13__分块矩阵、几种特殊方阵的运算

2!
nE nn1B 1 n(n 1)n2B2 Bn
2!
而
0 1 00 1 0 0 0 1 B2 0 0 10 0 1 0 0 0,
0 0 00 0 0 0 0 0
B3 B2B O ,所 以Bk O (k 3)
于是
An n E nn1B n(n 1)n2 B2
2
n 0
2. 设A为n阶反称矩阵，B为n阶对称阵，则 AB+BA是n阶反称矩阵。（P23例4.3） 证明：
( AB BA)T ( AB)T (BA)T BT AT AT BT B( A) ( A)B ( AB BA)
1 0
3. 设A 0 1 求An .
0 0
1 0 1 0
2
nn1
n 2
0
0
n
用数学归纳法证明
当 n 2 时，显然成立.
假设n k 时成立，则 n k 1 时，
k
kk 1
k
k
2
1
k
2
1
0
An1 Ak A 0 k
kk1 0 1 ,
0
0
k
0
0
n1
0
n 1n
n1
n 1n n1
2
n 1n
,
0
0
n1
所以对于任意的 n 都有
1
A
2
n
可简记为 diag(1,2 ,n )
设A、B均为n阶对角矩阵，且
a1
b1
A
a2
B
b2
an
bn
则有
a1 b1
AB
a2 b2
an
bn
a1
A
a2
(为数）
a
n
a1b1
AB BA
a2b2
an
bn
a1k
Ak
ak 2
解法1：
A2 0
1 0
1
0 0 0 0
2 2 1 0 2 2 .
0
0
2
2 2
1 1
0
A3 A2 A 0 2 2 0 1
0 0 2 0 0
3 32 3
0 3 32
0 0 3
由此归纳出
n
An 0
kn1 n
nn 1 n2
准对角矩阵。
设A、B均为分块对角矩阵，且
A1
A
A2
B1
B
B2
AS
BS
则有
A1 B1
AB
A2 B2
AS
BS
A1
A
A2
(为数）
AS
A1B1
AB
A2 B2
AS
BS
An 1
An
AT 1
AT
An 2
(n为正整数）
An S
作用： ①简化高阶矩阵运算 ②简化运算的表达形式 ③看清结构
例如
a
A
0 1
0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 1 b
B1 B2 B3
,
即
a
A
0 10
1 a
0 1
0 0
b 1
0 0 b1
B1 BB32
a
A
0 1
1 a 0
0 0 b
0 0
C1
1 C3
C2 , C4
0 1 1 b
（请大家自己证明）
对称阵与反称阵关于矩阵的线性运算封闭， 而对矩阵的乘法不具封闭性。
课堂练习： 1. 设A、B均为n阶上（下）三角矩阵，试证AB也为
n阶上（下）三角矩阵。（书P25第一题）
证明：（不妨证上三角矩阵的情形)
设
a11
A
0
a12
a22
a1n
a
2
n
b11
B
0
b12
b22
A
0 0
0
a 0 0
0 b 1
0 1 b
A1 0
0 ,
其中
A1
a 0
A2
b
A2
1
1 , a 1 ; b
a
B
1 0
0
0 a 0 0
0 0 b 1
0
0 0
B1 0
b
a
0 ,
其中
B1
1
B2
B2
b 1
0 , a 0 ; b
A B A1 0 B1 0 0 A2 0 B2
教学难点：分块矩阵的乘法。
一、分块矩阵的概念
• 在理论研究及一些实际问题中，经常遇到 阶数很高或结构特殊的矩阵。对于这些矩 阵，在运算时常常采用分块法，使大矩阵 的运算化成小矩阵的运算。我们将矩阵A 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵， 每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元 素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
0 1
00 ,
1 1 0 1
求 AB.
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
11 ,
1 1 2 0
解 把A, B分块成
1 0 0 0
A
0 11
1 2 1
0 1 0
0 0 1
EA1
O E
,
1 0 1 0
B
1 1
1
2 0 1
0 4 2
1 1 0
B11 E B21B22
则 AB E O B11 E A1 E B21 B22
(k为正整数）
ak n
由此可见，对角阵的和、差、乘积以及对角阵的 数乘结果仍为对角阵。我们把这一特性称为对角矩阵 的线性运算和乘法运算的封闭性。
数量矩阵(scalar matrix)
a
A
a
a
也称标量矩阵,记作 A aE。
上（下）三角形矩阵的线性运算封闭，且对于n阶 上（下）三角矩阵A、B，AB的主对角元恰是A、B相 应主对角元的乘积。
n
An 0
nn1 n
nn 1 n2
2
nn1 .
0
0
n
书P14(B)第3题是本题 1 的情形。
解法2：分解 A E B,其中
0 1 0
1 0 0
B 0 0 1, E 0 1 0
所以有 0 0 0
0 0 1
An (E B)n
(E)n n(E)n1 B 1 n(n 1)(E)n2 B2 Bn
0
0 1
A1
A2
b
A2
1 a 0
1
A3 A4 ,
0
A3
0 b
1
a
其中A1
0 1
0 0
A4
0 1
b
a11
设矩阵A
a21
am1
按行分块得分块列矩阵
a12 a22
am 2
a1n
a2n
amn
A1
A
A2
，其
中Ai 分
别
为A的
第i行( i
1,2,,
m)
AB B11 A1B11 B21
E A1 B22
1 2
4 4
0 3
Байду номын сангаас
1 3
.
1 1 3 1
例3.2
a 1 0 0
设
A
0 0
a 0
0 b
0 1
,
0 0 1 b
a 0 0 0
B
1 0
a 0
0 b
0 0
0 0 1 b
求 A B, ABA.
解 将 A, B分块
a 1 0 0
A1 B1
0 ,
0
A2 B2
a
A1
B1
0
1 a a 1
0 2a a 1
1 , 2a
A2
B2
b 1
1 b b 1
0 2b b 2
1 , 2b
A B A1 0 B1 0 0 A2 0 B2
A1 B1 0
2a 1
1 0
2a 0
0 0
A
B
A11
B11
A1r
B1r
.
同型
As1 Bs1 Asr Bsr Aij 与Bij同型
2
设
A
A11
A1r
,
为数,
那末
数
As1 Asr
乘
A
A11
A1r
.
As1 Asr
3 设A为m l矩阵, B为l n矩阵,分块成
乘 法
A
A11
A1t
,
B
B11
B11
E .
A1B11 B21 A1 B22
又 A1B11 B21 1 2 1 0 1 0 1 1 1 2 1 1
3 4 1 0 2 4, 0 2 1 1 1 1
A1
B22
1 1
2 4 1 2
1 3 0 3
3 , 1
于是
1 0 1 0
AT 2
AT S
请牢记以上几个公式!
对角线子块做相应运算
由此可见，分块对角矩阵对于矩阵的线性运 算、乘积以及转置运算均是封闭的。
四、小结
在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一 种最基本、最重要的计算技巧与方法.
1、掌握分块矩阵的各种分块方法，会用分块矩阵的 方法化简矩阵的运算.
2、重点掌握将矩阵按行分块、按列分块和分块对角 矩阵的分块方法.
b1n
b2
n
0
0
ann
0
0
bnn
则有
n
C AB (cij )nn a bik kj
k 1
j
n
a bik kj a bik kj
k 1
k j1
当i j时，第一式中i j k,aik 0; 第二式中k j,bkj 0，故有cij 0(i j)
所以，n阶上（下）三角阵A、B的乘积也为n 阶上（下）三角矩阵。
3、分块矩阵之间的运算
分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似
(1)加法 同型矩阵,采用相同的分块法
(2)数乘 数k乘矩阵A,需k乘A的每个子块
(3)乘法 若A与B相乘,需A的列的划分与B的
划分相一致
第 四节 几种特殊矩阵
4.1 对角矩阵(diagonal matrix)，如下的矩阵 称为对角矩阵，
§3 分块矩阵及矩阵的分块运算
教学目的：通过本节的教学使学生理解分块矩阵的概 念，掌握分块矩阵的性质和计算的方法.认识分块矩阵在矩 阵理论中的地位与作用，为今后的学习打良好基础。
教学要求：理解分块矩阵的概念，深刻理解分块矩阵 的性质，熟练掌握分块矩阵的计算方法，会用分块矩阵解 决各种实际问题。
教学重点：分块矩阵的定义和性质，分块矩阵的计算 方法，用分块矩阵的理论化简矩阵的运算。
A1B1A1
0
0 A2B2 A2
a3 a
a2 0 0
2a2 1 a3 a
0 0
0
0 b3 2b
3b2
0
2b b3
0 2 1 2b
.
三、分块对角矩阵（准对角矩阵）
形如
A1
0
0
A
0
A2
0
0 0
As
其中Ai（i=1，2，…，s）均为方阵，且其余子块
均为零矩阵的分块矩阵，称为分块对角矩阵或
k 1
说明：
① 将矩阵的子块视为元素时，矩阵应符合运算的要求; ② 相应的子块间也应符合运算的要求.
转
置
4
设
A
A11
A1r
,
A1T1 则 AT
AsT1 .
As1 Asr
A1Tr
AsTr
大块小块一起转
例3.1 设 (教材第17页例3.1)
1 0 0 0
A
0 1
1 2
Am
按列分块得分块行矩阵
A
(
~ A1
,
~ A2
,,
~ An
),其
中A~（j j
1,2,,
n)表
示A的第j列
二、分块矩阵的运算规则
1 设矩阵A与B的行数相同,列数相同,采用
相同的分块法,有
加
A
A11
A1r
,
B
B11
B1r
法
As1 Asr
Bs1 Bsr
其中Aij与Bij的行数相同, 列数相同, 那末
a 1 0 0
即
A
0 1
a 0
0 b
0 1
C1 C3
C2 C4
0 1 1 b
a 1 0
A
0 1
a 0
0 b
0 1 1
B b 1
1 b
a 1 0
A
0 1
a 0
0 b
0 1 1
0
0 1 b
E
A E
1
O , B
0
0 1
其中A a 1 0 a
O 0 0 0 0
B1r
,
As1 Ast
Bt1 Btr
其中Ai1 , Ai2 ,, Ait的列数分别等于B1 j , B2 j ,, Bij
的行数, 那末
AB
C11
C1r
A的列数 B的行数
Cs1 Csr Aik 的列数 Bkj的行数
t
其中Cij Aik Bkj i 1,, s; j 1,, r .
0
n
n(n 1)n2
0 0 nn1 0 0 0
0
0
0
nn1
0
0
2 0
0 0 n 0 0
0
n nn1 n n 1 n2
0
0
2
0 n
nn1 .
0
0
0
n
0 A2 B2
0 0
0 2b
0 1
.
2 2b
ABA A1 0 B1 0 A1 0 0 A2 0 B2 0 A2
A1B1 A1 0
A1B1 A1
a3 a2
a
0 , A2B2 A2
2aa32a1,
A2 B2
A2
b3 2b 3b2
2b b3
2 1 2b
,
ABA A1 0 B1 0 A1 0 0 A2 0 B2 0 A2