鲁棒控制理论及应用
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2
1 T 2
D
1 T 12
2007年10月9日
鲁棒控制理论及应用
中南大学信息科学与工程学院
吴敏
H∞状态反馈控制器的一般形式 (2)
Ｈ∞状态反馈控制可解的充分必要条件是 而且黎卡提方程
T T T
T D 2 I D 11
11
>0
，
对于一个充分小的常数ε>0具有正定解 x>0 .此时，状态 反馈增益矩阵为
最优问题
2007年10月9日
鲁棒控制理论及应用
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吴敏
关于态观测器的H∞状态反馈控制问题
w u
G
y
z
同维的状态观测器： ˆ + B1 y + B 2 u x = Ax
降维的状态观测器：
& = Aˆ + ˆB1 y +ˆB 2 u
FF
状态观测器 H∞控制器K
ˆ y xˆ = Cˆ + D
12
(6)
rank C2
A j I = rank D21 ⎥⎦ C p
Ap j I 0 A p j I = p + rank = n + p 。 I p 2007年10月9日 B1
鲁棒控制理论及应用
中南大学信息科学与工程学院
吴敏
假定条件的性质
1 2
%Y2 (s)G21 (s), T2 ( s) = G12 (s) M 2 ( s), T3 (s% T1 (s) = G11 (s) + G12 (s)M 2 (s) ) = M 2 (s)G21 (s)
条件(2), (3), (5), (6)分别与下述条件等价：
(1) rank T2 ( ) = m2 ; (2) rank T2 ( j ) = m2 , R; (3) rank T3 ( ) = p2 ;
rankD12=k≤p1定义Ｕ和∑, 使
T
rankU = rank =k D12 = U
T T R = I + D11 ( 2 I D 11 ) 1 D11
1 T T T 1 T T 1 2
11 1 2
11
T DF2 = B1 ( I D D11 ) 11
17
D D I + D11( I FF = 11 11 ) D 11
8
2007年10月9日
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吴敏
控制对象的假设条件
(1) (A, B1)是可稳定的，(A, B2)是可稳定的； (2) rank D12= m2，即矩阵D12是列满秩的； (3)
C1 D12
(4) (C1 , A)是可检测的，(C2 , A)是可检测的； (5) rank D21= p2，即D21是行满秩的； (6)
x& = Ax + B1 w + B2 u G(s) : z = C1 x + D11 w + D12 u y = C2 x + D21 w + D22 u
KK((ss))
A B1 G(s) = C1 D11 C2 D21
B2 G11 (s) G12 (s) Gij (s) = Ci (sI A) B j + Dij D12 = G21 (s) G21 (s) D22 最优：min Fl (G, K )
当W1 (s) =Im ， W2 (s) =Ip Ap 时， Ap Bp 假设P(s)是严格真的，而且P(s) = Cp Dp ，则 G = 0
0 Im G = I p P(s)
0 0 Ip
(1) 若(Ap,Bp)为可稳定的，则(A,B2)为可稳定的； (2) rank D12= rank Im=m，即D12是列满秩的；
最优问题
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H∞输出反馈控制问题
w
G K
y
z
u
x & = Ax + B1 w + B2 u A B 1 B2 z = C1 x + D11 w + D12 u G = C1 D11 D12 C2 D21 D22 y = C2 x + D21 w + D22 u
(4) rank T3 ( j ) = p2 , R;
第(1)和第(3)种情况：T2 (s)和T3 (s)在无限远处没有零点 第(2)和第(4)种情况：T2 (s)和T3 (s)在在虚轴上没有极点
11
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加法不确定性鲁棒稳定化问题的条件
控制器为输出反馈补偿器：
& = Ak + B k y
u = C k + D ky
K =
Ak Bk
Ck Dk
Tzw (s) = Fl (G, K )
控制问题：寻找动态输出反馈补偿器K，使闭环系统内部稳 定， 而且 Tzw (s) < , 次优问题
5
min Tzw (s) ,
A j I B 1 rank C2
(7) D22 =0；
0 (8) D12 = ; I m2
(9) D21 = 0 I p 。
2
9
2007年10月9日
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吴敏
假设条件的说明
条件(1)~(3)是H∞状态反馈控制问题必需的； 条件(1)~(6)是H∞输出反馈控制问题必需的； 在条件(1), (4)中是(A, B2)可稳定的和(C2 , A)是可检测的 ， 是保证闭环控制系统内部稳定的充分与必要条件 ； 条件(2), (3), (5), (6)是保证存在H∞最优控制器,使 Tzw (s) 能够最小化，对于次优问题则未必是必要的。
此时
有界的‖z(j)‖2
有界的的‖u(j)‖2
u
条件(5)意味着G21(s)在虚轴上没有零点: y=C21w+D21u
( j )G
K(s)
y
若G21(j)在所有的处是满秩的,则：min G21 ( j )G(j ) > 0
14 外部输入w在所有频率处都影响输出y
2007年10月9日
10
2007年10月9日
鲁棒控制理论及应用
中南大学信息科学与工程学院
吴敏
假设条件 (2), (3), (5), (6)的进一步说明
G22 (s) = N2 (s)M
1 2
X2 (s) Y (s ) M (s)2 Y2 (s) 2 =I (s)M% (s) N% 2 (s), % % N2 (s) M 2 (s) N2 (s) X 2 (s)
Tzw (s) = Fl (G, K ) = G11 + G12 K ( I G22 K ) 1 G21 次优：Fl (G, K < )
7
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关于变量和矩阵的维数
m2 z p1 x R n, w R m,1 u R ， R ,y R p2
(3)
A j I rank C1 B2 A j I 0 Bp
Cp
Bp I m 0
的充分与必要条件是P(s)在虚轴上没有极 (4) 点； (Cp , Ap)为可检测的，则(C2 , A)为可检测 (5) 的；rank D21= rank Ip=p，即D21是行满秩的；
G12 ( j) = C1 ( j I A) 1 B2 + D12
在包含= ∞的所有处是行
满秩的; rank
13
A j I =n C1
对所有的是行满秩的。
2007年10月9日
鲁棒控制理论及应用
中南大学信息科学与工程学院
吴敏
假定条件的解释
条件(2)意味着G12(s)在虚轴上没有零点: z=C11w+D12u
为了满足条件(2), 可追加z2 为了满足条件(3), 可追加w3 为了满足条件(4), 要使不能由y测量的部分是稳定的 为了满足条件(5), 可追加w2 为了满足条件(6), 可追加z3
15
2007年10月9日
鲁棒控制理论及应用
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吴敏
不满足D22=0的情况
寻找D22=0时对象G% ( s) 的
H∞输出反馈控制 输出反馈补偿器的设计 基于状态观测器的H∞状态反馈控制 状态观测器的设计与静态状态反馈增益矩阵的设计
3
2007年10月9日
鲁棒控制理论及应用
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吴敏
H∞状态反馈控制问题
w
u
G
y
z
F 状态反馈控制：u=Fx
x & = Ax + B1 w + B2 u z = C1 x + D11 w + D12 u y=x
w
G% ( s )
z
控制器 K% (s) , 使闭环控制 系统内部稳定，而且
Fl (G% , K% )<
u%
u D22 y
D22
K% (s)
K(s)
K (s) = K% (I + D22 K% ) 1
16
2007年10月9日
鲁棒控制理论及应用
中南大学信息科学与工程学院
吴敏
H∞状态反馈控制器的一般形式 (1)
z( j ) + max [G11 ( j )] ( j ) min G12 ( j )G12 ( j ) u( j )
w
G11(s) G12(s) G21(s) G22(s)
z
若G21(j)在所有的处是满秩的,
( 则 min G12 j )G12 ( j ) > 0
鲁棒控制理论及应用
中南大学信息科学与工程学院
吴敏
第五讲：
状态空间H∞控制理论
1
2007年10月9日
鲁棒控制理论及应用
中南大学信息科学与工程学院
吴敏
H∞控制的提出与发展
1981：Zames利用H∞范数作为性能指标，提出最小灵敏度 控制问题——H∞控制问题；
1988：Zhou获得H∞控制问题的状态反馈控制解；
1989：Doyle等发表著名的DGKF论文，获得H∞控制问题 的输出反馈控制解——H∞控制理论形成。 d
1 S= 1 + PC WS
2
r
e
CC
u
PP
y
<
2007年10月9日
鲁棒控制理论及应用
中南大学信息科学与工程学院
吴敏
状态空间H∞控制问题
主要讨论三种形式： H∞状态反馈控制 静态状态反馈增益矩阵的设计
F= ( 1 T T T F F + F) B X = FF F GF 2
A R n× n , B 1 R n× m1 , B2 R n× m2
C1 R p1 × n , C2 R p2 × n
D11 , D12 , D21 , D22为相应维数的矩阵 G= , Gij = Ci (SI A) 1 B j + D j , i = 1, 2
GБайду номын сангаас
只要G22为严格真的，即D22=0 ，则闭环控制系统是良定的， 因此一般假设D22=0。
A G = C1 I B1 B2 D11 D12 0 0
zw (s) = (C1 + D12 F )(sI A B2 F ) 1B1 + D11
控制问题： 寻找状态反馈增益矩阵F，使A+B2F稳定，而且 Tzw (s) < , 次优问题
4 min Tzw (s) ,
基于状态估计值的反馈控制：u = Fxˆ 控制问题：寻找状态观测器和状态反馈增益矩阵，使闭环控 制系统内部稳定，而且
Tzw (s)
6
< , 次优问题
min Tzw (s) ,
最优问题
2007年10月9日
鲁棒控制理论及应用
中南大学信息科学与工程学院
吴敏
H∞控制问题
w u GG((ss)) z y
应该指出：在一般场合,如果公称对象在虚轴上具有 极点和零点, 则很难满足G的假设条件。 根据假定条件(2)和(3)可得： 为了保证存在最优的H∞的控制器K, 使得w到z的闭环 传递函数矩阵的H∞范数最小化。对于次优的H∞控制 问题，条件(2)和(3)以及条件(5)和(6)未必是必要的。 同样地, 由假定条件(5)和(6)可得：
鲁棒控制理论及应用
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吴敏
假定条件的等价变换
z
Tzw (s) w = z 2 w2
Tzw (s) <
w w3
ε ε
u
G
K
y
z
ε
ε
z3 w2
Tzw (s) <
z2
为了满足条件(1), 必须使不能由w和u控制的部分是稳定的
1 T 2
D
1 T 12
2007年10月9日
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吴敏
H∞状态反馈控制器的一般形式 (2)
Ｈ∞状态反馈控制可解的充分必要条件是 而且黎卡提方程
T T T
T D 2 I D 11
11
>0
，
对于一个充分小的常数ε>0具有正定解 x>0 .此时，状态 反馈增益矩阵为
最优问题
2007年10月9日
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吴敏
关于态观测器的H∞状态反馈控制问题
w u
G
y
z
同维的状态观测器： ˆ + B1 y + B 2 u x = Ax
降维的状态观测器：
& = Aˆ + ˆB1 y +ˆB 2 u
FF
状态观测器 H∞控制器K
ˆ y xˆ = Cˆ + D
12
(6)
rank C2
A j I = rank D21 ⎥⎦ C p
Ap j I 0 A p j I = p + rank = n + p 。 I p 2007年10月9日 B1
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假定条件的性质
1 2
%Y2 (s)G21 (s), T2 ( s) = G12 (s) M 2 ( s), T3 (s% T1 (s) = G11 (s) + G12 (s)M 2 (s) ) = M 2 (s)G21 (s)
条件(2), (3), (5), (6)分别与下述条件等价：
(1) rank T2 ( ) = m2 ; (2) rank T2 ( j ) = m2 , R; (3) rank T3 ( ) = p2 ;
rankD12=k≤p1定义Ｕ和∑, 使
T
rankU = rank =k D12 = U
T T R = I + D11 ( 2 I D 11 ) 1 D11
1 T T T 1 T T 1 2
11 1 2
11
T DF2 = B1 ( I D D11 ) 11
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D D I + D11( I FF = 11 11 ) D 11
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控制对象的假设条件
(1) (A, B1)是可稳定的，(A, B2)是可稳定的； (2) rank D12= m2，即矩阵D12是列满秩的； (3)
C1 D12
(4) (C1 , A)是可检测的，(C2 , A)是可检测的； (5) rank D21= p2，即D21是行满秩的； (6)
x& = Ax + B1 w + B2 u G(s) : z = C1 x + D11 w + D12 u y = C2 x + D21 w + D22 u
KK((ss))
A B1 G(s) = C1 D11 C2 D21
B2 G11 (s) G12 (s) Gij (s) = Ci (sI A) B j + Dij D12 = G21 (s) G21 (s) D22 最优：min Fl (G, K )
当W1 (s) =Im ， W2 (s) =Ip Ap 时， Ap Bp 假设P(s)是严格真的，而且P(s) = Cp Dp ，则 G = 0
0 Im G = I p P(s)
0 0 Ip
(1) 若(Ap,Bp)为可稳定的，则(A,B2)为可稳定的； (2) rank D12= rank Im=m，即D12是列满秩的；
最优问题
2007年10月9日
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H∞输出反馈控制问题
w
G K
y
z
u
x & = Ax + B1 w + B2 u A B 1 B2 z = C1 x + D11 w + D12 u G = C1 D11 D12 C2 D21 D22 y = C2 x + D21 w + D22 u
(4) rank T3 ( j ) = p2 , R;
第(1)和第(3)种情况：T2 (s)和T3 (s)在无限远处没有零点 第(2)和第(4)种情况：T2 (s)和T3 (s)在在虚轴上没有极点
11
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加法不确定性鲁棒稳定化问题的条件
控制器为输出反馈补偿器：
& = Ak + B k y
u = C k + D ky
K =
Ak Bk
Ck Dk
Tzw (s) = Fl (G, K )
控制问题：寻找动态输出反馈补偿器K，使闭环系统内部稳 定， 而且 Tzw (s) < , 次优问题
5
min Tzw (s) ,
A j I B 1 rank C2
(7) D22 =0；
0 (8) D12 = ; I m2
(9) D21 = 0 I p 。
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假设条件的说明
条件(1)~(3)是H∞状态反馈控制问题必需的； 条件(1)~(6)是H∞输出反馈控制问题必需的； 在条件(1), (4)中是(A, B2)可稳定的和(C2 , A)是可检测的 ， 是保证闭环控制系统内部稳定的充分与必要条件 ； 条件(2), (3), (5), (6)是保证存在H∞最优控制器,使 Tzw (s) 能够最小化，对于次优问题则未必是必要的。
此时
有界的‖z(j)‖2
有界的的‖u(j)‖2
u
条件(5)意味着G21(s)在虚轴上没有零点: y=C21w+D21u
( j )G
K(s)
y
若G21(j)在所有的处是满秩的,则：min G21 ( j )G(j ) > 0
14 外部输入w在所有频率处都影响输出y
2007年10月9日
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假设条件 (2), (3), (5), (6)的进一步说明
G22 (s) = N2 (s)M
1 2
X2 (s) Y (s ) M (s)2 Y2 (s) 2 =I (s)M% (s) N% 2 (s), % % N2 (s) M 2 (s) N2 (s) X 2 (s)
Tzw (s) = Fl (G, K ) = G11 + G12 K ( I G22 K ) 1 G21 次优：Fl (G, K < )
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关于变量和矩阵的维数
m2 z p1 x R n, w R m,1 u R ， R ,y R p2
(3)
A j I rank C1 B2 A j I 0 Bp
Cp
Bp I m 0
的充分与必要条件是P(s)在虚轴上没有极 (4) 点； (Cp , Ap)为可检测的，则(C2 , A)为可检测 (5) 的；rank D21= rank Ip=p，即D21是行满秩的；
G12 ( j) = C1 ( j I A) 1 B2 + D12
在包含= ∞的所有处是行
满秩的; rank
13
A j I =n C1
对所有的是行满秩的。
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假定条件的解释
条件(2)意味着G12(s)在虚轴上没有零点: z=C11w+D12u
为了满足条件(2), 可追加z2 为了满足条件(3), 可追加w3 为了满足条件(4), 要使不能由y测量的部分是稳定的 为了满足条件(5), 可追加w2 为了满足条件(6), 可追加z3
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不满足D22=0的情况
寻找D22=0时对象G% ( s) 的
H∞输出反馈控制 输出反馈补偿器的设计 基于状态观测器的H∞状态反馈控制 状态观测器的设计与静态状态反馈增益矩阵的设计
3
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H∞状态反馈控制问题
w
u
G
y
z
F 状态反馈控制：u=Fx
x & = Ax + B1 w + B2 u z = C1 x + D11 w + D12 u y=x
w
G% ( s )
z
控制器 K% (s) , 使闭环控制 系统内部稳定，而且
Fl (G% , K% )<
u%
u D22 y
D22
K% (s)
K(s)
K (s) = K% (I + D22 K% ) 1
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H∞状态反馈控制器的一般形式 (1)
z( j ) + max [G11 ( j )] ( j ) min G12 ( j )G12 ( j ) u( j )
w
G11(s) G12(s) G21(s) G22(s)
z
若G21(j)在所有的处是满秩的,
( 则 min G12 j )G12 ( j ) > 0
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第五讲：
状态空间H∞控制理论
1
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H∞控制的提出与发展
1981：Zames利用H∞范数作为性能指标，提出最小灵敏度 控制问题——H∞控制问题；
1988：Zhou获得H∞控制问题的状态反馈控制解；
1989：Doyle等发表著名的DGKF论文，获得H∞控制问题 的输出反馈控制解——H∞控制理论形成。 d
1 S= 1 + PC WS
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CC
u
PP
y
<
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状态空间H∞控制问题
主要讨论三种形式： H∞状态反馈控制 静态状态反馈增益矩阵的设计
F= ( 1 T T T F F + F) B X = FF F GF 2
A R n× n , B 1 R n× m1 , B2 R n× m2
C1 R p1 × n , C2 R p2 × n
D11 , D12 , D21 , D22为相应维数的矩阵 G= , Gij = Ci (SI A) 1 B j + D j , i = 1, 2
GБайду номын сангаас
只要G22为严格真的，即D22=0 ，则闭环控制系统是良定的， 因此一般假设D22=0。
A G = C1 I B1 B2 D11 D12 0 0
zw (s) = (C1 + D12 F )(sI A B2 F ) 1B1 + D11
控制问题： 寻找状态反馈增益矩阵F，使A+B2F稳定，而且 Tzw (s) < , 次优问题
4 min Tzw (s) ,
基于状态估计值的反馈控制：u = Fxˆ 控制问题：寻找状态观测器和状态反馈增益矩阵，使闭环控 制系统内部稳定，而且
Tzw (s)
6
< , 次优问题
min Tzw (s) ,
最优问题
2007年10月9日
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H∞控制问题
w u GG((ss)) z y
应该指出：在一般场合,如果公称对象在虚轴上具有 极点和零点, 则很难满足G的假设条件。 根据假定条件(2)和(3)可得： 为了保证存在最优的H∞的控制器K, 使得w到z的闭环 传递函数矩阵的H∞范数最小化。对于次优的H∞控制 问题，条件(2)和(3)以及条件(5)和(6)未必是必要的。 同样地, 由假定条件(5)和(6)可得：
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假定条件的等价变换
z
Tzw (s) w = z 2 w2
Tzw (s) <
w w3
ε ε
u
G
K
y
z
ε
ε
z3 w2
Tzw (s) <
z2
为了满足条件(1), 必须使不能由w和u控制的部分是稳定的