第三章 半导体中的电子状态

第三章 半导体中的电子状态

半导体的许多物理性质与其内部电子的运动状态密切相关。本章扼要介绍一些有关的基本概念。

§3-1 电子的运动状态和能带

为了便于理解半导体中的电子运动状态和能带的概念，先复习一下孤立原子中的电子态和自由空间中的电子态概念。

一．原子中的电子状态和能级。原子是由带正电荷的原子核和带负电荷的电子组成的，原子核的质量远大于电子的质量。因此，可认为电子是在原子核的库仑引力作用下绕着原子核运动。电子绕原子核运动遵从量子力学规律，处于一系列特定的运动状态，这些特定状态称量子态或电子态。在每个量子态中，电子的能量（能级）是确定的。处于确定状态的电子在空间有一定的几率分布。在讨论电子运动时，也常采用经典力学的“轨道”概念，不过其实际含义是指电子在空间运动的一个量子态和几率分布。对于原子中的电子，能级由低到高可分为E 1﹑E 2﹑E 3 ﹑E 4..等，分别对应于1s ﹑2s ﹑2p ﹑3s …等一系列量子态。如图3-1所示，内层轨道上的电子离原子核近，受到的束缚作用强，能级低。越往外层，电子受到的束缚越弱，能级越高。总之，在单个原子中，电子运动的特点是其运动状态为一些局限在原子核周围的局域化量子态，其能级取一系列分立值。

二．自由空间中的电子态和能级。在势场不随位置变化的自由空间中，电子的运动状态满足下面的定态薛定格方程

)()(222

r E r m

ψψ=∇- （3-1） 该方程的解为平面波：

r k i k

e V r ⋅=1)(ψ )(22)(2222

22z y x k k k m

m k k E ++== （3-2） 其中，)(r k

ψ称波函数，)(k E 称能量谱值或本征值，V 为空间体积，k 为平面波

的波矢，其大小为波长倒数的2π倍，即k=2π/λ。这里k 也起着量子数的作用，

用来标志自由电子的运动状态。E~~k 关系曲线如图3-2所示。在波矢为k 的量

子态中，自由电子的动量p 也有确定值

k p = （3-3）

在波矢k 量子态中，自由电子的速度也有确定值

m

k m p ==υ （3-4） 利用能量与波矢之间的关系，容易将速度公式改写为

)(1k E k

∇=υ （3-5） 总之，自由空间中电子的运动特点是在相当大的范围内自由运动，几率分布延展于整个体积V ，能谱是连续的。

三．晶体中的电子态和能带。在单个原子中，电子是在原子中的电子态中运动的。当大量原子结合成晶体后，近邻原子中的电子态将发生不同程度的交叠，原来属于一个原子的电子，这时则可能进入邻近原子中，因而电子不仅受到原来原子的作用，还要受到其他原子的影响。此时，晶体中的电子已不再属于某个原子，而是一方面绕每个原子运动，同时还要在原子间作共有化运动，如图3-3所示。

1）周期性势能。晶体中作共有化运动的电子要受到周期排列的原子的作用，其势能具有晶格的周期性

)()(r V R r V m =+ （3-6）

式中，m R 为晶格矢量。图3-4给出了晶体周期场中电子的势能示意图。

2）布洛赫函数。确定周期性晶格中电子运动的定态薛定格方程为

[])()()(222

r E r r V m

ψψ=+∇- （3-7） 由于)(r V 具有晶格的周期性，根据布洛赫定理，（3-7）式解的一般形式一定可表示为一个平面波因子与另一个周期性函数之积，即

)()(r u e r k r k i k ⋅=ψ，且 )()(r u R r u k

m k =+ （3-8） （3-8）式给出的波函数就是著名的布洛赫函数。布洛赫函数还可表示为另一种

形式： )()(r e R r k R k i m k m ψψ⋅=+ （3-9）

式中，波矢k 也起着量子数作用，用来标志电子的运动状态。平面波因子与自由

电子的波函数相同，而)(r u k

在各原胞中只是周期性重复着。因此，可对上面形式的波函数给予一个粗略的解释：平面波因子是描述电子在晶体中作共有化运动情况的，而周期性因子则是描述电子在每个原胞中绕原子运动情况的。

3）晶体中电子的能带结构。晶体中的电子既有绕原子运动的属性，又有在原子间作共有化运动的属性。因此，其能谱分布就应该在原子能级的基础上按电子共有化运动的不同分裂成若干组，每一组中的能级彼此靠得很近，组成有一定宽度的“带”，称能带，而不同能带间的能量间隔则为电子的能量禁区，如图3-5

所示。每个能带对应一个能量E 作为k 的函数，不同的能带对应不同的函数。因

此，为了表示晶体中电子运动状态和能级，需引入两个量子数，一是量子数“n ”，

它是能带的编号，另一个是波矢k ，它是每个能带中不同能级和电子态的标志。

从而晶体中电子的能谱和波函数可分别表示为：

)(k E n 和 )(,r k

n ψ n=1，2，3，…… (3-10) 且有

)()(k E K k E n l n =+

)()(k E k E n n =α

)()(k E k E n n =- （3-11）

式中，l K 为倒格矢。（3-11）式是由晶体能带的对称性得到的。

总之，原子结合成晶体后，由于原子之间的相互作用，使得原子中电子的能级分裂成晶体中电子的能带。显然，内层电子态间的交叠小，原子间的影响弱，分裂成的能带比较窄；而外层电子态间的交叠大，分裂的能带比较宽，以至于近邻的能带有可能发生重叠。

利用第二章讨论过的周期性边界条件，同样可得晶体中电子的波矢k 的取值

也是非连续的，每个能带中k 的代表点数为N ，N 为晶体的总原胞数。能带中的

每个能级可容纳两个自旋相反的电子，从而每个能带中的电子态数为2N 个。

4）晶体中电子的平匀速度和准动量。与自由电子类似，在晶体的每个量子态中，电子作共有化运动的平均速度（不是速度）可表示为

)(1k E n k

∇=υ （3-12） 而晶体中电子的动量（准动量）则可表示为

k p = （3-13）

式中，)(k E n 为晶体中电子的能谱。

5）晶体中电子的加速度和有效质量。晶体中电子在外场力F 作用下的加速

度可表示为

F k E dt p d k E dt k d k E dt k dE dt d a n k k n k k n k k n k

⋅∇∇=⋅∇∇=⋅∇∇=∇==)(1)(1)(1)(122υ (3-14) 式中，外场力)(B e dt

k d dt p d F ⨯+-===υε 。将（3-14）式与牛顿第二定律比较，只要定义

)(112k E m n k k

∇∇= （3-15） 则在形式上，（3-14）式与牛顿第二定律是一致的。这里将由（3-15）式定义的量称有效质量倒数张量。因此，（3-14）式也可写为 F m

dt d a ⋅==)1(υ=F m ⋅-1 （3-16） 式中，m 称有效质量，也为张量。（3-16）式说明，晶体中电子的加速度同外力之间关系，在形式上与牛顿第二定律类似，差别只在于要用电子的有效质量代替惯性质量。之所以如此，是因为晶体中的电子除了受外力作用外，还要受晶体内部的周期性势场的作用，而有效质量就是表达这部分作用的。

总之，晶体中电子运动的特点是，不仅绕每个原子运动，还要在原子之间作共有化运动，能谱分裂成一系列能带。

§3-2 价带、导带和禁带

1）价带：T=0K 时，在晶体电子的一系列能带中，完全被价电子占据（满）