LDPC短码的编译码

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2012年第09期，第45卷 通 信 技 术 Vol.45，No.09,2012 总第249期 Communications Technology No.249,Totally
LDPC 短码的编译码研究
胡应鹏①
， 王 健①， 程 雯②
（①解放军理工大学 通信工程学院研究生1队，江苏 南京 210007；
②西安电子科技大学 通信工程学院综合业务网理论及关键技术国家重点实验室,陕西 西安 710071）
【摘 要】这里研究了原模图LDPC 码和BP 译码算法，首先提出了一种基于PEG 算法构造原模图LDPC 码的算法，该码字在码率为1/2，码长256比特的情况下，译码性能超过了PEG 算法，然后针对LDPC 短码不可避免存在四环的特殊性，提出了一种修正四环中变量节点迭代信息的BP 译码改进算法，使得具有四环的LDPC 短码的译码性能得到较大提升。

【关键词】LDPC 短码；原模图；ACE；PEG；BP 译码算法
【中图分类号】TN911 【文献标识码】A 【文章编号】1002-0802(2012)09-0025-04
Modified Coding/Decoding Algorithm for Short LDPC Code
HU Ying-peng ①
， WANG Jian ①， CHENG Wen ②
(①Postgraduate Team 1 of ICE, PLAUST, Nanjing Jiangsu 210007, China;
②ISN laboratory, School of Telecommunications Engineering, Xidian University, Xi’an Shaanxi 710071, China)
【Abstract】This paper discusses the protograph-based LDPC codes and BP decoding algorithm. It gives first the protograph-based LDPC codes algorithm constructed on PEG method, and with code rate of 1/2 and code length of 256 bits, this algorithm outperforms PEG algorithm in decoding; then it proposes a modified BP decoding algorithm to correct variable nodes iteration information in the 4-circles, for LDPC codes inevitablely have 4- circles, thus greatly improving the performance of LDPC codes with 4-circles.
【Key words 】short-LDPC codes; protograph; ACE，PEG，BP decoding algorithm
0 引言
低密度校验码(LDPC)[1]是目前发现的最为逼近
Shannon 限的信道编码方案之一。

LDPC 码作为至今
为止距Shannon 最近的信道编码技术，已经成为了
最新数字通信技术、磁介质记录等实际应用中的首
选码型。

近年来，短LDPC 码逐渐被设计应用在军用超
低速无线通信系统，航天等控制和命令信息的传输
系统中[1]。

因为通过优化设计的LDPC 码的译码错
误均可被检测，对于码长只有64比特的短LDPC 码，
最大不可检测错误率不超过5310 ，最大值出现在
1 dB 到
2 dB 之间[2]。

因此LDPC 短码满足并适用于
上行链路的传输要求，这一点具有非常重要的实际应用价值，比如，在 ARQ 体制下可实现无差错传输。

首先，本文基于原模图LDPC 码的准循环特性和PEG 算法可以有效避开四环的优点，利用PEG 算法构造简单原模图。

该简单原模图的派生图继承了PEG 算法和原模图LDPC 码的优点，在码率为1/2，码长256比特的情况下，该码字在AWGN 信道下的BP 译码性能甚至超过了同等条件下的PEG 算法。

然后，本文本节基于LDPC 短码Tanner 图中不可避免存在四环的特殊性，提出了修正四环中校验节点迭代信息的BP 改进算法，使得存在四环的LDPC 短码的译码性能得到了较大的提升。

1 PEG 构造算法和原模图构造算法
边渐进增长算法（PEG ，Progressive Edge- Growth ）[3]是由Hu Xiaoyu 等提出的一种随机构造
收稿日期：2012-04-06。

作者简介：胡应鹏（1985-），男，主要研究方向为卫星通
信；王 健（1988-），男，主要研究方向为卫星通信；程 雯（1988-），女，主要研究方向为计算机网络。

26 算法。

PEG 算法按照Edge-by-Edge 的方式在变量节点和校验节点之间建立具有一定条件限制的边的连接，从而在增加新边时可以使Tanner 图的girth 达到最大。

通过利用密度进化算法对节点的度分布情况进行优化，由PEG 算法构造的校验矩阵可以有效地避免四环的存在。

原模图(Protograph)LDPC 码[4]是由Thorpe J 提出的一种多边类(Multi-Edge-Type) LDPC 码[5-6]。

原模图指的是节点数量较少的Tanner 图，通过对原模图进行“复制—置换”(copy-and-permute) [7]操作，可以得到任意大小的Tanner 图。

原模图LDPC 码属于结构化构造法，具有准循环特性，因此设计好的原模图LDPC 码具有编码复杂度低的优点。

如图1所示。

简单原模图通过“复制—置换”操作获得一个大图，对原模图复制3次，同类型的节点放在一起，或者将同类节点边置换，称为派生图。

图1 简单原模图通过“复制—置换”操作得到派生图
原模图设计LDPC 码时，可以得到大小不同的
派生图，这些派生图继承了原模图的许多特性，比如有相同的码率,相同的变量节点和校验节点的度分布，并且邻域特性被保留下来。

原模图LDPC 码的校验矩阵H 的构造方法：对简单原模图的每条边根据设计需求进行置换，即将简单原模图校验矩阵H 中的元素“1”用N N ⨯大小的置换矩阵进行替换，元素“0”用N N ⨯大小的零矩阵替换。

置换矩阵决定了整个检验矩阵的短环特性和译码性能，其构造方式可以基于一定的优化准则由计算机自动搜索生成，比如说采用PEG 算法生成随机置换矩阵，由于生成的置换矩阵不是结构化构造，其编码复杂依然较大，在实际中硬件的实现有一定的难度。

另一种构造方式是采用循环行列式，这是一种结构化设计方法，生成的置换矩阵具有准循环结构，编码复杂度较低，易于硬件实现。

2 最小和BP 译码算法
BP 译码算法是基于Tanner 图的迭代译码算法，简单的说，每次迭代时，在给定的接收信号和信道估计的条件下，对有噪序列的每一个比特符号估算其后验概率，并且把估算值传递给下一次迭代，获得更好的译码结果。

最小和BP 译码算法描述如下：
1) 初始化，设定迭代次数0l ←，对于每个变量节点[1,]i N ∈，求其()i L P 。

同时设定所有
()j M i ∈，其中：
(0)2,0()()24i j i i i L q L P y y N σ===。

(1) 2) 水平方向运算，1l l ←+，对任意一个校验节点[1,]j M ∈，()i N j ∈，更新校验节点表达式为：
()(1),,,()\()\()sgn(())min |()|i N l l j i i j i j j i
i N j i
L r L q L q ''-∈'∈'=
⋅∏。

(2)
3) 竖直方向运算，对任意一个变量节点[1,]i N ∈，()j M i ∈，更新变量节点表达式为：
()(),,()\()()()l l i j i j i j M i j
L q L P L r '''∈=+
∑。

(3)
4) 在经过一次迭代后，计算变量节点[1,]i N ∈的后验概率为：
()(),()
()()()l l i i j i j M i L q L P L r ∈=+
∑。

(4)
5)判决，通过第4步得到的()()l i L q 做出硬判决，估计出12ˆˆˆˆ[,,,]N c
c c c = ： ()()0,()0,ˆ1,()0l i i l i L q c L q ⎧>⎪=⎨⎪⎩
≤。

(5)
判断伴随式ˆ0T s Hc
==是否成立。

如果成立，译码成功并退出迭代。

如果0s ≠，则回到第2)步，当达到最大迭代次数l L =时，译码失败，直接输出硬判决结果。

在迭代过程中，如果译码成功，译码过程会立即结束而不会进行固定次数的迭代，有效地减少了迭代次数。

BP 译码算法的复杂度很低，其运算量不会随着码长的变长而增加，同时BP 译码算法是并
行处理的，在硬件实现中能够极大的提高译码速度。

如果Tanner 图中存在环，那么随着迭代的进行，在变量节点和校验节点之间传递的消息就不能保证是相互独立的了。

对于短码的构造，不可避免的存在短环，因此LDPC 码校验矩阵设计的一项重要指标就是尽可能地减少或减小短环。

3 基于PEG 算法构造原模图LDPC 短码
原模图的本质操作是“复制—置换”，派生图保留了原模图的度分布和部分特性，例如，一个没有四环的原模图在通过“复制—置换”操作后，派生图也没有四环。

本文基于PEG 算法，利用PEG 算法生成的LDPC 码可以有效的避开四环的优点，设计出一种简单原模图，由该原模图生成的派生图译码性能超过了PEG 算法。

通过仿真发现，PEG 算法构造LDPC 短码时，只有当码长40n ≥时不会出现四环，六环数量随着码长增加而减少，其中变量节点的度序列采用密度进化算法进行优化，如：2()0.383540.04237x x x λ=++
30.57409x 。

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通过仿真筛选，首先利用PEG 算法生成3264⨯大小的校验矩阵1H 作为简单原模图，然后对1H 进行“复制—置换”操作，其中置换矩阵为44⨯大小的
单位移位矩阵，从而得到128256⨯大小的派生图H 。

在AWGN 信道环境下，通过BPSK 调制，分别对该原模图LDPC 码和直接由PEG 算法生成的相同大小的LDPC 码进行了仿真。

两种算法的码率都是12，码长为256比特，变量节点的度分布相同，性能仿真如图2所示。

R SN /dB
图2 码率1/2，码长256比特，原模图LDPC 码和
PEG 算法性能比较
如图2所示，PEG 算法构造的LDPC 码性能曲线在3.5 dB 以后下降趋势变缓，原模图LDPC 码性能曲线依然保持了下降趋势，体现出了LDPC 码良好的“瀑布性”。

在510BER -=时，原模图LDPC 码的性能比PEG 算法好近0.3 dB 。

由于PEG 算法是完全由计算机搜索随机生成，其编码复杂度随码长的增加而增大，而原模图LDPC 码具有准循环特性，相比较，更易于硬件实现。

4 BP 译码改进算法
修正四环中变量节点迭代信息的BP 译码改进算法如下述：
当码长较长，Tanner 图中没有环的时候，BP 译码算法中得变量节点输出的消息可以成功的收敛，这时的BP 算法时一种最大后验概率译码。

然而当LDPC 短码的Tanner 图中存在短环的时候，短环中的各节点在迭代过程中存在相关性，消息在迭代过程中变得不可靠，从而导致译码性能下降。

为了降低四环中各节点的相关性，本节基于LDPC 短码Tanner 图中存在四环的特殊性，提出了修正四环中变量节点迭代信息的BP 改进算法，译码性能得到了较大的提升。

BP 译码算法的水平方向运算是计算出变量节点向校验节点的传递信息，即更新校验节点信息，
采用的是式（2）
：(),,()\()sgn(())l j j i i
j N i i L r L q '∈'=⋅∏ ()\(1),min |()|l i j i N j i
L q -''∈。

改进算法的具体处理如下，沿用上式中的符号，()\i N j i '∈表示除了i 以外与校验节点j 相连的变量节点的集合。

首先，将集合i '分为两个部分：①是没有四环经历的变量节点集合r ；②是四环经历的变量节点的集合t ，显然有'r t i = 且r t =∅ 。

在迭代过程中，当迭代次数l 大于3时，集合t 传递的信息就会回到根节点中，导致信息产生自循环而变得不可靠。

因此，该改进算法针对集合t 中的元素，通过一个乘性因子(0.51)ββ≤≤衰减变量节点的似然值，减小自循环带来的不良影响。

具体修改如式(6)所示。

当3l >时：
{()(1),,(),\,()sgn(())min |()|,l l j i i j r j r i N j i
t
L r L q L q '∈-'=
⋅∏
}(1),|()|l t j L q β-⋅，其中'r t i = ，r t =∅ 。

(6)
可以用式(6)代替式(2)，由于符号数并不随衰减幅度而变化，因此上式中求符号数的对象仍然是集
合i '中所有的元素，
而求最小值时，式(6)中集合'i 变为两个子集r 和t ，对集合r 中的元素采用中的方式
处理，而对集合t 中的元素进行衰减处理，
然后再对整个集合r t 求最小值。

本文仿真中，我们使用码率为1/2，2个节点的原模图，其中一个变量节点度数为3，另一个度数为4，其中黑色圆圈表示变量节点，白色圆圈表示校验节点。

通过对简易原模图提升四倍，写出对应的校验矩阵p H 如下：
1111110111111110111101111
1111011p ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
H 。

（7）
2
1
7
图 3 变量节点的度为3和4的简单原模图
将式(7)中的元素“1”用大小3232⨯的单位移
位矩阵置换，元素“0”
用大小3232⨯的零矩阵置换，可以得到大小128256⨯的派生图。

该派生图中存在着大量的四环，非常适合该改进算法的验证。

在AWGN 信道中，通过BPSK 调制，将乘性因子β从0.5到1之间进行了仿真，仿真结果如图4、图5所示。

B E R
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乘性因子β
图4乘性因子β对BER 性能的影响
R SN /dB
图5 最小和BP 译码算法和0.75β=，修正四环中变量节点
迭代信息改进算法的性能比较
如图4所示，当 4.5dB SNR =时，乘性因子
0.75β=时，可以达到最佳性能。

如图5所示，给出了最小和BP 译码算法和修正四环中变量节点迭代信息的性能比较，当510BER -=时，改进算法在译码性能上提升超过了0.5dB 。

仿真结果表明，本节提出的改进算法有效的抑制了BP 译码在迭代过程中由于四环导致信息自循环带来的不良影响，具有一定的实用价值。

5 结语
本文对LDPC 短码的构造和译码算法进行了研究，提出的基于PEG 算法构造原模图LDPC 码在译码性能上超过了同等条件下的PEG 算法，其次，修
正四环中变量节点迭代信息的BP 译码改进算法使得具有四环的短码性能逼近了无四环的短码性能，使得LDPC 短码的构造更具灵活性，在实际中具有一定的应用价值。

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