆柱面分成可 于H面。圆锥底圆为水 见的前半部分与不可见 平面，水平投影反映实 的后半部分。 形，其正面和侧面投影 轮廓素线SC、SD将 积聚为水平直线。 圆柱面分成可见的左半 圆锥面的水平投影 部分与不可见的右半部 为圆，其正面和侧面投 分。 影为三角形。
投 影 图
六、圆球体切割
例5-11 圆球被一正垂面截切，完成其水平投影和侧 例5-11 求圆球被正垂面截切的截交线 面投影。 绘图步骤： (1)截交线的投影为椭圆，投 影椭圆上短轴的两个端点Ⅰ、 Ⅱ与长轴的两个端点Ⅲ 、 Ⅳ； (2)求截交线与轮廓线的交点 Ⅴ 、Ⅵ ； (3)求截交线与轮廓线的交点 Ⅶ 、Ⅷ ； (4)依次光滑连接各点； (5)检查并加粗可见轮廓线。 点击播放视频
c
a
例5-5 圆柱表面取点
a” (c”) b”
b
二、圆锥的投影及表面取点
圆锥的形成 圆锥是由一直母线绕与它相交的轴线旋转一周形 成的，具有一个底面和一个回转面（圆锥面）。 圆锥面上所有素线相交于锥顶，所有纬圆平行。
锥顶 圆锥面 母线 底面 轴线 素线 纬圆
(a) 圆锥面的形成 点击图片播放视频
(b) 圆锥的结构特征 圆锥的特征
s’
例5-6 圆锥表面取点
s”
a”
e’
e”
s
a e
素线法
二、圆锥的投影及表面取点
2、表面取点
例5-6 圆锥表面取点
例5-6 如图所示，已知点 A在圆锥表面上，并知它 的正面投影a’，可采用下 列两种方法求出点A的水 平投影a和侧面投影a” 。
s’
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s a
纬圆法
三、圆球的投影及表面取点
圆球的形成 一圆周绕自身的一直径旋转一周即形成圆球， 形成的回转面称为圆球面。平面与球面的交线为 一个圆，称为纬圆。
(c) 圆锥面的结构特征
二、圆锥的投影及表面取点
1、投影分析 圆锥面的轮廓素线 圆锥的轴线垂直 SA、SB将圆柱面分成可 于H面。圆锥底圆为水 见的前半部分与不可见 平面，水平投影反映实 的后半部分。 形，其正面和侧面投影 轮廓素线SC、SD将 积聚为水平直线。 圆柱面分成可见的左半 圆锥面的水平投影 部分与不可见的右半部 为圆，其正面和侧面投 分。 影为三角形。
《曲面立体截切》课件
《曲面立体截切》PPT课
件
探索曲面立体截切的艺术和科学，深入挖掘这个引人入胜的领域。了解曲线
的特性，从球、圆柱体、锥体到任意曲面，学习切割技巧和图形表示的方法。
曲面介绍
从简单的曲面开始，深入了解曲率、几何性质和数学公式。
1
曲面定义
曲面是一个由曲线组成的空间形体。
2
曲面类型
从平面、球面、圆柱面、锥面逐渐深入理解各种曲面特征。
1
图形表示
深入了解图形表示的基本原理和示例，学习如何制作具有良好视觉效果的图像。
2
动画演示
了解动画制作的方法和关键诀窍，掌握如何通过动画演示实现复杂的截切过程。
3
动态截切 ⚡️
深入探讨动态截切的技巧和实现方法，学习如何带有交互功能的动态演示。
曲面截切案例
了解曲面截切在实际应用中的经典案例和关键技术。
球面截切技术
圆柱面截切技术
圆环面截切技
掌握圆环面截切的关键步骤和数
从欧拉定理到割球法。
和应用场景。
学方法。
曲线特性
深入了解曲线的特性和性质，为后续截切技术打下基础。
Bézier曲线 ⏯️
片段曲线
探讨Bézier曲线的性质和优点，学习如何应用于
了解片段曲线的基本原理和构建方法，掌握利用
截切和设计领域。
片段曲线进行截切的技巧和工具。
曲线插值
曲线平滑性
深入了解曲线插值的应用场景和数学原理，学习
探究曲线的平滑性特点和应用场景，学习如何利
如何利用插值算法进行曲线设计。
用平滑曲线进行合理截切。
图形表示和动画演示
掌握曲面截切的图形表示和动画演示方法，让截切过程更加形象化。
件
探索曲面立体截切的艺术和科学，深入挖掘这个引人入胜的领域。了解曲线
的特性，从球、圆柱体、锥体到任意曲面，学习切割技巧和图形表示的方法。
曲面介绍
从简单的曲面开始，深入了解曲率、几何性质和数学公式。
1
曲面定义
曲面是一个由曲线组成的空间形体。
2
曲面类型
从平面、球面、圆柱面、锥面逐渐深入理解各种曲面特征。
1
图形表示
深入了解图形表示的基本原理和示例，学习如何制作具有良好视觉效果的图像。
2
动画演示
了解动画制作的方法和关键诀窍，掌握如何通过动画演示实现复杂的截切过程。
3
动态截切 ⚡️
深入探讨动态截切的技巧和实现方法，学习如何带有交互功能的动态演示。
曲面截切案例
了解曲面截切在实际应用中的经典案例和关键技术。
球面截切技术
圆柱面截切技术
圆环面截切技
掌握圆环面截切的关键步骤和数
从欧拉定理到割球法。
和应用场景。
学方法。
曲线特性
深入了解曲线的特性和性质，为后续截切技术打下基础。
Bézier曲线 ⏯️
片段曲线
探讨Bézier曲线的性质和优点，学习如何应用于
了解片段曲线的基本原理和构建方法，掌握利用
截切和设计领域。
片段曲线进行截切的技巧和工具。
曲线插值
曲线平滑性
深入了解曲线插值的应用场景和数学原理，学习
探究曲线的平滑性特点和应用场景，学习如何利
如何利用插值算法进行曲线设计。
用平滑曲线进行合理截切。
图形表示和动画演示
掌握曲面截切的图形表示和动画演示方法，让截切过程更加形象化。
第3章-平面立体及曲面立体的截切
二、
圆锥体
S
圆锥的形成
直角三角形绕其 直角边旋转而成
锥顶 圆锥面
底面
轴线
过圆锥面上任一点可作一条直线通过锥顶该点 的运动轨迹为一圆周
Wang-chenggang
例1 例2 例3 例4
33
33/95
圆锥体的投影
s' S s"
s 对V面的 轮廓线 对W面的 轮廓线
Wang-chenggang
轮廓线投影 的对应关系 圆锥面投影 可见性判断
4/95
Wang-chenggang
基本概念 截交线的 概念
截交线的概念：平面与立体表面相交而产生的交线。 平面 基本体 截交线
截平面 共有线
平面体
截 交 线 形 状 取 决 于
回转体
截交线
结束 返回
Wang-chenggang
基本体的形状 截平面相对于立体的位置 5
截平面
截断面
5/95
截交线的 性质
检查 正面投影积聚成直线
Wang-chenggang
水平、侧面投影均为椭圆
43/95
一 组 平 面 与 圆 锥 相 交
中点
Wang-chenggang
44
44/95
例 求组合回转体的水平投影
双曲线
q'
p'
q"
p"
Q
P
加深 求与大圆柱的交线 求与小圆柱的交线 求与圆锥的交线
Wang-chenggang
截平面与立体的相交形式
基本形式
单体单面
单体多面
分别分析单面 与单体交线 截平面与截平面 之间的交线分析
截交线 小结 立体与立 体相交
4-2 曲面立体-截交线
§4-2 截交线
3、平面切割圆球体
圆球有无穷多条回转轴线，故它与平面的截交线总是圆。 当截平面为投影面平行面时，截交线的三投影为一个圆与 两条直线段。
PV QV
截平面为水平面
§4-2 截交线
截平面为侧平面
3、平面切割圆球体
例7 完成半球切槽的水平投影和侧面投影。
分析： 切槽由一对侧平面和一个水平面组成，截平面与圆球面的交线都是圆。
PV
分析：
截平面是正垂面，截交线 的正面投影积聚为直线，底面 投影随圆柱面积聚为一个圆； 其侧面投影待求。
§4-2 截交线
1、平面切割圆柱体
例1 求正垂面P与直立正圆柱面的截交线。
PV 5'(6') 1'(2') 4' 8 4 7 7'(8') 2 6 3 3' (6 ”) 2” 8” (3 ”) 7” 4” (5 ”) 1”
§4-2 截交线
(2)求侧平面的水平投影； (3)求直线ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和ⅦⅧ 的 侧面投影；
(4)求圆弧及水平截断面的侧面投影； (5)完成作图。
1、平面切割圆柱体
例5 完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。
矩形
分析：
圆环的一部 分
1.形体分析：基本体为空心圆柱体； 2.位置分析：弄清楚被切的位置； 3.截断面分析：搞清楚截断面的形状； 4.投影分析：截断面分别为侧平面和水平面。
RV
截交线为 椭圆
椭圆的短轴与 圆柱直径相等
§4-2 截交线
绘制 截交 线三 视图
1、平面切割圆柱体
(4)当截平面倾斜于圆柱轴线且与顶面相交时，截交线是由 直线段和椭圆弧围成的平面图线。 截切动画 三视图中截切
3、平面切割圆球体
圆球有无穷多条回转轴线，故它与平面的截交线总是圆。 当截平面为投影面平行面时，截交线的三投影为一个圆与 两条直线段。
PV QV
截平面为水平面
§4-2 截交线
截平面为侧平面
3、平面切割圆球体
例7 完成半球切槽的水平投影和侧面投影。
分析： 切槽由一对侧平面和一个水平面组成，截平面与圆球面的交线都是圆。
PV
分析：
截平面是正垂面，截交线 的正面投影积聚为直线，底面 投影随圆柱面积聚为一个圆； 其侧面投影待求。
§4-2 截交线
1、平面切割圆柱体
例1 求正垂面P与直立正圆柱面的截交线。
PV 5'(6') 1'(2') 4' 8 4 7 7'(8') 2 6 3 3' (6 ”) 2” 8” (3 ”) 7” 4” (5 ”) 1”
§4-2 截交线
(2)求侧平面的水平投影； (3)求直线ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和ⅦⅧ 的 侧面投影；
(4)求圆弧及水平截断面的侧面投影； (5)完成作图。
1、平面切割圆柱体
例5 完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。
矩形
分析：
圆环的一部 分
1.形体分析：基本体为空心圆柱体； 2.位置分析：弄清楚被切的位置； 3.截断面分析：搞清楚截断面的形状； 4.投影分析：截断面分别为侧平面和水平面。
RV
截交线为 椭圆
椭圆的短轴与 圆柱直径相等
§4-2 截交线
绘制 截交 线三 视图
1、平面切割圆柱体
(4)当截平面倾斜于圆柱轴线且与顶面相交时，截交线是由 直线段和椭圆弧围成的平面图线。 截切动画 三视图中截切
曲面立体的截交线
第二节 曲面立体的截交线[Intersection Plane and Curved Surface Solid]平面与曲面立体截交时，交线一般是由曲线、直线围成的封闭平面图形。
曲面体截交线上的每一点，都是截平面与曲面体表面的一个公有点。
当截平面的投影有积聚性时，截交线的投影就积聚在截平面有积聚性的同面投影上，可利用曲面表面上取点、线的方法求截交线。
表5-1平面与圆柱的交线一、 圆柱的截交线[Intersection of Planes and Cylinders]平面与圆柱相交，根据截平面与圆柱轴线不同的相对位置，圆柱上的交线有圆、椭圆、矩形三种形状。
如表5-1所示。
例5-3如图5-7（a），已知圆柱和截面P的投影，求截交线的投影。
投影分析：圆柱轴线垂直于W面，截平面P为正垂面，与圆柱轴线斜交，交线为椭圆。
椭圆的长轴平行于V面，短轴垂直于V面。
椭圆的V面投影成为一直线段与P V重影。
椭圆的W面投影，落在圆柱的W面积聚投影上而成为一个圆，只须作图求出截交线的H面投影。
作图步骤：（1） 求特殊点: 即求长、短轴端点A 、B 和C 、D 。
P V 与圆柱最高、最低素线的V 面 投影的交点a ′、b ′，即为长轴端点A 、B 的V 面投影，P V 与圆柱最前、最后素线的V 面投影的交点c ′、(d ′)，即为短轴C 、D 的V 面投影。
据此求出长、短轴端点的H 面投影a 、b 、c 、d ，如图5-7(b )所示。
（2） 求一般点: 为使作图准确，需要再求截交线上若干个一般点，例如在截交线V 面 投影上任取点1′，如图5-7(b )所示，据此求得W 投影1′′和H 投影1。
由于椭圆是对称图形，可作出与点I 对称的点II 、III 、IV 的各投影。
（3） 判别可见性: 光滑连点成线 截交线上各点的水平投影均可见，按侧面投影上各 点的顺序，在H 投影上顺次连接a -1-c -3-b -4-d -2-a 各点，即为椭圆形截交线的H 面投影。
土木工程制图及画法几何课后答案立体截切
通过本课程的学习，我不仅掌握了土木工程制图和画法几何的基本理论和 技能，还培养了解决实际问题的能力。
在实践中，我能够灵活运用所学知识，独立完成一些简单的土木工程图纸 的绘制和阅读。
对未来学习和发展提出建议
01
深入学习土木工程制图和画法几何的高级课程，掌握
更复杂的图纸绘制和阅读技能。
02
加强实践练习，多参与实际工程项目的图纸绘制和审
06 土木工程制图中的立体截 切应用
建筑结构图中的立体截切表示方法
01
剖面图表示法
02
立面图表示法
03
透视图表示法
通过剖面线将建筑物某一部位切 开，显示其内部构造和层次关系。
利用立面投影，表示建筑物外轮 廓线和内部主要结构在立面上的 投影。
借助透视原理，表现建筑物立体 感和空间感，常用于效果图和展 示图。
土木工程制图及画法几何课后答案 立体截切
目 录
• 绪论 • 立体截切基本概念与原理 • 平面立体截切分析与应用 • 曲面立体截切分析与应用 • 组合体立体截切分析与应用 • 土木工程制图中的立体截切应用 • 总结与展望
01 绪论
课程简介
土木工程制图及画法几何是土木工程 专业的一门重要基础课程，主要研究 如何在平面上表达三维空间形体，以 及如何利用投影原理绘制工程图纸。
01
掌握了土木工程制图的基本原理和方法Байду номын сангаас包括投影原理、视图 表达、尺寸标注等。
02
学习了画法几何的基本知识，如点、线、面的投影规律，以及
基本形体的投影特性。
通过实践练习，提高了绘制和阅读土木工程图纸的能力，培养
03
了空间想象和思维能力。
学生自我评价报告展示
在实践中，我能够灵活运用所学知识，独立完成一些简单的土木工程图纸 的绘制和阅读。
对未来学习和发展提出建议
01
深入学习土木工程制图和画法几何的高级课程，掌握
更复杂的图纸绘制和阅读技能。
02
加强实践练习，多参与实际工程项目的图纸绘制和审
06 土木工程制图中的立体截 切应用
建筑结构图中的立体截切表示方法
01
剖面图表示法
02
立面图表示法
03
透视图表示法
通过剖面线将建筑物某一部位切 开，显示其内部构造和层次关系。
利用立面投影，表示建筑物外轮 廓线和内部主要结构在立面上的 投影。
借助透视原理，表现建筑物立体 感和空间感，常用于效果图和展 示图。
土木工程制图及画法几何课后答案 立体截切
目 录
• 绪论 • 立体截切基本概念与原理 • 平面立体截切分析与应用 • 曲面立体截切分析与应用 • 组合体立体截切分析与应用 • 土木工程制图中的立体截切应用 • 总结与展望
01 绪论
课程简介
土木工程制图及画法几何是土木工程 专业的一门重要基础课程，主要研究 如何在平面上表达三维空间形体，以 及如何利用投影原理绘制工程图纸。
01
掌握了土木工程制图的基本原理和方法Байду номын сангаас包括投影原理、视图 表达、尺寸标注等。
02
学习了画法几何的基本知识，如点、线、面的投影规律，以及
基本形体的投影特性。
通过实践练习，提高了绘制和阅读土木工程图纸的能力，培养
03
了空间想象和思维能力。
学生自我评价报告展示
第七章 立体的截断
第七章 立体的截断
甘肃建筑职业技术学院
LOGO
《建筑制图与识图》
本章内容
7.1 平面体的截交线 7.2 曲面体的截交线 7.3 同坡屋面交线
《建筑制图与识图》 7.1 平面体的截交线
平面立体的截交线，是由 平面立体被平面切割后所 形成。如图7.1所示
图7.1 平面体的截断
《建筑制图与识图》
《建筑制图与识图》
7.3 同坡屋面交线
如果每个屋面对水平面的倾角相同， 而且房屋四周屋檐同高，那么，由这 种屋面所构成的屋顶称为同坡屋面。
图7.4 屋面交线
与檐口线平行的两坡屋面交线称为屋脊 线。
凸墙角处檐口线相交的两坡屋面交线称 为
斜脊线。
凹墙角处檐口线相交的两坡屋面交线称 为
天沟线。
《建筑制图与识图》
求平面体截交线的思路：
求平面体的截交线常采用交点法，利用辅助线法或积聚法 求出截平面与形体棱线或底面边线上的交点，依次连接即得截 交线。再由截交线求出截断体的投影，最后分析判断剩余 截 断体上线条的可见性。
立体被截断后，截去的部分应用双点长画线表示，剩余截 断体上可见的线用粗实线表示，不可见的线用中虚线表示。
《建筑制图与识图》 [例7.1]已知三棱锥被切割后的V投影，求截断体的H、W面投影图。
求截交线如图7.2所示.
图7.2 三棱锥被截断已知条件
《建筑制图与识图》
【解析】
1.投影分析： 截平面P为正垂面，它的V投影具有积聚性，截平面Q为水平
面，它的V、W投影均具有积聚性，截平面P同截平面Q一样与三 棱锥的三个棱面都相交并截断两条棱线但并未完全切断形体，同 时这两个截平面相交产生一条交线CD（如图7.7所示）。故从V面 着手，找出截交线的正投影，再由投影关系即可求出截交线的H、 W面投影。最后连线成面，即可求的截断体的三面投影图。
甘肃建筑职业技术学院
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《建筑制图与识图》
本章内容
7.1 平面体的截交线 7.2 曲面体的截交线 7.3 同坡屋面交线
《建筑制图与识图》 7.1 平面体的截交线
平面立体的截交线，是由 平面立体被平面切割后所 形成。如图7.1所示
图7.1 平面体的截断
《建筑制图与识图》
《建筑制图与识图》
7.3 同坡屋面交线
如果每个屋面对水平面的倾角相同， 而且房屋四周屋檐同高，那么，由这 种屋面所构成的屋顶称为同坡屋面。
图7.4 屋面交线
与檐口线平行的两坡屋面交线称为屋脊 线。
凸墙角处檐口线相交的两坡屋面交线称 为
斜脊线。
凹墙角处檐口线相交的两坡屋面交线称 为
天沟线。
《建筑制图与识图》
求平面体截交线的思路：
求平面体的截交线常采用交点法，利用辅助线法或积聚法 求出截平面与形体棱线或底面边线上的交点，依次连接即得截 交线。再由截交线求出截断体的投影，最后分析判断剩余 截 断体上线条的可见性。
立体被截断后，截去的部分应用双点长画线表示，剩余截 断体上可见的线用粗实线表示，不可见的线用中虚线表示。
《建筑制图与识图》 [例7.1]已知三棱锥被切割后的V投影，求截断体的H、W面投影图。
求截交线如图7.2所示.
图7.2 三棱锥被截断已知条件
《建筑制图与识图》
【解析】
1.投影分析： 截平面P为正垂面，它的V投影具有积聚性，截平面Q为水平
面，它的V、W投影均具有积聚性，截平面P同截平面Q一样与三 棱锥的三个棱面都相交并截断两条棱线但并未完全切断形体，同 时这两个截平面相交产生一条交线CD（如图7.7所示）。故从V面 着手，找出截交线的正投影，再由投影关系即可求出截交线的H、 W面投影。最后连线成面，即可求的截断体的三面投影图。
曲面立体切割体
●
（5) 整理圆柱体转向轮廓线的投影。
曲面立体的切割体
选出正确的左视图
分析回转体的截交 线，画出俯视图。
P135
2-9 已知四分之一圆台的左视图，其长度为50 mm，补画主 、俯视图， 并完成四分之一圆台上线CD 的投影。
答案 立体 返回
2-9 已知四分之一圆台的左视图，其长度为50 mm，补画主 、俯视图， 并完成四分之一圆台上线CD 的投影。
c
s d b
例2
根据轴测图，画被切圆锥的三视图。
3. 圆球体的截交线
根据截平面与圆球轴线的相对位置不同，截交线 有？？种形状。
3. 圆球体的截交线
3. 圆球体的截交线
3. 圆球体的截交线
a’(b’)
c’(d’)
b
d
a
c
3. 圆球体的截交线
a’(b’)
c’(d’)
b
d
a
c
3. 圆球体的截交线
解题动画：
<45°
椭圆长轴方向？ 短轴方向？
45°
截平面与圆柱轴 线成45°时。
例2
求圆筒截交线。
解题动画：
例3
已知主、俯视图，求作左视图。 同一立体被多个 平面截切，要逐一进 行截交线的分析和作 图。
●
解题步骤：
（1）补全基本体的投影； （2）分析截平面与投影面的相对位置； （3）分析截平面与体的相对位置； （4）求截交线；
3. 圆球体的截交线
半球的中心有一个圆柱孔
P15
（ 5）
椭圆长短轴的确定； 一般位置点： 纬圆法
P15
（ 5）
半球体被 两正交 圆柱孔 相贯
• 基本体：半球 • 垂直方向的圆柱孔 • 水平方向的半圆柱孔
第四章 立体的截切与相贯
土木工程制图与CAD/BIM技术
化学工业出版社
第四章 立 体 的 截 切 与 相 贯
1
第四章 立 体 的 截 切 与 相 贯
目录
要求
理论
例题
化学工业出版社
总结
作业
1
平面体的截切
内容
2
曲面体的截切
3
立体的相贯线
2
第四章 立 体 的 截 切 与 相 贯
目录
要求
理论
例题
化学工业出版社
总结
作业
1 掌握平面体、曲面体截交线的画法 掌握平面体和平面体、平面体和曲面体、
（a）全贯
（b）互贯
28
第三节 立体的相贯线
目录
要求
理论
例题
化学工业出版社
总结
作业
平面体与平面体相贯求相贯线的步骤：
（1）分析：立体相贯的形式（全贯、互贯）。 （2）求贯穿点：运用直线与直线相交求交点。
求贯穿线：运用平面与平面相交求交线。 （3）连线: 按顺序连线并判断可见性。
29
第三节 立体的相贯线
4
第一节 平面体的截切
目录
要求Βιβλιοθήκη 理论例题化学工业出版社
总结
作业
截交线的性质： 1. 共有性：
既属于截平面，又属于 立体表面，是截平面与 立体表面的共有线。 2．封闭性： 由单一平面截得的截交 线是封闭的平面图形。
截断面 截交线
截平面 立体
5
第一节 平面体的截切
目录
要求
理论
例题
化学工业出版社
总结
作业
目录
要求
理论
例题
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总结
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第四章 立 体 的 截 切 与 相 贯
1
第四章 立 体 的 截 切 与 相 贯
目录
要求
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例题
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总结
作业
1
平面体的截切
内容
2
曲面体的截切
3
立体的相贯线
2
第四章 立 体 的 截 切 与 相 贯
目录
要求
理论
例题
化学工业出版社
总结
作业
1 掌握平面体、曲面体截交线的画法 掌握平面体和平面体、平面体和曲面体、
（a）全贯
（b）互贯
28
第三节 立体的相贯线
目录
要求
理论
例题
化学工业出版社
总结
作业
平面体与平面体相贯求相贯线的步骤：
（1）分析：立体相贯的形式（全贯、互贯）。 （2）求贯穿点：运用直线与直线相交求交点。
求贯穿线：运用平面与平面相交求交线。 （3）连线: 按顺序连线并判断可见性。
29
第三节 立体的相贯线
4
第一节 平面体的截切
目录
要求Βιβλιοθήκη 理论例题化学工业出版社
总结
作业
截交线的性质： 1. 共有性：
既属于截平面，又属于 立体表面，是截平面与 立体表面的共有线。 2．封闭性： 由单一平面截得的截交 线是封闭的平面图形。
截断面 截交线
截平面 立体
5
第一节 平面体的截切
目录
要求
理论
例题
化学工业出版社
总结
作业
目录
要求
理论
例题
化学工业出版社
总结
第5章(4)曲面立体截切
● ●
3(4● )
●
●
●
4
●
●
3 1
●
●
●
2
●
●
●
●4
截交线空间 侧面形状？ 已知投影？ 形状？
●
●
3
●
截平面与轴线 夹角变 长、短轴变
何时为圆？
45°
截平面与轴线 夹角45°
例2 圆柱开方槽。 ◐ 分析 ◆圆柱左部开方槽 ◆上下对称 ◆方槽——两水平面、一侧平面 ◆水平面与圆柱面——两直线 ◆侧平面与圆柱面——两圆弧
PV
与锥面的截交线不同
PV
θ PV PV θ
α
α
θ PV
α
θ = 90°
过锥顶
θ ＞α 椭圆
圆
两相交直线
例7 已知俯视图，补全主视图，画出左视图。 ◐ 分析 平面截切圆锥 正平面∥轴线,θ =0°<α ◎与锥面交线——双曲线 ◎与底面交线——直线 ◎正投影——实形 ◎水平、侧投影——直线 ◐ 作图 ◆ 作特殊点A、B、C
主视方向
◐ 作图 ◆画出完整圆柱的三视图 ◆开槽圆柱体的三视图 ◆加深轮廓线
注意
方槽范围内 水平转向线被切去
例3 圆筒上开方槽。 ◐ 分析 ◆圆筒左部开方槽 ◆上下对称 ◆方槽——两水平面、一侧平面 ◆水平面与圆筒——上下各四直线 ◆侧平面与圆筒——内外四圆弧 ◐ 作图 ◆画出完整圆筒的三视图 ◆开槽圆筒的三视图 ◆加深轮廓线
●
例9 求作顶尖的俯视图。 复合回转体
● ●
●
● ●
● ●
●
● ●
● ● ● ●
●
复合回转体——基本回转体及连接关系 求出各基本回转体的截交线——依次连接
3(4● )
●
●
●
4
●
●
3 1
●
●
●
2
●
●
●
●4
截交线空间 侧面形状？ 已知投影？ 形状？
●
●
3
●
截平面与轴线 夹角变 长、短轴变
何时为圆？
45°
截平面与轴线 夹角45°
例2 圆柱开方槽。 ◐ 分析 ◆圆柱左部开方槽 ◆上下对称 ◆方槽——两水平面、一侧平面 ◆水平面与圆柱面——两直线 ◆侧平面与圆柱面——两圆弧
PV
与锥面的截交线不同
PV
θ PV PV θ
α
α
θ PV
α
θ = 90°
过锥顶
θ ＞α 椭圆
圆
两相交直线
例7 已知俯视图，补全主视图，画出左视图。 ◐ 分析 平面截切圆锥 正平面∥轴线,θ =0°<α ◎与锥面交线——双曲线 ◎与底面交线——直线 ◎正投影——实形 ◎水平、侧投影——直线 ◐ 作图 ◆ 作特殊点A、B、C
主视方向
◐ 作图 ◆画出完整圆柱的三视图 ◆开槽圆柱体的三视图 ◆加深轮廓线
注意
方槽范围内 水平转向线被切去
例3 圆筒上开方槽。 ◐ 分析 ◆圆筒左部开方槽 ◆上下对称 ◆方槽——两水平面、一侧平面 ◆水平面与圆筒——上下各四直线 ◆侧平面与圆筒——内外四圆弧 ◐ 作图 ◆画出完整圆筒的三视图 ◆开槽圆筒的三视图 ◆加深轮廓线
●
例9 求作顶尖的俯视图。 复合回转体
● ●
●
● ●
● ●
●
● ●
● ● ● ●
●
复合回转体——基本回转体及连接关系 求出各基本回转体的截交线——依次连接
第3、4章 立体的投影(2基本曲面立体截交线)
（a）题图
（b）作截交线的正面投影
图4-19 圆弧回转体被铅垂面截切后的投影
5、组合体的截交线
组合体可分解为若干基本几何体，因此，求平面与组合 体的截交线，就是分别求出平面与各个几何体的截交线。
[例4-15] 如图4-20（a），求作平面截切组合回转体 的截交线。
（a）题图
（b）立体图
图4-20 求平面截切组合回转体的截交线
转向线的投影特点？
e
e f k" d
A
k' (f )
d
C
f
e
d
F点在C转向线上。
4.2.2 回转体的截交线
P101
回转体被平面截切，在回转体表面上产生截交线，截 切的位置不同，其截交线的形状也不同。回转体的截交线 一般为封闭的平面曲线或平面曲线与直线的组合，在特殊 情况下是直线组成的平面多边形。截交线上的每一点都是 截平面与回转体表面的共有点，所以求截交线的问题可归 结为求截平面与回转体表面的共有点问题。
1
2 1 （2 ） 3 （4 ） 4 3
（ ）
4
1
2
3
一般点：K点，不在转向线上；
一般点利用素线法或纬圆法求出第2面投影，则很容易求出第3 面投影。
别忘了可见 性判断！
圆锥表面上的点
辅助素线
1) 作一般点E（素线法） 2) 作一般点E (辅助平面法）
辅助平面
辅助纬圆
素线法求一般点
纬圆法求一般点(好！)
图4-12 求作圆柱体切口的投影
2、 平面与圆锥体相交
P106
当平面与圆锥相交时，由于截平面对圆锥轴线的相对位置 不同，其截交线可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线及两条相交 直线，如表4-2的五种情况。 记住！ 记住！
曲面立体的截交线、贯穿点、相贯线
(5’)
4’Βιβλιοθήκη 1”Pw6”
2” Qw
5”
3”
4”
Ⅰ 56
1 4
32
Ⅳ
求圆柱与半球的相贯线
45
46
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
b”
27
例3 完成所示形体的投影图
d’
e’
f’
b’
5’ 2’
1’
a’
s’
4’
3’
6’
c’
f
c
d
6
s
3
2
5
b
14 e
a
28
例题4：已知三棱锥SABC与三棱柱DEF的三面投
影,求作s它’们的f’相贯Pv线。 s”
3’
3”
2’
Qv
14’’d()’ 5’
4” 6’e’ 6”
1”
a’ b’
c’ a”(c ”)
（闭实各H的直、质表交交空线W是面线线间）投求 与投的折构影平 回影投线成已面 转分影的知体 体析作封图
求截交 的交求线V投影 线问题
32
归纳
相交形式
外表面与外表面相交 外表面与内表面相交 内表面与内表面相交
交线相同 求交线的实质相同 求交线的方法相同
33
求：四棱柱与半球体的相贯线。
34
曲面体与曲面体相交
10.曲面立体截切详解
• b
A、B的中C、D是截交线的水平投影椭圆的长轴 端点，也是水平投影的最前、最后点。 2.求一般点 ：选择适当位置的G、H点。
ec
• •• g
青
岛 理 工 大
例8:求圆球被截切后的水平投影和侧面投影
轮廓线怎样处理?
分析:球面被侧平 面截切，侧面投影 为圆；球面被水平 面截切，水平面投 影为圆。
学
理 学 院
青
岛 理 工 大
二、平面与圆锥体相交
学
理 学 院
青
岛 理 工 大
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不 同，截交线有五种形状。 PV
PV θ PV PV α
θ
α
θ PV
α
学
理
过锥顶 学 θ = 90° 两相交直线 院 圆
θ ＞α 椭圆
θ =α 抛物线
θ = 0°＜α 双曲线
青
岛 理
例4.求正垂面与圆锥的截交线。
学
理 学 院
1
2
青
岛 理 工 大
总结曲面体截交线的求解：
1. 截交线形状：是由几个平面曲线或 平面直线组成，每一段平面曲线或直 线都是截平面和曲面体表面的交线， 每个转折点都是两个截平面的交线与 曲面体表面的贯穿点。
学
理 学 院
2. 求法： 青
岛 理 工 大
学
理 学 院
（1）分析基本形体（圆柱、圆锥、球体） （2）根据截平面的位置分析各段截交线的形状。 圆柱体——截交线有三种情况（圆、椭圆、矩形） 圆锥体——截交线有五种情况（圆、椭圆、直线、 双曲线、抛物线） 球——截交线只有一种情况（圆） （3）在截平面的积聚投影面上找出所有的特殊点和转 折点及必要的一般点，并用数字标注。 （4）求出这些点的另外两面投影。 （5）连接：同一面上相邻两点依次用光滑的曲线或直 线连接，并正确判断截交线的可见性。 （6）整理：加深形体余下的轮廓线，并正确判断轮廓 线的可见性。
A、B的中C、D是截交线的水平投影椭圆的长轴 端点，也是水平投影的最前、最后点。 2.求一般点 ：选择适当位置的G、H点。
ec
• •• g
青
岛 理 工 大
例8:求圆球被截切后的水平投影和侧面投影
轮廓线怎样处理?
分析:球面被侧平 面截切，侧面投影 为圆；球面被水平 面截切，水平面投 影为圆。
学
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青
岛 理 工 大
二、平面与圆锥体相交
学
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青
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根据截平面与圆锥轴线的相对位置不 同，截交线有五种形状。 PV
PV θ PV PV α
θ
α
θ PV
α
学
理
过锥顶 学 θ = 90° 两相交直线 院 圆
θ ＞α 椭圆
θ =α 抛物线
θ = 0°＜α 双曲线
青
岛 理
例4.求正垂面与圆锥的截交线。
学
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1
2
青
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总结曲面体截交线的求解：
1. 截交线形状：是由几个平面曲线或 平面直线组成，每一段平面曲线或直 线都是截平面和曲面体表面的交线， 每个转折点都是两个截平面的交线与 曲面体表面的贯穿点。
学
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2. 求法： 青
岛 理 工 大
学
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（1）分析基本形体（圆柱、圆锥、球体） （2）根据截平面的位置分析各段截交线的形状。 圆柱体——截交线有三种情况（圆、椭圆、矩形） 圆锥体——截交线有五种情况（圆、椭圆、直线、 双曲线、抛物线） 球——截交线只有一种情况（圆） （3）在截平面的积聚投影面上找出所有的特殊点和转 折点及必要的一般点，并用数字标注。 （4）求出这些点的另外两面投影。 （5）连接：同一面上相邻两点依次用光滑的曲线或直 线连接，并正确判断截交线的可见性。 （6）整理：加深形体余下的轮廓线，并正确判断轮廓 线的可见性。
第5章(3)平面立体截切
◐加深
例7 已知一光学三棱镜ABCD被两个正平面P1、P2、一个正垂面Q、一个侧平面S 和一个水平面T所截切而成，试完成棱镜的三视图。 a b ≡c c b a
SV
QV
TV
d c P1H
a
d P2H
SH
b
◐未截切前 三棱锥 ◐画未截切前 三棱锥侧视图 ◐侧平面S截切 三角形 ◐画侧视图三角形
◐加深
SH
b
本次课重点 ◐平面立体截切 ◆截交线性质 ◆求截交线方法 棱线法、棱面法 ◆求截交线的步骤 ◎分析——形状、相对位置 ◎求作截平面与棱线交点 平面与平面交线的端点 ◎连接各点 ◎分析棱线投影
作业: 习题集P40、41——13～16 17、18（预做）
下次课内容——曲面立体截切
习题集P40 14.(c)
◐ 未截切前 ——五棱柱 ◐ 画五棱柱俯视图
例5 求立体被平面截切后的俯视图。
◐ 左、右上角 两正垂面截切 ——三角形
◐ 画俯视图 ——类似三角形
例5 求立体被平面截切后的俯视图。
◐ 左右下角 两正垂面截切 ——六边形
◐ 画俯视图 ——类似六边形
例5 求立体被平面截切后的俯视图。
◐ 加深轮廓线
例6 完成梯形棱柱被平面截切后的三视图。
习题集P41、16
◐未截切前 梯形棱柱 ◐截平面 一正垂面 两铅垂面 ◐正垂面截切 四边形（梯形） ◐画侧、俯视图 类似四边形
例6 完成梯形棱柱被平面截切后的三视图。
◐两铅垂面截切 四边形
◐完成主、侧视图 类似四边形
例6 完成梯形棱柱被平面截切后的三视图。
SV
QV
TV
d c P1H
d
a
d P2H
曲面立体截交线
第一节、平面与圆柱体相交平面与圆柱体相交，截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。
平面截切圆柱体截交线的形式有三种。
例：已知斜切圆柱体的主视图和俯视图，求左视图。
解：分析——圆柱的轴线是铅垂线，截平面为正垂面且与圆柱轴线倾斜，斜切圆柱体的截交线为椭圆。
截交线的正面投影积聚为直线，水平投影积聚在圆周上，侧面投影为椭圆。
作图步骤：（1）求特殊点截交线最左素线上的点Ⅰ和最右素线上的点Ⅱ分别是截交线的最低点和最高点。
截交线最前点Ⅲ和最后点Ⅳ分别是最前素线和最后素线与截平面的交点。
作出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的正面投影1'、2'、3'、4'和水平投影1、2、3、4，根据从属关系求出1"、2"、3"、4"。
（2）求一般点从正面投影上选取a'、b'、c'、d'四点，然后作OX轴的垂线求得a、b、c、d，根据点的投影规律求出侧面投影a"、b"、c"、d"。
（3）按截交线的顺序，光滑地连接各点的侧面投影。
已知条件求特殊点求一般点例：求开槽圆柱的左视图。
解：分析——圆柱体上部的槽是由三个截平面形成的，左右对称的两个截平面是平行于圆柱轴线的侧平面，它们与圆柱面的截交线均为两条直素线，与上底面的截交线为正垂线。
另一个截平面是垂直于圆柱轴线的水平面，它与圆柱面的截交线为两段圆弧。
三个截平面间产生了两条交线，均为正垂线。
作图——在水平投影上和正面投影上找出特殊点1、2、3、4、5、6和1'、2'、3'、4'、5'、6'根据点的投影规律作出1"、2"、3"、4"、5"、6"，按顺序依次连接各点。
判别可见性：截平面交线的侧面投影为不可见，应画成虚线。
已知条件作图过程例：已知圆柱截断体的正面和侧面投影，求水平投影。
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例3 圆筒上开方槽。 ★ 分析 ◆圆筒左部开方槽 ◆上下对称 ◆方槽——两水平面、一侧平面 ◆水平面与圆筒——上下各四直线 ◆侧平面与圆筒——内外四圆弧
★ 作图 ◆画出完整圆筒的三视图
◆开槽圆筒的三视图 ◆加深轮廓线
注意
方槽范围内 内外水平转向线 均被切去
主视方向
虚线画法
例4 已知俯视图、部分主视图，求左视图。
母线圆直径范围内 圆环内径处 圆环内径至轴线 轴线处
波修斯曲线 伯努利双纽线 卡西尼卵形线 两圆
例11 求作主视图中所缺的截交线。
习题集 P44、36
★ 正平面截切圆环 ★ 找特殊点 ★ 找一般点 ★ 光滑连接各点
四、曲面截切体的尺寸标注
50 20
50 20
1(2) ●
●
轴线——铅垂线 ●
3(4) ● ●
4 ● 3
●
●
●
2
●
●
●
1
●
截平面为正垂面
截交线——椭圆
截交线投影
主：直线
●
俯：与圆重合 2●
●4 侧已截面知交形投线状影空？？间
侧：椭圆
形状？
●
●
★ 作图
◆ 找特殊点 ● ◆ 找一般点 1
●
●3
◆ 光滑连接各点
◆ 分析转向线的投影
截平面与轴线 夹角变
52 52 55 18
18 56
20
20
例12 根据主、左视图，画出俯视图。
注意
不得漏画线
★分析 水平面、正垂面截
半球、圆柱、圆锥
★截半球 ——半圆
★截圆柱 ——平行两直线 ——部分椭圆
★截圆锥 ——相交两直线
本次课重点 ★曲面立体截切
◆截交线性质 ◎共有线◎形状◎封闭平面图形
◆求做截交线的步骤 ◎分析——形状、相对位置 ◎求作点——特殊点、一般点 ◎判断可见性
★ 作图
◆ 作特殊点A、B、C a
c
双曲线端点
b’
纬圆
b
例7 已知俯视图，补全主视图，画出左视图。
◆作一般点 截平面法
截交线 形状？
纬圆半径？
●
求作平面与锥面的交点
◆光滑连接各点
◆作左视图 ◎画出未截切圆锥投影 ◎求转向线上点 ◎画平面投影 ◎加深轮廓线
例8 圆锥被正垂面截切，求截交线， 完成三视图。
★不得在截交线上直接标注尺寸
作业: 习题集P42——19～24
下次课内容——平面立体相贯 曲面立体相贯
截平面与投影面的相对位置不同
截交线的投影不同
圆
椭圆
直线
例10 根据立体画出三视图。
主视 方向
半圆球开方槽 ★一水平面、两侧平面 ★水平面截球面
俯视图——两段圆弧 侧视图——直线 ★侧平面截球面 侧视图——一段圆弧 俯视图——直线
4. 平面截切圆环体 截平面与圆环轴线垂直
截交线
截交线——两同心圆
截平面∥圆环轴线及投影面 但所处位置不同 截交线不同
★分析截交线形状
★画出主视图
俯视图底圆投影
●
★画出未截切侧投影
★求特殊点 ★求一般点
椭圆轴？
★光滑连接各点 ★加深轮廓线
例9 求作顶尖的俯视图。 复合回转体
●
●
●●
●
●●
●
●
● ● ●
● ● ●
复合回转体——基本回转体及连接关系 求出各基本回转体的截交线——依次连接
●
3. 平面截切圆球体 平面与圆球相交 截交线——圆
◆ 画出截交线的投影 ◎ 求作线上点的投影 ◎ 判断可见性
找出截交线已知投影 预见未知投影
◎ 光滑连接各点
截交线的投影为非圆曲线时 △ 找特殊点 △ 补充中间点
1. 平面截切圆柱体 平面与圆柱轴线的位置不同——截交线不同
PV
PV PV
P
垂直 圆
P
倾斜 椭圆
P
平行 矩形
例1 求左视图。
★ 分析
P／轴线
长、短轴变
何时为圆？
45°
截平面与轴线 夹角45°
例2 圆柱开方槽。 ★ 分析 ◆圆柱左部开方槽 ◆上下对称 ◆方槽——两水平面、一侧平面 ◆水平面与圆柱面——两直线 ◆侧平面与圆柱面——两圆弧
★ 作图 ◆画出完整圆柱的三视图 ◆开槽圆柱体的三视图 ◆加深轮廓线
注意
方槽范围内 水平转向线被切去
主视方向
★ 分析
◆半圆柱被四个平面截切
左右对称
◆T、S⊥ 轴线、∥正面
◎与半圆柱面交线——圆弧
◎主视图——实形
◎左、俯视图——直线
◆P、Q∥轴线、∥侧面 t ◎与半圆柱交线——直线 p
s q
◎左视图—— 实形
◎主、俯视图——直线
★ 作图
◆画出截切前完整的左视图
◆画出P、Q、T、S在主、左视图的投影
◆加粗轮廓线
θ PV
PV
θ
α PV
θ PV
α
α
θ= 90° 过锥顶 θ＞α 圆 两相交直线 椭圆
θ=α θ= 0°＜α 抛物线 双曲线
例7 已知俯视图，补全主视图，画出左视图。
★ 分析
平面截切圆锥
双曲线顶点
正平面∥轴线,θ=0°<α
c’
◎与锥面交线——双曲线 ◎与底面交线——直线 a’ ◎正投影——实形 ◎水平、侧投影——直线
例5 求左视图。
★ 分析 ◆ 空间分析 ◆ 截交线分析 ◆ 投影分析
★ 作图
例6 求左视图。
★ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分析
◆空间分析
虚
◆截交线分析
实
◆投影分析
分 界
点
★ 作图
◆求特殊点
◆求一般点
2. 平面截切圆锥体 平面截圆锥
圆
三角形
椭圆
双曲线＋直线
抛物线线＋直线
截平面与圆锥轴线——相对位置不同
PV
与锥面的截交线不同
第五章
（4）
曲面立体的截切
三、曲面立体的截切 用一个或多个平面截切曲面立体
★ 截交线性质 ◆ 截平面与回转体表面的共有线 ◆ 形状取决于——立体表面的形状 截平面与轴线的相对位置 ◆ 截交线都是封闭的平面图形
★ 求截交线的步骤
确定截交线形状
◆ 分析回转体的形状 截平面与回转体轴线的相对位置
◆ 分析截平面与投影面的相对位置 明确截交线的投影特性