二元函数可微的充分条件(最终版)

二元函数可微的充分条件（最终版）

教材的充分条件是这样的，(,)z f x y = 的偏导数连续，则函数是可微的。条件可弱化为，

(,)z f x y =偏导数存在，

且其中一个偏导数连续，另一个偏导数单元连续（关于求导变元），则函数是可微的。

多元函数关于某个变元连续，则称之为单元连续。

证明：1）设z x ∂∂ 连续，z y

∂∂关于y 单元连续。 因为偏导数存在，函数对单个自变量是连续的，根据拉格朗日中值定理，有

000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)z f x y f x y f x y f x y f x y f x y ∆=-=-+-

0(,)(,)x y f y x f x y ξς=∆+∆ （1）

ς 在0,y y 之间，ξ 在0,x x 之间。

(,)x f y ξ 在00(,)x y 连续，有001(,)(,)x x f y f x y ξε=+ （2）

1ε在00,x x y y →→ 时是无穷小量。

0(,)y f x ς在0y y = 关于y 单元连续， 有

0002(,)(,)y y f x f x y ςε=+ （3）

2ε在0y y → 时是无穷小量。

将（2）（3）代入（1）有

000012(,)(,)x y z f x y x f x y y x y εε∆=∆+∆+∆+∆

可以证明12x y εε∆+∆

120||+||εε≤≤

12||+||εε

小量，即12x y εε∆+∆

2）设z y

∂∂ 连续，z x ∂∂关于x 单元连续。 因为偏导数存在，函数对单个自变量是连续的，根据拉格朗日中值定理，有

000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)z f x y f x y f x y f x y f x y f x y ∆=-=-+- 0(,)(,)y x f x y f y x ξς=∆+∆ （3） ξ 在0,y y 之间，ς 在0,x x 之间。 (,)y f x ξ 在00(,)x y 连续，有001(,)(,)y y f x f x y ξε=+ （4） 1ε在00,x x y y →→ 时是无穷小量。 0(,)x f y ς在0x x =关于x 单元连续， 有

0002(,)(,)x x f y f x y ςε=+ （5） 2ε在0x x → 时是无穷小量

将（4）（5）代入（3）有

000021(,)(,)x y z f x y x f x y y x y εε∆=∆+∆+∆+∆

可以证明21x y εε∆+∆

120||+||εε≤≤

12||+||εε

小量，即21x y εε∆+∆